极坐标和直角坐标的互化z

2 2
4 x 4 y x 8 x 16
2 2 2
3x 8 x 4 y 16
2 2
课堂小结： 1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可 2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；

C.圆
D.抛物线
) 7.以 ( 2 , 4 )为圆心，2 为半径的圆的极坐标方程是(C
A. (sin cos ) B. C. 2(sin cos ) D.
sin cos
2(sin cos )
8、求曲线
sin 3 cos 的直角坐标方程
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com
http://www.xjktyg.com/wxc/
2
9、 把 极 坐 标 方 程
4 ＝ 化 为 直 角 坐 标 方 程 。 2－cos
解：方程可化为 2 － cos 4 即2 ＝4＋x 两边平方得： 4 ＝( x 4)
开篇练习
1、 已 知 点 A( 1 ,1 ), B( 2 , 2 )的 极 坐 标 满 足 条 件 1＋ 2＝ 0且1＋ 2＝， 则 A与B 的 位 置 关 系 是 什 么 ？
2、 已 知 曲 线 C与 曲 线 ＝ 5 3 cos 5 sin 关 于 极 轴 对 称 ， 则 曲 线 C的 方 程 是 A、 10 cos( ), B、 10 cos( ) 6 6 C、 10 cos( ), D、 10 cos( ) 6 6

互化公式的简单应用
2 例1. 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
点M的直角坐标为
5 5 3 ( , ) 2 2
例2. 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
7 ( 2, ) 6
练习： 2 11 1.把点M 的极坐标 (8, ), (4, ), (2, )
3
）
x
3 3. 的直角坐标方程是 4 y 3 y 解： tan tan , 即y x ( y 0 ) x 4 x
4.极坐标方程 sin 2 cos 所表示的 曲线是
5.极坐标方程 sin 2 2 cos 0 表示的曲线是___。 抛物线 6.极坐标方程 4 sin2 3 所表示的曲线是（ B ） A.两条射线 B.两条相交直线




思考：
平面内的一个点既可以用直角坐 标表示，也可以用极坐标表示，那 么，这两种坐标之间有什么关系呢？
2、极坐标和直角坐标的互化
若想让两种坐标顺利的实现相互转化， 应该具备怎样的前提？
三角函数定义 sinθ= y／r cosθ= x／r tanθ= y／x A(x,y) y r
o
θ x
把直角坐标系的原点作 为极点，x轴的正半轴作 为极轴，并在两种坐标 系中取相同的长度单位 。 极坐标是（，）。从图 百度文库 — 14可以得出他们之 间的关系：
y
设M是平面内任意一点，它 的直角坐标（x，y），
M


0
y
x
N
x
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极 坐标时，取 0, 0,2
解： 2 sin 3 cos（两边同乘以 ）
x cos ; y sin ； x y
2 2
2
x 3x y y 0
2
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6
化成直角坐标； 2.把点P的直角坐标( 6, 2 ) (2,2)和(0,15)
，
化成极坐标。 解（2）由直角坐标化为极坐标的公式： 解（1）由极坐标化为直角坐标的公式： y 2 2 2 x y ; tan sin . x cos y
11 7 3 得极坐标分别为 (2 2 ( , 4,4 ), (2 2 ,2 3), (15 , (2 ) ,0) 得直角坐标分别为 3 ), ( , 2 ), 6 4 2