多元统计分析课件随机向量
第二章 随机向量 多元统计分析
的个体构成的集合,如果构成总体的个体是具有p个需要观测
指标的个体, 称这样的总体为p维总体(或p元总体).上面的表示
便于人们用数学方法去研究p维总体的特性.这里“维”(或
“元”)的概念,表示共有几个分量. 若观测了n个个体,则可得到
如表2.1的数据,称每一个个体的p个变量为一个样品,而全体n
个样品组成一个样本.
➢ (2)设A,B,C为常数矩阵,则 E(AXB+C)=AE(X)B+C
➢ 特别地,对于随机向量x,有 E(Ax)=AE(x)
➢ (3)设X1,X2,⋯,Xn为n个同阶的随机矩阵,则 E(X1+X2+⋯+Xn)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)
E(X'AX) tr(AΣ) μ ' Aμ
Chap2 Random Vector 21
Chap2 随机向量 15
五、条件分布
➢ 设 x ( x1, , x p ) 是p维连续型的随机向量,在给定
x(2) ( xq1, , x p )( f(2)( x(2) ) 0)
的条件下,
x(1) ( x1, , xq ) 的条件密度定义为
f x1,
, xq | xq1,
, xp
Chap2 随机向量 1
第二章 随机向量
➢ §2.1 多元分布 ➢ §2.2 数字特征 ➢ §2.3 欧氏距离和马氏距离 ➢ *§2.4 随机向量的变换 ➢ *§2.5 特征函数
亚历山大·尼克斯
Chap2 随机向量 2
一名英国的数据分析师
2014年5月 他利用大数据工具对乌克兰民众实施心理干预
让丑闻不断的亿万富翁波罗申科以54.7%的得票率当选乌克兰新总统 2015年 干扰尼泊尔国民的精神意志帮助尼泊尔王室成功镇压了叛乱... 2016年6月 特朗普给1500万美元让他操纵美国民众的投票意向
多元统计分析课件随机向量
, y p 之间的欧氏距离为:
1 21 R p1
12
1
p2
2 p 1
1 p
R=(ρij)和Σ =(σij)之间有关系式：R=D−1ΣD−1 其中 D diag( 11 , 22 ,
, pp ) 。
R和Σ的相应元素之间的关系式为:
ij
f1 ( x1 ,
, xq )
f ( x1 ,
, x p )d xq1
d xp
四、条件分布
设 X X1 , , X p 是p维连续型的随机向量，在给 定 X 2 X q1 , , X p , f 2 x 2 0 的条件下，
X 1 X1 ,
1
11
0
0 1
0 0
22
0
0
1
pp
标准化变换
在数据处理时，常常因各变量的单位不完全相同而需要对 每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令
X
* i
* * 记 X * ( X1 , X2 ,
X i i
ii
, i 1, 2,
证明
m n Cov X i , Y j j 1 i 1
m m E X i E X i Y j E Y j i 1 i 1 j 1 j 1 n m n m E X i E X i Y j E Y j Cov X i ,Y j i 1 j 1 i 1 j 1
第七章 多元统计分析(1)1
Cov( Ax, By ) = ACov( x, y ) BT
二、多元正态分布 定义
若p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ 的概率密度函 维随机变量 数为
f ( x1 , x 2 , L , x p ) = 1 (2π ) | Σ |
1 n x = ∑ x(i ) n i =1 1 k nα (α ) = ∑∑ x(i ) n α =1 i =1 1 k (α ) = ∑ nα x n α =1 1 x = X ′1 n
1 n x j = ∑ xij ( j = 1,2, L, p) n i =1
1 (α ) = ∑∑ xij n α =1 i =1
为第i个 设p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ E(xi)为第 个 维随机变量 ， 为第 随机变量的数学期望(或均值)( )(i=1,2,…,p)，则称 随机变量的数学期望(或均值)( )
E ( x) = ( E ( x1 ), E ( x2 ),L , E ( x p ) )′ = µ ˆ
( )
nα × p
, (α = 1,2, L , k ; i = 1,2, L , nα ; j = 1,2, L , p )
常见统计量
(1)总体 (1)总体Gα的样本均值 总体 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法
( x (α ) = ( x1(α ) , x2(α ) ,..., x pα ) )′
x
(α ) ij
个总体G 第α个总体 α的样本矩阵
