第五章线性规划问题的灵敏度分析

B 1b当
Ba'i,n1k b
0,
则b' 有
B 1b
0
bibb 12'a' 'i ,bnk'k
bm'
9
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
max
1 1/ 2
c1
min
• 由于基变量对应的价值系数在CB不中考出虑现，ark因=0此的它情会况影，响因所为当
有非基变量的检验数
ark=0时，cj的变化不影响zk，
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，同变时化因量为基 c变j 量检验数始终
• 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变为量0，xj 机不会考成虑本其的变变化化。
m
m
z j z j (ci ci)aij ciaij ciakj
i 1
i 1
要满足 c j (z j z j ) 0, 则有 c j z j akjck
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
z
j
akj
akj
0
ck
c
j
z
j
akj
akj
0
为保证所有非基变量检 验数仍满足最优条件 , 有
（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (c j c j ) z j 0 故有 c j (c j z j )
5
例5.1
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容： (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; (2) 增加约束或变量的影响分析；
2
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
• 哪些参数容易发生变化:C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
c3 2.75, c3 5.75
6
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
max j
c
j z akj
j
akj
0 c j'
min j
c
j z akj
j
akj 0
7
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
原问题 对偶问题 可行 可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行
迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行
迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表进行求1解1
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0
• b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
4
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj
允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1/ 1/
5 5
2 c1 1, 0 c1 3
max
1/ 5 1/ 5
c2
1 c2 , 2 c2
10
5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
设x4的价值系数增加c4，对应k=2（第二行）
max
3.25 2
,
0.25 1
c4
min
2.75 2
,
1 1
0.25 c4 1, 3.75 c4 5
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
8
例2：max f (x) (2 1)x1 (3 2 )x2
2x1 3x2 12
s.t.
4 x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
a' 1,n1
设
B 1
a
'
k
,n1
a来自百度文库
'
m,n1
a' 1,ni
a' k ,ni
a' m,ni
a' 1, n m
a' k ,nm
a
'
m,nm
b b1,b2, , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量不发生变化, 必须满足
XB B1b b 0
12
x
'
B当
a
'iB,nk 1(b0,则有b)