微专题平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结
题型一 数量积的最值问题
例题1： 平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅最小值是______
分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分
别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可
【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b ==
由2a b -=
()2
23a b
=⇒-=
而2
a b ab ⋅
=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=
⇒=-
(2
2
5522244
a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭，()
min
5
4
a b
∴⋅=
例题2： 已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，
直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ， 则BQ
【分析】本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC 的值不确定，从而不容易利用三边向量
将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值
【解析】以,BC AM 为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ⎛- ⎝⎭
设直线:l y kx =+
，由()(
)(1,0,1,0,B C A -可得：
)):1,:1AB y x AC y y x =+==-
):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩
得：
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；):3
1y kx Q y x ⎧=+
⎪⎨⎪=-⎩
得：
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
((
53
353,,
k BQ CP ⎛⎫⎛⎫+∴== (()()
222222
575931622
39333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()22222
62216
18401406333333k k
k k k ⎛⎫+-+⎛⎫
===⋅+ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭ 例题3： 已知圆C 的方程2
2
(1)1x y -+=，P 是椭圆22
143
x y +=上一点，
过P 作圆的两条切线，切点为A ， B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）
A ．3
[,)2
+∞ B ．3,)+∞ C ．563,
9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．356,
29⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】(,)P x y ，设2
2
2
2
2
1,(1,0),||||1(1)1244
CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=
-+ 2
222122
114sin cos 212sin 11||2424
44
x x PC x x x x θθθ-+⇒==⇒=-=
-+-+，
设2211
24(4)44
t x x x =
-+=-，2min (2)2
||cos 2(1)
3223,2,()t PA PB PA t t t PA PB t t
θ-•==-=+-≥-=•=max 56
223,9,()9t PA PB -=•=
⇒PA PB ⋅的取值范围为56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦，故选C
例题4： 已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为23，若P 为
边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是
【解析】令()f λ＝2
2
2
2
2
|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋
24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+，
当cos 0A =时，()f λ＝2
2
1
116(221)16[2()]82
2
λλλ-+=-+≥， 因为2322>，所以2
A π
=
，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(0,2)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(,2)PC x =-， 所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --； 当cos 0A ≠时，()f λ＝2
116[(22cos )()2
A λ--＋1cos ]2
A
+≥88cos 12A +=， 解得1cos 2A =
，所以3
A π
=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(1,3)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(1,3)PC x =-，
所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝2
5
9
()2
4
x --
． 综上所述，当52x =时，PB PC ⋅取得最小值9
4
-
题型二 向量模长的最值问题
例题5： 已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 范围为
【解析】如图，,()OA a b OB c AB c a b =+=⇒=-+，又||||222||22OA a b c =+=
⇒-≤≤+
4
2
2
46
8
5
10
15
A B
O
例题6： 向量,,a b c 满足4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大 值为（ ）
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的
解析式，结合平面几何知识求最值或范围．
【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x ，O 为坐标原点建立直角坐标系