( X (α ) = ( x1(α ) , x2α ) , L , x (pα ) ) (α x(′1()α ) x11 ) , (α ) (α ) x(′2 ) x21 , = = M M ( ( ) x(′nα )) xnα 1 , α α (α x12 ) , L , (α x22 ) , L ,
多元统计分析课件
逆矩阵
若A是P阶非退化阵，则存在唯 一的矩阵B，使得AB=I，B称为A的 逆矩阵，记为B=A-1。
逆矩阵的求法
A11A21… Ap1 A-1=（1/|A|）A*=（1/|A|）A12A22 …Ap2
…… A1pA2p …App
A*为A的伴随矩阵，它是A的各个元素的代数 余子式所构成的矩阵。
例题
多元统计分析基础知识
附录：矩阵代数
第一节 矩阵及基本运算
1、矩阵的定义
将n☓p个实数 aij (i=1,2,…,n ; j=1,2, …,p) 排成n行p列的数表，记为A，称为n☓p阶 矩阵。 a11 a12 … a1p A= a21 a22 … a2p
an1 an2 … anp
记为A=(aij)n☓p 或A=(aij)或An×p
一些特殊矩阵
（1）列向量 （2）行向量 （3）方阵 （4）对角阵 （5）单位矩阵 （6）转置矩阵 （7）对称矩阵 （8）下三角矩阵（上三角矩阵）
2、矩阵的运算
（1）加法 （2）数乘 （3）乘法
3、矩阵的运算规律
(1) A+B = (2) α (A+B) = (3) α(AB) = (4) A+(-1)A = (5) (AB)´ = (6) (A´)´ = (7) (A+B)´ = (8) A(BC) = (9) A(B+C) = (10) AI =
x
f
x p
若
X
x11
x1 p
xn1 xnp
则
f
f ( X X
)
x11
f
多元统计分析ppt
整理课件
k均值法的基本步骤
❖ (1)选择k个样品作为初始凝聚点，或者将所有样品 分成k个初始类，然后将这k个类的重心(均值)作为 初始凝聚点。
❖ (2)对除凝聚点之外的所有样品逐个归类，将每个样 品归入凝聚点离它最近的那个类（通常采用欧氏距 离），该类的凝聚点更新为这一类目前的均值，直 至所有样品都归了类。
较小方差的主成分将不会给总方差带来大的影响。
整理课件
❖ 前 m 个主成分的贡献率之和
m
p
i i
i 1
i 1
称为主成分 y1,y2, ,ym的累计贡献率，它表明
y1,y2, ,ym解释 x1,x2, ,xp的能力。
❖ 通常取(相对于 p )较小的 m ，使得累计贡献达到一个 较高的百分比(如80％～90％)。此时， y1,y2, ,ym
可用来代替 x1,x2, ,xp，从而达到降维的目的，而信 息的损失却不多。
整理课件
❖ 3.原始变量 x i 与主成分 y k 之间的相关系数
xi,yk
k tik, ii
i,k1,2,
,p
❖ 在实际应用中，通常我们只对 xi(i1,2, ,p)与
yk(k1 ,2 , ,m )的相关系数感兴趣。
整理课件
Vy Λ
其中 Λ d ia g 1 ,2 , ,p，即 V y ii,i 1 ,2 , ,p ，
且 y1,y2, ,yp 互不相关。
❖ 2.主成分的总方差
由于
t r A t r T Σ T t r Σ T T t r Σ
多元统计分析_第2章_多元正态分布_s
第2章多元正态分布§2.1 多元分布§2.2 多元正态分布的定义及基本性质§2.3 正态分布的条件分布和独立性§2.4 矩阵正态分布§2.5 参数的极大似然估计§2.6 极大似然估计的性质13),21′=p ξξξ (ξ随机向量：pn ij ξξ×=)(随机矩阵：注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.4一、多元分布函数1212121122122.1.1 (,,,)()(,,,) ()(,,,)(,,,)(,,,)~.p p p p p pp ξξξξξξF x F x x x P ξx ξx ξx x x x x R F ξξ′===≤≤≤′=∈ 定义设是一随机向量，它的多元分布函数的联合分布函数定义为式中，记作512122112(1)(,,,)(1,2,,)(2)0(,,,)1(3)(,,,)(,,,)(,,,)0(4)(,,,)1p i p p p F x x x x i p F x x x F x x F x x F x x F =≤≤−∞=−∞==−∞=+∞+∞+∞= 是每个变量的单调非降右连续函数.多元分布函数的性质：71)( )2( ,0)( )1()(=∈∀≥⋅∫dx x f R x x f R f pR pp 当且仅当随机向量的分布密度，中某个能作为一个多元函数9二、边缘分布.)