数学专题 高考数学压轴题12

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数

2复合函数

3创新性函数

4抽象函数

5导函数（极值，单调区间）--不等式

6函数在实际中的应用

7函数与数列综合

8数列的概念和性质

9 Sn与an的关系

10创新型数列

11数列与不等式

12数列与解析几何

13椭圆

14双曲线

15抛物线

16解析几何中的参数范围问题

17解析几何中的最值问题

18解析几何中的定值问题

19解析几何与向量

20探究性问题

12．数列与解析几何

例1．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位

于函数

4133+

=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25

-

为首项，1-为公差的等差数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标；

⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为

n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：

n n k k k k k k 13221111-+++ 。

⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ⋂∈，其中1a 是T S ⋂中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。

解：（1）23

)1()1(25-

-=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+

=--∴----

（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：

,45

12)232(2+-++

=n n x a y

把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：

1)32(2

2++++=n x n x y 。 32|0'+===n y k x n ，)

321

121(21)32)(12(111+-+=++=

∴

-n n n n k k n

n

n n k k k k k k 13221111-+++∴

)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n

=641101)32151(21+-

=+-n n

（3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，

}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y

,S T T ∴= T 中最大数171-=a .

设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得

).(247,24),(12,129

248

**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-

又 例2.已知曲线

22

:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（2）证明：

1352112sin 1n n

n n n

x x

x x x x x y --⋅⋅⋅⋅<

<+ .

解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立022

2=+-y nx x 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则

0)1(4)22(2

222=+--=∆n n n k k n k ， ∴

12+=

n n k n （

12+-

n n

舍去）

2

2222)1(1+=+=n n k k x n n n

，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n

（2）证明：∵

1

21

111111+=++

+-

=

+-n n n n n

x x n

n

12112125331212432112531+=+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n

∴

n

n

n x x x x x x +-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531

由于

n

n n n

x x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f c o s 21)('

-=，令0)('=x f ，

得

22

cos =

x ，给定区间)4,0(π，则有0)('

∴0)0()(=

4,0(π

恒成立，又