∵4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，则A （4，0），B （2，2），设C （x ，y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-，∴x 2+y 2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，c a -表示点A ，C 的距离即圆上的点与点A （4，0）的距离． ∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=
-+-，∴c a -的最大值为12+
题型三 向量夹角的最值问题
例题7： 已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211
().132
f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为 【解析】()'
2
f
x x
a x a
b =++⋅，设a 和b 夹角为θ，因为()f x 有极值，所以2
40a a b ∆=-⋅>，即
2
4cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>，即1cos 2θ<
，所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
例题8： 已知向量满足，且关于的函数在实数集R 上单
调递增，则向量a,b 的夹角的取值范围是（ ） A ．π[0,
]6 B ．π[0,]3 C ．π[0,]4 D ．ππ
[,]64
题型四 平面向量系数的最值问题
例题9： 已知()2,λ=a ，()5,3-=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>，且a 与b 不共线同向，所以由0a b ⋅>，得3
10
<
λ，再除去a 与b 共线同向的情形．
a,b |a|=22|b|0≠x 32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅
【解析】由于a 与b 的夹角为锐角，0>⋅∴b a ，且a 与b 不共线同向，由01030>+-⇒>⋅λb a ，解得
310<
λ，当向量a 与b 共线时，得65-=λ，得56-=λ，因此λ的取值范围是3
10
<λ且56-≠λ．
例题10：
已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，
AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是
【解析】
如图
M N G ，， 三点共线，MG GN λ∴=，
AG AM AN AG λ∴-=-（）， ∵G 是ABC 的重心，
13
AG AB AC ∴=+（）， 11
33AB AC x AB y AC AB AC λ∴+-=-+（）（（））
1
133113
3x y λλλ
⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩＝，＝ 解得，31311x y --=（）（）；
结合图象可知111122x y ≤≤≤≤，； 令1
131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）； 故111
33
m n
mn x y ++===，，；
故144431333333n n x y m m ++=++
=++≥+=+
，当且仅当m n == 例题11：
如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点， 且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为
【解析】因为,,M N G 三点共线，所以()
,MG GN AG AM AN AG λλ=-=-，
因为G 是ABC ∆重心，(
)13AG AB AC =
+()()
1133AB AC xAB y AC AB AC λ⎛⎫
+-=-+ ⎪⎝⎭
，
所以1133
113
3x y λλλ
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得()()31311x y --=，解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤．
由基本不等式得()()2
3162231622x y x y -+-⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭
即(
)332323
x y x y ++-≥+≥
．当且仅当3162x y -=-，
即1
2,36x y =
=
时，等号成立，故最小值为33
+． 例题12：
直角梯形ABCD 中，CB CD ⊥，AD BC ，ABD 是边长为2的正三角形，P 是平面上的 动点，1CP =，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的最大值为________
【解析】以C 为原点，CD 为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，1CP =
∴可设()(
)()cos ,,1,
3,2,0CP sin AD AB αα==-=-
，(,,AC =-
(cos 2,,AP AC CP sin αα
=+=-因为AP
AD AB λμ=+， 所以(()cos
2,2
sin ααλμ
-+=--
1223 11
22sin cos sin cos sin λαλμααμαα⎧=+⎪--=-⎪⇒
⎨=+⎪=⎧⎪
-+-⎪⎩
，()1
33cos =262
32sin λμαααϕ+=-+
+-
+ 332≤+=
96+， 即λ
μ+
．
题型五 平面向量与三角函数相结合的最值问题
例题13：
已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【解析】（1）因为，，，所以．
若，则，与矛盾，故．
于是
，所以．
（2）. 因为，所以，从而. 于是，当，即时，取到最大值3；当，
即时，取到最小值
题型六 平面向量与二次函数相结合的最值问题
例题18
： 在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且， 的最小值为______．
【解析】设，，所以，
当时，取得最小值．
例题19： 在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB
的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．71
4
-
B ．24-
C ．514
-
D ．30-
【分析】如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE
BE =求出E 的坐标，求
边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数性质求最大值.