( 3.1.2)1(的边缘分布的分布称为个分量组成的随机向量的维随机向量，由它为若定义ξξξp q q p <10),,,,,,(),,,,,),,)111111)1()2()1(∞∞∞=∞≤∞≤≤≤=≤≤=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+ q p q q q q q u u F u ξu ξP u ξu ξP u ξP ξξξξξξ((((1)的分布函数为，则不妨假设11(1)(1212112111)(,,)(,,)q q u u u p p u u u p q p q P ξu f t t dt dt dt f t t dt dt dt dt ∞∞∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞∞∞∞+−∞−∞−∞−∞−∞−∞≤=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 若ξ有分布密度函数f (x )，则12p q p q q q dt dt t t x x f x x f ξ1111)1(),,,,,(),,(++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=的边缘分布密度为(1)13注：（1）有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出有分布密度.ξξξ两个随机向量独立的充分必要条件：①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.1621).()(~),(~),(~,)4(t t t t ηηηξηξηξΦΦ+ΦΦξξ则量的随机向是相互独立且维数相同与若).()(),( ,)()(,,)5()2()1()2()1(t t t t t t q p ηξξΦΦ=Φ⇔ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ独立和则的特征函数和分别为和特征函数的表示维随机向量和分别为和若ηξηξηξηξη22(7) .p a ξξ′若为维随机向量，则它的分布由一切形如的分布所唯一决定).()exp()( ,),(~ )6(t A a t i t a A t ′Φ′=Φ+=Φξηξηξ则若ξ23).()exp()])([exp()exp()][exp()exp())]([exp()][exp()(t A a t i t A i E a t i A t i E a t i a A t i E t i E t ′Φ′=′′′=′′=+′=′=Φξηξξξη证明：（6）24.,3,,),()][exp()1( 1)][exp()( )7(:的分布它决定了知由性质的特征函数恰好是的函数把它看成得取的特征函数为证明ξξξξa a a i E t a it E t a a a Φ=′=Φ=′=Φ′′′ξξξξ25五、矩2.1.6 ()(), 1, 2, , ,1, 2, , ,()(), .ij ij ij n p E i n j p E ξξξεξξξ=×=== 定义设为随机矩阵，假定存在且有限记称为随机矩阵的均值)()( ij E ξξε=26,(1) ,,,( )(),()()A B C A B C A B CA A εξεξξεξεξ+=+=若为常数矩阵则特别当为随机向量时有注：以下总假定公式中用到的随机矩阵的矩是存在的.均值的性质：27)]([)]([)] )4()()( , )3()()( ,, )2(ξεξεξξηεξεηξεηεξεηξεA tr A tr A E n p A p n b a b a b a B A B A B A ==××+=++=+[tr()()(则常数矩阵，为随机矩阵，为若为常数，则若则为常数矩阵若注：以上四个性质均体现均值的线性性.28().),,cov()(),cov(])()][([),cov( ),,cov(,)(),), 7.2.1 2121的协方差称为时，记作当即其元素是矩阵定义为一个简称协差阵阵的协方差维随机向量，它们之间维和分别为和设定义ξξξξηξηξηεηξεξεηξηξηηηηξ===′−−=×′=′=D p n p n ξξξj i j i p n ((29() ),cov(),cov( j i ηξηξ=()),cov(),cov(j i ξξξξ=31.])(][)([)())()()( ,)2(.})(){() (),cov(,})(){() (),cov()1(′−−+=′−−=+′−′=′−′=a a D a a D a D a ξεξεξξξεξξξεξεξξεξξηεξεηξεηξ(则为常向量若特别协差阵的性质：32A AD A DB A B A B A ′=′=)()( ),cov(),cov( ,)3(ξξηξηξ特别则为常数矩阵和设协差阵的性质（续）35则记值和协差阵存在的均若随机向量定理 ),( ),( ,),,, 1.1.221ξξεμD ξξξξn =Σ=′= ()()( μμξξA A tr A E ′+Σ=′36μμμμξξξξξξA A tr A tr A Etr A Etr A E ′+Σ=′+Σ=′=′=′)()}({)()()(μμξξεξεξεξξεξ′+Σ=′′−′=) (,})(){() ()(:所以因为证明D。
多元统计分析 多元正态分布及PPT课件
1
e e dx
itx
(
x) 2 2
2
2
u ( x ) /
1
eit
(u
)
e
u2 2
d
u
2
12
