高中课程标准实验教材.
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例子 提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动? 明确任务：建构这样的数学模型. 教学起点：对周期性现象的数学研究
3. 教材特点
作为定位的具体体现，教材主要特点有：
1.以“数学地研究”的一般程序来组织教学内 容 2.采用以问题链为线索的呈现方式 3.突出周期性 4.加强几何直观、形数结合，强调知识整合
数学模型）的指向作用
突出周期性
（1）提示模型的本质 (周而复始的数学化) （2）引导对模型的数学研究 (图象与性质)
加强几何直观、形数结合，强调知识整合
（1）建构任意角三角函数 (斜边与终边) （2）诱导公式的研究 (形的对称) （3）函数图象的研究 (描点)
4. 教学建议
1.准确把握教学要求 2.注意从数学模型的角度来认识三角函数，突
的例子”
• 为什么要研究周期现象呢？ • 因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现
象的数学模型。”
• 这里使用的这是问题串，它揭示了建构数学 模型的思维过程，在问题串的指引下，学生 真正主动地参与了建构活动。
诱导公式的推导（苏教版）
●由三角函数的定义可以知道：终 边相同的角的同一三角函数值相等。 除此以外还有一些角，它们的终边 具有某种特殊关系，如关于坐标轴 对称，关于原点对称等，那么它们 之间的三角函数值之间具有什么样 的关系呢？
• 这就是考察锐角三角函数的“理由”。 • 那么，又怎么想到要研究（x,y）与（r,α）
间的联系的呢？
• 这是因为用（r,α）（x,y）都可以表示圆周 上的点。
• 那么，为什么要表示圆周上的点呢？ • 这是为了刻画圆周上点的运动。
• 那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？ • 这是因为它是周期现象的“一个简单又基本
问题是“从对三角函数的性质进行研究” 中 派生出来的
诱导公式推导思路的比较
问题
特定角之 间的关系
终边上一点 的坐标
诱导公式
问题
终边的 位置关系
终边的位置 关系(对称)
三角函数值 之间的关系
诱导公式
诱导公式所揭示的是终边有某 种对称关系的两个角三角函数 之间的关系。换句话说，诱导 公式实质是将终边对称的图形 关系”翻译“成三角函数之间 的代数关系。
提供背景：广泛存在的周期性现象 提出问题：如何用数学的方法来刻画这种周期性现象 明确任务：研究三角函数(刻画周期性变化规律的数学
模型)的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？
苏教版教材的定位：
展示对周期现象进行数学研究的过程， 即建构刻画周期性现象的数学模型的过程
提供背景：自然界广泛存在着周期性现象，圆周上 一点的运动是一个简单又基本的
突出了形数结合思想,深刻地揭示 了诱导公式的本质
wenku.baidu.com
案例3: 三角函数的图象与性质
“周而复始的基本性质必然蕴含 在三角函数的性质之中”，
●三角函数还具有哪些性质?
三角函数周期性的研究为后续图象 与性质的研究起了铺垫作用
案例3: 三角函数的图象与性质
描点: 普适的一点S
第2章 平面向量
◆ 向量的概念及表示 ◆ 向量的线性运算 ◆ 向量的坐标表示 ◆ 向量的数量积 ◆向量的应用
以“数学地研究”的一般程序来组织教学 内容
（1）教材以”建构—研究—应用”为主线展开 （2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在
建构“刻画周期性的数学模型”中的作用 （3）教材对传统的教学内容做了“强干削技”
的处理
（3）教材对传统的教学内容做了“强干削 技” 的处理
抽出“三角变换”的内容，另立一章； • 删减了余切、正割、余割函数
•问：为什么任意角的三角函数可以刻画周 期性现象呢？ •可能的回答只能是：你们研究了三角函数 的性质就知道了。
• 其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题， 今编者和学生都无法回答。这就是：
• 问：研究周期性现象时，你怎么会想到“锐 角三角函数”的？
• 由此可见，尽管学生看起来是参与了建立三 角函数概念的活动，但是他们并不知道这些 活动的意义！造成这种现象的根本原因，是 由教材的定位造成的。因为教材是对三角函 数的研究，而不涉及这个数学模型是如何从 对周期性现象的研究中被建构出来的过程。
• 删减了“已知三角函数值求角”、反三角函数 符号等内容
• 降低了对同角三角函数之间关系的要求 突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方
法。(如:建立三角函数模型解决应用问题)
目的：重点放在理解三角函数及其性质、体会三角 函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
采用以问题链为线索的呈现方式
（1）注意提出问题的环节 （2）注意问题间的逻辑联系 （3）强化目标（建构刻画周期性现象的
任意角的三角函数（苏教版）
问题链
（１）怎样建构刻画周期性现象的数学模型 ? （２）怎样刻画圆周上一点的运动? （３）怎样表示圆周上的点? （４）用怎样的数学模型建立（x,y）与
（r,α）之间的关系? （５）怎样将锐角的三角函数推广到任意角?