(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =⋅a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22
sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56
x π
=π
(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅=-=+
a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +
∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +=0x =()f x π
6
x +=π5π
6
x =
()f x -(1
0)A -，(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ⋅(0,)E t (0,2)±F t (1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t 22
2(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t 1=±t AE BF ⋅3-
【解析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()0,0A ∴
，(B
，(C ，()5,0D ，因为点E 在线段CB 的延长线上，
设(0E x ，01x <
AE BE =
，()2
2
2001x x +
=-解得01x =-
，(E ∴-，(4,3C ，()5,0D ，
CD ∴
所在直线的方程为y =+，因为点M 在边CD
所在直线上，故设
(,M x
+(,AM x ∴=+
，(1E x M -=--， (
)
1AM ME x x -∴⋅=--+
+242660x x =-+-2
3714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当13
4
x =
时(
)
max
71
4
AM ME ⋅=-
故选：A
【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题
题型七 平面向量与基本不等式相结合的最值问题
例题20： 若平面向量，满足：；则的最小值是．
【解析】，
例题21： 在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段
和上，且，，则的最小值为 ． 【解析】 因为，，
，
，
，
a b 23-≤a b ⋅a b _____2
2
23494a b a b a b -≤⇔+≤+22
9
4449448
a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-ABCD AB DC ∥2AB =1BC =60ABC ∠=E F BC DC BE BC λ=1
9DF DC λ
=
AE AF ⋅19DF DC λ
=
1
2DC AB =119199918CF DF DC DC DC DC AB λλ
λλλ
--=-=-==AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ
λλ
-+=++=++
=+()
1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛
⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭
当且仅当
即时的最小值为
例题22： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则
221a b a b b
+++的最小值是___________
【分析】本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 【解析】由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=且
0,0a b >>，所以
(
)2222222112221222a b a b a a b b a b
a b a b b a b a b b a b a b
+++++++=-+-=+-≥+++++++
所以最小值为2
，故填2.
题型八 平面向量与圆相结合的最值问题
例题23： 在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则
的最大值是 ．
【解析】设(,)D x y ，由||1CD =，得22
(3)1x y -+=，向量OA OB OD +
+(1,x y =-+，
故||(OA OB OC x ++=
的最大值为圆22
(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22
(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点
(1,的距离加上圆的半径，
11=
例题24： 已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A
B
C
D 【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，
19199421cos1201818λλ
λλλ
++=
⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=2192λλ=23λ=29
18
B
A
O (1,0),(3,0),A B C -D ||1CD =||OA OB OD ++,a b 0⋅a b =c 1--=c a b c 112,a b ()()1,0,0,1==a b
又设，代入
，
又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值， 即圆心(1，1)
．
例题
25： 若过点()1,1P 的直线l 与2
2
:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ⋅取值范围______
【解析】本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线
OA 的垂线，垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，0OA OB ⋅=，AB 位于其他位置
时，D 点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ⋅=-⋅，故0OA OB ⋅<，故
()
max
0OA OB ⋅=，下面寻找最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA
最
大
，
即
为
AC
，此时直线
OP
即为直线
AB。

所以
()
2min
4OA OB OA OD OA OC r ⋅=-⋅=-⋅=-=-。

进而OA OB ⋅的范围是[]4,0-
例题26： 已知1,3OA OB ==
,OA OB 的夹角为150，点C 是AOB 的外接圆上优弧AB 上的一
个动点，则OA OC ⋅的最大值是________
【分析】题中OA 的模长为定值，考虑OA OC ⋅即为OA 乘以OC 在OA 上的投影，从而OA OC ⋅的最大值
只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当MC 与OA 同向时，投影最大。

即
()
max
OA OC OA OD ⋅=⋅，只需计算OD 的模长即可
【解析】当MC 与OA 同向时，OC 在OA 上的投影最大，()
max
OA OC
OA OD ∴⋅=⋅
(),x y =c 1--=c a b 1=c ()()2
2
111x y -+-=1
在AOB 中，222
2cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=，7AB ∴=
21sin 2AB
R AOB
∴=
=
= 即R =
11
22
OD ON ND OA R ∴=+=+=
+()
max
1
2
OA OC
OA OD ∴⋅=⋅=
+ 题型九 平面向量与三角形相结合的最值问题
例题27： 在ABC 中，已知60ACB ∠=，BM MC =，||3AM =，
则ABC 的面积的最大值为（ ）
A
B
C
D ．【分析】ABC S AC MC =
⋅△，而又由余弦定理可得229AC MC AC MC =+-⋅，再利用基本不等式222AC MC AC MC +≥⋅即可解决.