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第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质1
eit
1
1[u2 2itu(it )2 (it )2 ]
e2
du
2 eit
1 1 (uit )2 1 (it )2
e e du 2
2
2
exp[it 1 t 2 2 ] 1
1 (uit )2
e2
du
2
2
exp[it 1 t 2 2 ]
2
13
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第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质1
当 X～N(0,1)时,φ(t)=exp［-t 2 /2］.
性质1 设U= (U1,…,Uq)′为随机向量,
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质2
Z=BX+d d= B(AU+μ)+d = (BA)U+(Bμ+d)
由定义2.2.1可知
Z ～Ns(Bμ+d, (BA)(BA))，
Z ～Ns(Bμ+d, BΣB). (这里Σ=AA).
20
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第二章 多元正态分布及参数的估计
23
第23页/共83页
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布性质2的推论
例f (2x.11,.1x2()X1,X212)的e联12合(x12密x22度)[1函数x为1x2e
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析(数学建模)ppt课件
体现了正相关趋
50
势
年龄
40
30 800
性别
女职工
男职工
900
1000
1100
基本工资
8
绘制散点图
(二)基本操作步骤 (1)菜单选项:graphs->scatter (2)选择散点图类型:
simple:简单散点图(显示一对变量的散点图) overlay:重叠散点图(显示多对变量的散点图)
(3)选择x轴和y轴的变量 (4)选择分组变量(set markers by):分别以不同颜色
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图10-1是一个简单的路径路，A是父亲智商，B是母亲智商， C1、C2是两个成年子女的智商，e1, e2是与A,B不相关的另外原因变 量。一般来说，父母亲的智商之间不存在关系；父母亲的智商对 子女的智商存在因果关系，用单箭头表示,子女的之间，存在相关 关关系,用双箭头表示。箭头上的字母表示路径系数，路径系数反 应原因变量对结果变量的相对影响大小。在路径分析中一般采用
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其他变量（A）对内生变量（B）的影响有两种情况 ：若A直接通过单向箭头对B具有因果影响，称A 对B有 直接作用（direct effect）；若A 对B的作用是间接地通 过其他变量（C）起作用，称A 对B有间接作用（ indirect effect），称C为中间变量（mediator variable） 。变量间的间接作用常常由多种路径最终总合而成。图 10-2中，四个外生变量耐用性、操作的简单性、通话效 果和价格既对忠诚度有直接作用，同时通过感知价值对 忠诚度具有间接作用。
tow-tailed:输出双尾概率P. one-tailed:输出单尾概率P
《多元统计分析》课件_第一章_多元正态分布
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11
§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X (X1, X2, , X p )有 P个分量。若 E(Xi ) i (i 1, 2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E
X
E E
E
x1 x2
xp
1 2 p
（4） d(x, y) d(x, z) d(z, y) x, y, z E
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§1.3 多元正态分布
多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今 为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态 总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。 另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分 布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但 它的样本均值近似于多元正态分布。
