平面内三点共线的向量表示

§2. 平面内三点共线的向量表示

描述平面内三点共线方法有很多种，其中的向量表示，有以下两种，我们可以把它们作为结论来应用．

【结论1】点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数t ，使得t =．

【结论2】设O 是平面内任意一点，点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数λ、μ，使得 μλ+=，其中1=+μλ．

【结论1】很容易理解，下面我们利用【结论1】来证明【结论2】． 先证明充分性：

如果存在实数λ、μ，使得OB OA OC

μλ+=，其中1=+μλ，则

)1(λλ-+=，将这个式子变形后可得)(-=-λ，即

AB BC λ=，所以A 、B 、C 三点共线。

再来证明必要性：

如果A 、B 、C 三点共线，则存在实数t ，使得t =．

在平面内任取一点O ，则有)(OA OB t OA OC -=-，即OB t OA t OC +-=)1(

令t -=1λ，t =μ，则存在实数λ、μ，使得μλ+=，其中1=+μλ．

故结论2成立。

【说明】（1）由于结论1和结论2中A 、B 、C 三点地位平等，所以结论可以作相应的改变。（2）由结论2的证明可以理解，三点共线的这两种向量形式可以互化。

下面我们通过一些例题谈一谈三点共线的这两种向量形式的应用。

【例1】如图，已知34=，31=，用，表示OP ，则=（ ）

O

.A OB OA 3431+ .B OB OA 3

4

31+-

.C 3

4

31-- .D 3431-

【解析】本题根据结论2，不用计算，就能确定答案是.B

【例2】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A ()1,3，B ()3,1-，若点

C 满足βα+=，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）

.A 01023=-+y x .B 4)1()1(22=-+-y x .C

052=-+y x .D 052=-+y x

【解析】本题根据结论2，易知A 、B 、C 三点共线，故点C 的轨迹是直线AB ，选.D 【例3】如图，已知点G 是ABC ∆的重心，点M 是边AB 的中点。 （1）求GC GB GA ++；

（2）若PQ 过ABC ∆的重心G ，且=，=，

m =，n =，求证：.311=+n m

【解析】（1）Θ 已知点G 是ABC ∆的重心，点M 是边AB 的中点，

.02=+=++∴GC GM GC GB GA

（2）本题既可以利用结论1解决，也可以利用结论2解决。

解法1：)(3

1

)(3132b a CB CA CM CG +=+==，

设PQ PG λ=，则CQ CP CP CQ CP PG CP CG λλλ+-=-+=+=)1()(

=b n a m λλ+-)1(，∴b n a m λλ+-)1()(3

1

+=

又Θ、不共线，⎪⎩⎪⎨

⎧

=

=-∴3

131)1(n m λλ，消去λ，得.311=+n m 解法2：)(3

1

)(3132+=+==，由Q G P 、、三点共线，可设

P Q

B

A

G A Q

P M

C

B

)1(λλ-+=，n m )1(λλ-+=∴，∴n m λλ+-)1()(3

1

b a +=

又a Θ、b 不共线，⎪⎩⎪⎨⎧

=

=-∴3

131)1(m n λλ，消去λ，得.311=+n m

【例4】如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若n m +=，则n m +

.A )1,0( .B ),1(∞+ .C )1,(--∞ 【解析】设t =，)0,1(-∈t ，由A 、B 、D 可设)1(λλ-+=，所以t t )1(λλ-+=根据题意，=+n m t t t =-+)1(λλ).0,1(-∈ 选.D 【例5】如图所示，在OAB ∆中，OA OC 41

=，

OB OD 21

=，AD 和BC 交于点M ，设=，

b OB =，以a 、b 为基底表示OM ．

【解析】

b a OB OA OB OC OM )1(4

1

)1(41)1(λλλλλλ-+=-+=-+=，

b a OB OA OD OA OM )1(2

1

)1(21)1(μμμμμμ-+=-+=-+=，

.7

174)1(21141⎪⎩⎪⎨⎧=

=⇒⎪⎩⎪⎨⎧

-=-=∴μλμλμλ 故

.7371b a OM += 【练习】

1、已知数列{}n a 为等差数列，a a 1001+=，O 为坐标原点，且点B A P 、、三点共线，则=100S ________.

A

2、如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线 分别交直线AC AB 、于不同的两点N M 、，若则n m +＝______．

3、在ABC ∆中，︒=∠60A ，A ∠的平分线AD 交BC

于D ，已知3=AB 且)(3

1

R ∈+=λλ，则

AD 的长为（ ）

.A 1 .B 3 .C 32

.D

3

【解析】易知3

2

=λ，确定点D 的位置，选.C

4、在ABC ∆中，边1=AC ，2=AB ，32π

=

∠A ，过A 作BC AP ⊥于P ，且= AC AB μλ+，则=λμ____________________.

49

10 5、在锐角三角形ABC 中，56

2sin =A ，75cos =C ，7=BC ，若动点P 满足

)()1(2

R AC AB AP ∈-+=

λλλ

，则点P 的轨迹与直线AB 、AC 所围成的封闭区域的面积是

______.63

63

O C

B

N

M