• “用怎样的数学模型模型建立（x,y）与（r,α） 之间的关系？
高中课程标准实验教材
数学 (必修4) 简介
张乃达
haida122000@yahoo.com.CN
数学(必修4)的内容
第1章 三角函数 第2章 平面向量 第3章 三角恒等变换
本册教材的主要特点
1.主背景贯通全书
2.以“数学地研究”的一般程序来 组 织教学内容
3.采用“问题链”为线索的呈现方 式
第1章 三角函数
出数学思想方法在数学模型建构中的作用
3.以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数 学模型中的作用
4.恰当地使用信息技术
案例1: 任意角的三角函数(新教材1)
• 问：为什么要讨论锐角三角函数呢？
• 回答可能是“为了建立任意角的三角函数 的概念”。
• 问：为什么要建立任意角的三角函数的概 念呢？
• 回答可能是因为任意角的三角函数正是 “刻画周期性现象的数学模型”。
◆ 任意角 、弧度 ◆ 任意角的三角函数 ◆ 三角函数的图象和性质
老教材的定位：
学习和研究一种新的数学工具：三角函数
提供背景：一个应用题（确定函数的最大值） 提出问题：无 明确任务：研究三角函数的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？
新教材1的定位：
学习和研究描述周期现象的重要数学模型： 三角函数
3. 教材特点
作为定位的具体体现，教材主要特点有：
1.以“数学地研究”的一般程序来组织教学内 容 2.采用以问题链为线索的呈现方式 3.突出周期性 4.加强几何直观、形数结合，强调知识整合
数学模型）的指向作用
突出周期性
（1）提示模型的本质 (周而复始的数学化) （2）引导对模型的数学研究 (图象与性质)
加强几何直观、形数结合，强调知识整合
（1）建构任意角三角函数 (斜边与终边) （2）诱导公式的研究 (形的对称) （3）函数图象的研究 (描点)
4. 教学建议
1.准确把握教学要求 2.注意从数学模型的角度来认识三角函数，突
的例子”
• 为什么要研究周期现象呢？ • 因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现
象的数学模型。”
• 这里使用的这是问题串，它揭示了建构数学 模型的思维过程，在问题串的指引下，学生 真正主动地参与了建构活动。
诱导公式的推导（苏教版）
●由三角函数的定义可以知道：终 边相同的角的同一三角函数值相等。 除此以外还有一些角，它们的终边 具有某种特殊关系，如关于坐标轴 对称，关于原点对称等，那么它们 之间的三角函数值之间具有什么样 的关系呢？
• 这就是考察锐角三角函数的“理由”。 • 那么，又怎么想到要研究（x,y）与（r,α）
间的联系的呢？
• 这是因为用（r,α）（x,y）都可以表示圆周 上的点。
• 那么，为什么要表示圆周上的点呢？ • 这是为了刻画圆周上点的运动。
• 那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？ • 这是因为它是周期现象的“一个简单又基本
问题是“从对三角函数的性质进行研究” 中 派生出来的
诱导公式推导思路的比较
问题
特定角之 间的关系
终边上一点 的坐标
诱导公式
问题
终边的 位置关系
终边的位置 关系(对称)
三角函数值 之间的关系
诱导公式
诱导公式所揭示的是终边有某 种对称关系的两个角三角函数 之间的关系。换句话说，诱导 公式实质是将终边对称的图形 关系”翻译“成三角函数之间 的代数关系。
提供背景：广泛存在的周期性现象 提出问题：如何用数学的方法来刻画这种周期性现象 明确任务：研究三角函数(刻画周期性变化规律的数学
模型)的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？
苏教版教材的定位：
展示对周期现象进行数学研究的过程， 即建构刻画周期性现象的数学模型的过程
提供背景：自然界广泛存在着周期性现象，圆周上 一点的运动是一个简单又基本的
突出了形数结合思想,深刻地揭示 了诱导公式的本质
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案例3: 三角函数的图象与性质
“周而复始的基本性质必然蕴含 在三角函数的性质之中”，
●三角函数还具有哪些性质?