距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis
）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
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§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体
G1
:
(1
,
2 1
)和G2
:
(
2
,
2 2
。) 若有
一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由
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x2
§1.2 统计距离和马氏距离
这时
AB 52 102 125
CD 102 12 101
显然AB比CD要长。
现在，如果 x2用mm作单位，x1 单位保持不变，
此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则
《多元统计分析》第二章 随机向量和多元正态分布
《多元统计分析》MOOC2.1 多元分布王学民一、多元概率分布函数v随机向量：一个向量，若它的分量都是随机变量。
v 随机变量x 的分布函数：v 随机变量x 1和x 2的联合分布函数：v 随机向量的分布函数：v本课程主要讨论连续型的分布。
()12,,,p x x x '=x ()()F a P x a =≤()()121122,,,,,,p p p F a a a P x a x a x a =≤≤≤ ()()121122,,F a a P x a x a =≤≤二、多元概率密度函数v一元的情形：v二元的情形：vp 元的情形：v概率密度函数，简称概率密度或密度函数或密度。
()()d a F a f x x -∞=⎰12121212(,)(,)d d a a F a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰1111(,,)(,,)d d pa a p p pF a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰分布函数的概念主要用于理论上的讨论，本课程仅在此提一下，后面将不再提及。
分布用密度来描述较为方便。
概率密度的性质v一元密度f (x )的性质：v多元密度f (x 1,⋯,x p )的性质：1111(,,)0,,(,,)d d 1p p p p f x x x x f x x x x ∞∞-∞-∞≥=⎰⎰(1)，对一切实数；(2)。
()0()d 1f x x f x x ∞-∞≥=⎰(1)，对一切实数；(2)。
三、边缘分布v 边缘分布：p 维随机向量 的任意子向量的分布。
v边缘分布可以是关于一个变量，两个变量，…，p −1个变量的边缘分布。
()12,,,p x x x '=x四、条件分布v条件分布：在一些已知条件下的分布。
v例1研究某人群，x1——身高，x2——体重，该人群中x2的分布为f(x2)。
如果已知某人的x1=1.80（米），则对该人体重的推断应依据f(x2|x1=1.80)，而不是f(x2)。
第七章多元统计分析资料
17
性质1 设X N p (, ), 0，则 E(X ) , D(X )
性质2:正态随机变量的线性变换仍为正态变量 正态随机向量的线性变换仍为正态向量
即，设随机向量X Np (, ),C是任一r p
阶矩阵，b是r 1常数向量，记Y CX b，则
Y Nr (C b,CC )
18
性质3：设随机向量
X
X1 X2
N
p
1 2
,
11 21
12 22
其中X1是k维随机向量，X 2是p k维随机向量，
1是k 1常数向量，2是( p k)1常数向量，
11为k阶方阵，12为k ( p k)阵，21为( p k) k 阵，22为p k阶方阵,且 | 22 | 0，则
19
(1)E(AX ) AE(X )
(2)E(AXB) AE(X )B
(3)D( AX ) AD( X ) A (4)Cov( AX , BY ) ACov( X ,Y )B
14
一元：X～N(μ,σ2)，密度函数
1
2
exp{
1
2 2
(x
)2}
15
定义5：设U (U1,U2, ,Uq ) 是随机向量，且 Ui (i 1, 2, , q)独立同分布，其中Ui N(0,1)，
4
众所周知，一元正态分布在数理统计的 理论及应用中都占据着重要的地位，主 要因为 (1)很多随机变量服从正态分布；
(2)根据中心极限定理，当样本容量很 大时，许多统计量的极限分布往往都 与正态分布有关.
5
多元统计分析中，多元正态分布也占据 着重要的地位. 原因也是相当多的实际 问题中，高维数据服从或近似服从正态 分布.
