第六章(曲线插值)..

计算机图形学基础
Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院 2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2
an x n
使Pn(x) 满足条件 Pn ( xi ) yi , i 0, 1, , n 函数 y=f(x) 称为被插函数， x0,x1,x2,…,xn 被称为插值 节点，条件式被称成为插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
插值多项式的几何意义实质上是将通过 n+1 个点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有：
（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
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4.1 拉格朗日插值
已知函数 y=f(x) 在 n+1 个互不相同的点处的函数值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得 y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式

j 0 jk
n
x xj
xk x j
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
n x xj Pn ( x ) l k ( x ) yk yk k 0 k 0 j 0 xk x j jk
n n
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4.1 拉格朗日插值
特别地，当n=1时，为线性插值： 记
x x1 l0 ( x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
则有： P1 ( x )
x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
满足插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段 线性插值多项式
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4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而
拉格朗日插值公式的基本思想是，把 pn(x)
的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
l0 ( x)
x0
x1
x2
xn
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
l1 ( x)
ln ( x)
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4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, l k ( xi ) 0,
则
n
ki ki
i = 0, 1, 2,…, n
Pn ( xi ) yk l k ( xi ) yi
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是 自由
曲线的生成： 给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数
曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合 方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
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4 插值方法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x (t ) y y (t ) z z (t )
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。 参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
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4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值： 记
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x) l1 ( x) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
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4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x an x
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n
由插值条件
Pn ( xi ) yi i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
n 1 a0 x0 a1 x0 a n y0 n 1 a0 x1a1 x1 a n y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
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3 插值与拟合

设已知某个函数关系 y f ( x) 在某些离散点上的函 数值：
x x 0 x1 y y0 y 1


x n 1 x n y n 1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数 y=f(x) 的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
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3 插值与拟合
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4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 D 1 x1 1 xn
x x
2 0
x x
n 0
2 1
n 1

0 j i n
(x
i
xj)
x
2 n
x
n n
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点 xi 互不相同， 故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
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4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
则有：P ( x ) l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y 2 0 0 1 1 2 2 满足插值条件。