三角函数周期性的研究为后续图象 与性质的研究起了铺垫作用
案例3: 三角函数的图象与性质
描点: 普适的一点S
第2章 平面向量
◆ 向量的概念及表示 ◆ 向量的线性运算 ◆ 向量的坐标表示 ◆ 向量的数量积 ◆向量的应用
以“数学地研究”的一般程序来组织教学 内容
（1）教材以”建构—研究—应用”为主线展开 （2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在
建构“刻画周期性的数学模型”中的作用 （3）教材对传统的教学内容做了“强干削技”
的处理
（3）教材对传统的教学内容做了“强干削 技” 的处理
抽出“三角变换”的内容，另立一章； • 删减了余切、正割、余割函数
•问：为什么任意角的三角函数可以刻画周 期性现象呢？ •可能的回答只能是：你们研究了三角函数 的性质就知道了。
• 其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题， 今编者和学生都无法回答。这就是：
• 问：研究周期性现象时，你怎么会想到“锐 角三角函数”的？
• 由此可见，尽管学生看起来是参与了建立三 角函数概念的活动，但是他们并不知道这些 活动的意义！造成这种现象的根本原因，是 由教材的定位造成的。因为教材是对三角函 数的研究，而不涉及这个数学模型是如何从 对周期性现象的研究中被建构出来的过程。
• 删减了“已知三角函数值求角”、反三角函数 符号等内容
• 降低了对同角三角函数之间关系的要求 突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方
法。(如:建立三角函数模型解决应用问题)
目的：重点放在理解三角函数及其性质、体会三角 函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
采用以问题链为线索的呈现方式
（1）注意提出问题的环节 （2）注意问题间的逻辑联系 （3）强化目标（建构刻画周期性现象的
任意角的三角函数（苏教版）
问题链
（１）怎样建构刻画周期性现象的数学模型 ? （２）怎样刻画圆周上一点的运动? （３）怎样表示圆周上的点? （４）用怎样的数学模型建立（x,y）与
（r,α）之间的关系? （５）怎样将锐角的三角函数推广到任意角?
• “用怎样的数学模型模型建立（x,y）与（r,α） 之间的关系？
高中课程标准实验教材
数学 (必修4) 简介
张乃达
haida122000@yahoo.com.CN
数学(必修4)的内容
第1章 三角函数 第2章 平面向量 第3章 三角恒等变换
本册教材的主要特点
1.主背景贯通全书
2.以“数学地研究”的一般程序来 组 织教学内容
3.采用“问题链”为线索的呈现方 式
第1章 三角函数
出数学思想方法在数学模型建构中的作用
3.以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数 学模型中的作用
4.恰当地使用信息技术
案例1: 任意角的三角函数(新教材1)
• 问：为什么要讨论锐角三角函数呢？
• 回答可能是“为了建立任意角的三角函数 的概念”。
• 问：为什么要建立任意角的三角函数的概 念呢？
• 回答可能是因为任意角的三角函数正是 “刻画周期性现象的数学模型”。
◆ 任意角 、弧度 ◆ 任意角的三角函数 ◆ 三角函数的图象和性质
老教材的定位：
学习和研究一种新的数学工具：三角函数
提供背景：一个应用题（确定函数的最大值） 提出问题：无 明确任务：研究三角函数的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？
新教材1的定位：
学习和研究描述周期现象的重要数学模型： 三角函数