多元统计分析课件 (5)
对一切 x 、 y 成立。
3、设 x1 , x 2 ,, xn 是 n 个随机向量，若
F ( x1 , x 2 ,, x m ) F1 ( x1 ) F2 ( x 2 ) Fm ( x m ) m n
对一切 x1 , x 2 ,, xn 成立，则 x1 , x 2 ,, xn 相互独立。
f ( x1 , x2 , x p )dx1 dx p
则称 x ( x1 , x2 ,, x p )为连续型随机向量。称
f ( x1 , x2 ,, x p )
为的多元概率密度函数。
若 f ( x1 , x2 ,, x p ) 在点 ( x1 , x2 ,, x p ) 连续，则
1 0
6 2 x1 (4 x1 x2 1) f ( x1 , x2 ) 5 3 x12 (4 x1 x2 1) f ( x1 | x2 ) 6 2 f 2 ( x2 ) 3 x2 1 x2 5 5
6 2 x1 (4 x1 x2 1) f ( x1 , x2 ) 5 4 x1 x2 1 f ( x2 | x1 ) 12 3 6 2 f1 ( x1 ) 2 x1 1 x1 x1 5 5
若(x1,x2,…，xp)’的分量相互独立, 则协方 差 矩阵， 除主对角线上的元素外均为零，即
0 0 var( x1 ) var( x2 ) 0 0 Var ( x) 0 0 var( x ) p
2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则
E ( AXB C) AE ( X)B C
3）设 X1 , X2 ,, Xn 为 n 个同阶矩阵，则 E ( X1 X 2 Xn ) EX1 EX2 EXn
多元统计分析知识点多元统计分析课件
多元统计分析（1）题目:多兀统计分析知识点研究生___________________________ 专业____________________________ 指导教师________________________完成日期2013年12月目录第一章绪论 (1)§.1什么是多元统计分析 (1)§.2多元统计分析能解决哪些实际问题 (2)§.3主要内容安排 (2)第二章多元正态分布 (2)弦.1基本概念 (2)弦.2多元正态分布的定义及基本性质 (8)1. （多元正态分布）定义 (9)2•多元正态变量的基本性质 (10)§2.3多元正态分布的参数估计X =（X1,X2^|,X p） (11)1•多元样本的概念及表示法 (12)2. 多元样本的数值特征 (12)3」和a 的最大似然估计及基本性质 (15)4.Wishart 分布 (17)第五章聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 (18)§5.2距离和相似系数 (19)1 • Q—型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)2. .......................................................................................................................................... R型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)§5.3八种系统聚类方法 (26)1. 最短距离法 (27)2. 最长距离法 (30)3. 中间距离法 (32)4. 重心法 (35)5. 类平均法 (37)6. 可变类平均法 (38)7. 可变法 (38)8. 离差平方和法（Word方法） (38)第六章判别分析 (39)§5.1什么是判别分析 (39)§5.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2•多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1•不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2•多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1•基本思想 (58)2•多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1. 基本思想 (61)2•引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3. .......................................................................................................................................... Bartlett 近似公式 (63)第一章绪论§ 1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。