【解析】在AMC 中，由60ACB ∠=，||3AM =及余弦定理可得229AC MC AC MC =+-⋅，又
222AC MC AC MC
+≥⋅（当且仅当AC MC =时取等号），所以92AC MC AC MC +⋅≥⋅，即09AC MC <⋅≤.因为BM MC =，所以M 为BC 的中点，所以ABC 的面积3
2sin602ABC AMC S S AC
MC MC ==⋅⋅=
⋅△△，所以
0ABC S <△，所以ABC 的面积的最大值为.故选：B. 【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生运算求解能力，是一道中档题. 例题28： 已知平面向量()
,0,αβααβ≠≠满足=1β ，且α与βα-的夹角为120，则α的取值范围是
___________
【分析】本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。

从图中可观察到,,αββα-构
成BCD ，60C ∠=，从而可利用正余弦定理求出α即CD 的取值范围
【解析】在BCD 中，由正弦定理可得：sin sin sin sin BD CD
C DBC C DBC
βα=⇒=
sin sin DBC DBC DBC C
β
α∴=
⋅=
= 而20,
3
DBC π⎛⎫
∠∈
⎪
⎝
⎭ (
]sin 0,1DBC ∴∈ DBC α⎛∴=∈ ⎝⎦
真题赏析
1. 【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.
【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.
则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=≥0.
(1,2,3,4,5,6)i =可取遍1±，
1345621,1λλλλλ======-时，有最小值min y )λλ-+和()λλλ-+的取值不相关，1λ=或所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值
max y === 故答案为0；
【小结】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不
等式的综合题.
2. （2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆
上．若，则的最大值为
A ．3
B ． C
D ．2 【解析】如图建立直角坐标系，
则，
，，，由等面积法可得圆的半径为
，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线
，解得，所以的
最大值为3
，即的最大值为3，选A ．
3. （2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，设
ABCD 1AB =2AD =P
C B
D AP AB AD λμ=+λμ+(0,1)A (0,0)B (2,1)D (,)P x y 224
(2)5
x y -+=
(,1)AP x y =-(0,1)AB =-(2,0)AD =AP AB AD λμ=+21x y μ
λ
=⎧⎨
-=-⎩λμ+12x y -+12x z y =-+102x y z -+-=(,)P x y 102x
y z -+-=13z ≤≤z λμ+ABC ∆P ABC ()
PA PB PC ⋅+2-32-
4
3
-1-BC x BC DA y D A (1,0)B -(1,0)C (,)P x y
所以，，
所以 ， 当时，所求的最小值为，故选B ． 4. (2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
，向量满足，则的最小值是（ ）
A
B
C ．2
D ．
解法一：设为坐标原点，，，，由
得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l 为半径的圆． 因为与的夹角为
，所以不妨令点在射线()上，如图，
数形结合可知
解法二：由得．
设，，，所以，，
所以，取的中点为
为直径的圆上，如图．
设，作射线，使得，所以
．故选A ．
()PA x y =-(1,)PB x y =---(1,)PC x y =--(2,2)PB PC x y +=--22
()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-
23322
--≥P 3
2
-a b e e a e 3
π
b 2430-⋅+=b e b ||-a b 112-O OA =a (,)OB x y ==b =(1,0)e 2430-⋅+=b e b 2
2
430x y x +-+=2
2
(2)1x y -+=B (2,0)C a e 3
π
A y =0x >min ||||||3CA C
B -=-=-a b 2
430-⋅+=b e b 22
43()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e OB =b OE =e 3OF =e EB -=b e 3FB -b e =0EB FB ⋅=EF C EF OA =a OA 3
AOE π
∠=
|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b |(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b
模块三、模拟题汇编
1．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅=-2，动点P ，
M 满足AP =1，PM =MC ，则2
BM 的最大值是
A ．
434 B ．494
C
D
【解析】由2DA DB DC ===知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅ 知D 为
ABC ∆
的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为AC 的中点E ，因为M 是PC 的
中点，所以1122EM AP =
=，所以max 17||||22BM BE =+=，则2max 49
||4
BM =．故选B ． 2．已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设，，，
∴而，
∴的最大值为，故选B ．
3．（2020·四川省绵阳南山中学高三）点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内
一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 【分析】由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【解析】将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，
222211()2331
cos 1122222()
2
m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-
+⨯（当且仅当1m n ==时等号成立）
，0AOB π<∠<，AOB ∴∠的最小值为23
π
，故选：D ． 【小结】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
),(n m A ),(n m C --),(y x B (6,)PA PB PC x y ++=-491237)6(2
2≤-=+-x y x PA PB PC ++7
4．（2020·内蒙古高三）已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y
2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最
大值是（
）
A B ．1
C D ．2
【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θ
θ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.
