微专题平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结

题型一 数量积的最值问题

例题1： 平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅最小值是______

分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分

别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可

【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b ==

由2a b -=

()2

23a b

=⇒-=

而2

a b ab ⋅

=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=

⇒=-

(2

2

5522244

a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭，()

min

5

4

a b

∴⋅=

例题2： 已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，

直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ， 则BQ

【分析】本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC 的值不确定，从而不容易利用三边向量

将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值

【解析】以,BC AM 为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ⎛- ⎝⎭

设直线:l y kx =+

，由()(

)(1,0,1,0,B C A -可得：

)):1,:1AB y x AC y y x =+==-

):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩

得：

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

；):3

1y kx Q y x ⎧=+

⎪⎨⎪=-⎩

得：

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

((

53

353,,

k BQ CP ⎛⎫⎛⎫+∴== (()()

222222

575931622

39333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()22222

62216

18401406333333k k

k k k ⎛⎫+-+⎛⎫

===⋅+ ⎪ ⎪---⎝

⎭⎝⎭ 例题3： 已知圆C 的方程2

2

(1)1x y -+=，P 是椭圆22

143

x y +=上一点，

过P 作圆的两条切线，切点为A ， B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）

A ．3

[,)2

+∞ B ．3,)+∞ C ．563,

9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．356,

29⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

【解析】(,)P x y ，设2

2

2

2

2

1,(1,0),||||1(1)1244

CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=

-+ 2

222122

114sin cos 212sin 11||2424

44

x x PC x x x x θθθ-+⇒==⇒=-=

-+-+，

设2211

24(4)44

t x x x =

-+=-，2min (2)2

||cos 2(1)

3223,2,()t PA PB PA t t t PA PB t t

θ-•==-=+-≥-=•=max 56

223,9,()9t PA PB -=•=

⇒PA PB ⋅的取值范围为56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦，故选C

例题4： 已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为23，若P 为

边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是

【解析】令()f λ＝2

2

2

2

2

|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋

24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+，

当cos 0A =时，()f λ＝2

2

1

116(221)16[2()]82

2

λλλ-+=-+≥， 因为2322>，所以2

A π

=

，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(0,2)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(,2)PC x =-， 所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --； 当cos 0A ≠时，()f λ＝2

116[(22cos )()2

A λ--＋1cos ]2

A

+≥88cos 12A +=， 解得1cos 2A =

，所以3

A π

=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(1,3)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(1,3)PC x =-，

所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝2

5

9

()2

4

x --

． 综上所述，当52x =时，PB PC ⋅取得最小值9

4

-

题型二 向量模长的最值问题

例题5： 已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 范围为

【解析】如图，,()OA a b OB c AB c a b =+=⇒=-+，又||||222||22OA a b c =+=

⇒-≤≤+

4

2

2

46

8

5

10

15

A B

O