多元统计分析ppt课件
dij xik x jk
k 1
❖ 当各变量的单位不同或测量值范围相差很大时，应
先对各变量的数据作标准化处理。最常用的标准化
处理是，令
xi*j
xij
xj s jj
,
i 1, 2,
, n,
j 1, 2,
,p
变其量中的xj样 本1n i均n1 x值ij 和和样s jj 本 n方1差1 i。n1 xij xj
则可求得第一主成分为
y1 t11x1 t21x2 t p1xp t1x
它的方差具有最大值 1 。
❖ 如果第一主成分所含信息不够多，还不足以代表原 始的 p 个变量，则需考虑再使用一个综合变
量 y2 a2x ，为使 y2所含的信息与y1 不重叠，应要求
Cov y1, y2 0
我们在此条件和约束条件 a2a2 1 下寻求向量a2 ，使
❖ 主成分分析的目的就是为了减少变量的个数，因而 一般是不会使用所有 p个主成分的，忽略一些带有
较小方差的主成分将不会给总方差带来大的影响。
❖ 前 m个主成分的贡献率之和
称为主成分 y1, y2,
m
p
i i
i 1
i 1
, ym 的累计贡献率，它表明
y1, y2, , ym解释 x1, x2, , xp的能力。
动态聚类法
❖ 动态聚类法的基本思想是，选择一批凝聚点或给出 一个初始的分类，让样品按某种原则向凝聚点凝聚， 对凝聚点进行不断的修改或迭代，直至分类比较合 理或迭代稳定为止。类的个数k可以事先指定，也可 以在聚类过程中确定。选择初始凝聚点(或给出初始 分类)的一种简单方法是采用随机抽选(或随机分割) 样品的方法。
最短距离法
❖ 定义类与类之间的距离为两类最近样品间的距离， 即
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,p
，于是 , X* p)
E X * 0, V X * R
即标准化后的协差阵正好是原始向量的相关阵。可见，相 关阵R也是一个非负定阵。
§2.4 欧氏距离和马氏距离 一、欧氏距离
二、马氏距离
一、欧氏距离
x x1 , x2 ,
, x p 和y y1, y2 ,
2
E X E X ij
随机矩阵X的数学期望的性质
(1)设a为常数，则
E(aX)=aE(X)
(2)设A,B,C为常数矩阵，则
E(AXB+C)=AE(X)B+C
特别地，对于随机向量X，有
E(AX)=AE(X)
(3)设X1,X2,⋯,Xn为n个同阶的随机矩阵，则 E(X1+X2+⋯+ Xn)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)
x
d F x f x dx
, t p )d t1 dtp
多元的情形：
F ( x1 , , xp)
x1
xp
f ( t1 ,
f ( x1 ,
p , xp) F ( x1 , x1 x p
, xp)
多元概率密度函数f (x1, ⋯,xp) ：
(1) f ( x1 , (2)
f x , y f X x fY y
n个连续型随机向量的独立
f x1 ,
, xn f1 x1
f n xn
在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，则
认为它们之间是相互独立的。
§2.3 数字特征
一、数学期望（均值） 二、协方差矩阵 三、相关矩阵
一、数学期望（均值）
随机向量 X ( X1 , X 2 , , X p )的数学期望 记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
E X E X1 , E X 2 , ,E Xp
随机矩阵X=(Xij)的数学期望
E X11 EX 21 E X p1 E X 12 E X 22 E X p2 E X 1q E X 2q E X pq
V aX b a 2V X
（3）设A和B为常数矩阵，则
Cov AX , BY A Cov X ,Y B
例2 Σ 0 X 的各分量间存在线性关系（依概率1）。
协差阵的性质
（4）设 A1 , A2 , , An和B1 , B2 , , Bm 为常数矩阵，则
附2 随机向量
§2.1 一元分布
§2.2 多元分布
§2.3 数字特征 §2.4 欧氏距离和马氏距离 §2.5 随机向量的变换 §2.6 特征函数（不讲）
§2.2 多元分布
一、多元概率分布 二、多元概率密度函数 三、边缘分布 四、条件分布 五、独立性
一、多元概率分布
随机向量：元素为随机变量的向量。
ki k j cov X i , X j
i 1 j 1 n n n
证明
由独立性可得，
ki2 cov X i , X i ki2V ( xi )
j 1 i 1
n