【解析】如图所示建立直角坐标系，则1,0A
，12⎛- ⎝⎭B ，1,2C ⎛- ⎝⎭
，设()cos ,sin P θθ，
则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D .
【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 5．已知， ， ，若点是所在平面内一点，且
，
则 的最大值等于
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的
平面直角坐标系，
所以点，，，所以
AB AC ⊥1AB t =
AC t =P ABC ∆4AB AC
AP AB AC
=+PB PC ⋅A AB x AC y (1,4)P 1(,0)B t (0,)C t 11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t
⋅=----=-⨯--⨯-
=（当且仅当，即
时取等号），所以的最大值为13． 6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A ．若确定，则唯一确定
B ．若确定，则唯一确定
C ．若确定，则唯一确定
D ．若确定，则唯一确定
【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最
小值为，即，则知若确定，则唯一确定．
7．设，为单位向量，非零向量，，若，的夹角为
，则的最大值等于________． 【解析】
，所以
的最大值为2． 8．已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．
【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a ，(2cos ,2sin )ββ=b ，
则由||||
6+ae
be 可得|cos |
2|cos |6αβ+ ①，令
sin 2sin m αβ+= ②
22①+②得24[|cos cos |sin sin ]
1m αβαβ++对一切实数,αβ恒成立，
所以4[|cos cos |sin sin ]
1αβαβ+．
故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]
2
αβαβαβαβ⋅=++a b ．故最大值为1
2．
9．已知向量,满足,,则的最小值是 ，最大值是 ．
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有，
，
1174t t --1713-=≤1
4t t =1
2
t PB
PC ⋅θa b t ||t +b a θ||a θ||b ||a θ||b θ2222||2t t t +=++b a b a b a 222
()2f t t t =++b a b a t ()f t 222222222222
4(2)44cos 4sin 1444
θθ--===a b ab a b a b b a a 22
||sin 1θ=b θ||b 1e 2e 12x y =+b e e ,x y ∈R 1e 2e 6π||
||
x b ||||x ==
=
b ==
||
||
x b a b ||1=a ||2=b ||||++-a b a b ,a b θ2
12a b -=+=212a b +=+=54cos a b a b ++-=+
令，则，据此可得：
，即
的最小值是4，最大值是
10．设向量)()
,sin,cos,sinx,0,.
2
x x x x
π
⎡⎤
==∈⎢⎥
⎣⎦
a b
（I）若||||
=
a b，求x的值；
（II）设函数()
f x=⋅a b，求()
f x的最大值．
【解析】（I）由
2222
)(sin)4sin
a x x x
=+=，222
(cos)(sin)1
b x x
=+=，及2
,4sin1
a b x
==
得，又
1
[0,],sin
22
x x
π
∈=
从而，所以
6
x
π
=.
（II）2
()cos sin
f x a b x x x
=⋅=⋅+
111
2cos2sin(2)
2262
x x x
π
-+=-+.
当[0.]sin2- 1.
326
x x
πππ
=∈时，（）取最大值所以
3
().
2
f x的最大值为
y=[]
21016,20
y=+
()()
max min
2025,164
a b a b a b a b
++-==++-==a b a b
++-。