归纳与类比-答案

归纳与类比

【答案】1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C

7.8.9.2010 10.

11.（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）

12.解：（1）∵数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，，

∴a2=，a3=，a4=；（2）猜想a n=．

∵当n≥2时，，∴=+，∴-=，

∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=．13.解：（1）=2；=；

=；猜想；

（2）下面用数学归纳法证明：

①当n=1时满足猜想；

②假设n=k时，成立，

则

====

，所以当n=k+1时，也成立；

综合①②对n∈N*成立．

1. 解：由已知在平面几何中，

若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，

则AB2=BD•BC，

我们可以类比这一性质，推理出：

若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，

则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．

故选A．

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一

般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

2. 解：根据题意，设第k个三角形的周长记为a k，（k=1、2、3、…）

∵△ABC周长为1，∴a1=1∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点

∴第二个三角形的周长为a2=a1=

依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为a k=，… ∴第2003个三角形周长为a2003=．

故选C

根据题意，列出前几个三角形的周长，发现从第二项起，每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半，由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长．

本题以三角形的周长规律为载体，考查了归纳推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识，属于基础题．

3. 解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多

设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k 个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，

∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）-f（k）=k+1，

令k=1，2，3，…．n得f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，

把这n-1个等式累加，得f（n）-f（1）=2+3+…+n=，

∴f（n）=2+=，

故选：D．

由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）-f（n-1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．

本题考查合情推理，考查了分析问题和解决问题的能力，解题的关键是找出第k项和第k+1项之间的关系，再利用累加法求出f（n）的关系式．

4. 解：∵图（1）是边长为1的正方形，

结合勾股定理可得：a2=2，

a3=3，

a4=4，

…

归纳可得：a n=n，（n∈N*），

故a10=10，

故选：B

根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的{a n}的通项公式，可得答案．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

5. 解：观察已知中等式：

1=（2×1-1）2，

2+3+4=（2×2-1）2，

3+4+5+6+7=（2×3-1）2，

…，

则n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2

故选：D．

根据已知中的等式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．

本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．

6. 解：∵数列{x n}满足x0=6，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：

∴x1=f（x0）=f（6）=4，x2=f（x1）=f（4）=2，x3=f（x2）=f（2）=1，x4=f（x3）=f（1）=5，x5=f （x4）=f（5）=6，…，

∴x n+5=x n，

∴x2016=x403×5+1=x1=4．

故选：C．

数列{x n}满足x0=6，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：x1，x2，x3，x4，x5，x6，…，于是得到x n+5=x n，进而得出答案．

本题考查了数列的周期性，数列的递推关系式的应用，属于中档题．

7. 解：∵在由平面图形到空间图形的类比推理中，

一般是由点的性质类比推理到线的性质，

由线的性质类比推理到面的性质，

由面积的性质类比推理到体积性质．

故由（面积的性质）

结合图（2）可类比推理出：

体积关系：=

故答案为：

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．