例3 设随机向量 X ( X1 , X 2 , X 3 ) / 的数学期望和协方差矩 5 4 1 2 阵分别为 2 和 1 9 3 7 2 3 25 令y1=2x1−x2+4x3,y2=x2−x3,y3=x1+3x2−2x3,试求y=(y1,y2,y3)′的
n n
协差阵的性质
（5）设k1,k2, ⋯,kn是n个常数，X1,X2, ⋯,Xn是n个相互独 立的p维随机向量，则
n n 2 V ki X i ki V X i i 1 i 1 n n n V ki X i cov( ki X i , ki X i ) i 1 i 1 i 1
1 21 R p1
12
1
p2
2 p 1
1 p
R=(ρij)和Σ =(σij)之间有关系式：R=D−1ΣD−1 其中 D diag( 11 , 22 ,
, pp ) 。
R和Σ的相应元素之间的关系式为:
ij
数学期望和协方差矩阵。
2 1 4 X 1 Y 0 1 1 X 2 AX , 1 3 2 X 3 E (Y ) AE ( X ) ( 40, 9, 15) / , 477 126 256 V (Y ) AV ( X ) A / 126 40 91 . 256 91 219
X1 ,Y2 X 2 ,Y2 X p ,Y2
X1 ,Y1 X ,Y 2 1 X ,Y X p ,Y1
X1 ,Yq
若ρ(X,Y)=0，则表明X和Y不相关。 X=Y时的相关阵ρ(X,X)称为X的相关阵，记作R=(ρij)， 这里ρij=ρ(Xi,Xj), ρii=1。即
m n n m Cov Ai X i , B jY j Ai Cov X i ,Y j Bj j 1 i 1 i 1 j 1 m n n m 推论 Cov X i , Y j Cov X i, Y j j 1 i 1 i 1 j 1
随机矩阵：元素为随机变量的矩阵。 随机变量X的分布函数：
F x P X a
随机向量 X X1 , X 2 , , X p
的分布函数：
F x1 , x2 ,
, x p P X 1 x1 , X 2 x2 ,Leabharlann , X p xp
二、多元概率密度函数
一元的情形： F ( x ) f t d t ,
其中，对角线块为子向量的协差阵，非对角线块 为两个子向量之间的协差阵。熟悉这四块子矩阵的含 义很有益处。
协差阵的性质
（1）协差阵是非负定阵，即Σ≥0。 推论 若|Σ|≠0，则Σ>0。 （2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则
V AX b AV X A
当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：
证明
m n Cov X i , Y j j 1 i 1
m m E X i E X i Y j E Y j i 1 i 1 j 1 j 1 n m n m E X i E X i Y j E Y j Cov X i ,Y j i 1 j 1 i 1 j 1
f1 ( x1 ,
, xq )
f ( x1 ,
, x p )d xq1
d xp
四、条件分布
设 X X1 , , X p 是p维连续型的随机向量，在给 定 X 2 X q1 , , X p , f 2 x 2 0 的条件下，
X 1 X1 ,
,Yq E Yq
E X E X Y E Y
X和Y的协方差矩阵与Y和X的协方差矩阵互为转置关系，
Cov Y , X 即有 Cov X ,Y
若Cov(X,Y)=0，则称X和Y不相关。两个独立的随机向量 必然不相关，但两个不相关的随机向量未必独立。 X=Y时的协差阵Cov(X,X)称为X的协方差矩阵，记作V(X)，
X X1 , X 2 ,
, X p 和Y Y1 ,Y2 ,
,Yq 的协方差矩阵（简
称协差阵）定义为:
Cov X1 ,Y1 Cov X 1 ,Y2 Cov X ,Y Cov X ,Y 2 1 2 2 Cov X ,Y Cov X p ,Y1 Cov X p ,Y2 X E X 1 1 Y1 E Y1 , E Xp E Xp Cov X 1 ,Yq Cov X 2 ,Yq Cov X p ,Yq
1
11
0
0 1
0 0
22
0
0
1
pp
标准化变换
在数据处理时，常常因各变量的单位不完全相同而需要对 每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令
X
* i
* * 记 X * ( X1 , X2 ,
X i i
ii
, i 1, 2,
X E X X E X 即 VX E V X1 Cov x1 , x2 Cov X , X V x2 2 1 Cov X p , X 1 Cov x p , x2 Cov X 1 , X p Cov X 2 , X p V Xp
前述关系式即为:
R 1
ij
ii jj
11
0
0 1
0 0
22
0
0
1
pp
12 11 21 22 p1 p 2