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都在点 (0, 1) 的某邻域连续，
F (0, 1) 0
2
Fy (0, 1) 2 0
所以由隐函数定理，方程
x y 1 0
2
确定了定义在 x0 = 0 的某邻域(-1, 1) 上的隐函数
y 1 x
2
在点 (1, 0) 的某邻域呢？
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思考
定理18.2 （隐函数可微性定理）设 F ( x, y) 满足隐函数存在唯一性定理中的条件（i）（iv ), 又设
定理18.1 （隐函数存在唯一性定理）设F ( x, y)满足 (i) 函数 F 在以 P0 ( x0 , y0 ) 为内点的区域 D 上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0; (iii ) Fy ( x , y )在 D 内连续; (iv) Fy ( x0 , y0 ) 0,
o o o 唯一地确定一个定义在 Q0 ( x1 , x2 ,, xn ) 的某邻域
U (Q0 ) 内的 n 元连续函数 y f ( x1 , x2 , xn )，使得
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1 f ( x 0 ) y0 , x ( x0 , x0 ) 时， ( x, f ( x )) U ( P0 ) 且 F ( x , f ( x )) 0；
o
2 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 内连续.
o
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则在点 P0 的某邻域U ( P0 ) 内，方程 F ( x, y ) 0 唯一地确定一个定义在某区间 ( y0 , y0 ) 内的函数 (隐函数) x g( y )，使得
Fx ( x, y ) 在 D 内连续，则由方程F ( x, y ) 0 所确
定的隐函数 y f ( x ) 在其定义域( x , x ) 内有
连续的导函数，且
Fx ( x , y ) f ( x ) Fy ( x , y )
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方程
F ( x, y ) x y 1 0
2 2
所确定的隐函数的导数为
y 1 x
2
Fx dy 2x x dx Fy 2y y
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定理18.3 若 (i )F ( x1 , x2 , xn , y ) 在以点 o o o o n1 P0 ( x1 , x2 , xn , y )为内点的区域 D R 上连续；
例如方程
x y 1
2 2
确定了定义在 (-1,1) 上的隐函数
y 1 x
2
也确定了定义在 (-1,1) 上的另一隐函数
y 1 x
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2
若方程 F ( x, y ) 0
确定了定义在 I 上的隐函数 y = f ( x ) ，则有
F ( x , f ( x )) 0
o o o (ii )F ( x1 , x2 , xn , y o ) 0; (iii ) Fx1 , Fx2 ,, Fxn , Fy 在D内连续; o o o (iv )Fy ( x1 , x2 , xn , y o ) 0,
则在点 P0 的某邻域U ( P0 ) 内，方程F ( x1 , x2 , xn , y ) 0
且 F ( g( y ), y ) 0；
2o g( y ) 在 ( y0 , y0 ) 内连续.
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2 2 例如方程 x y 1 0 函数 F ( x , y ) x 2 y 2 1
以及偏导数且
Fy ( x , y ) 2 y
隐函数概念隐函数存在性条件的分析隐函数定理隐函数求导举例
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一、隐函数概念
在此之前我们所接触的函数其表达式是自变量的某个算式，这种形式的函数称为显函数. 例如
y x 1
2
u e (sin xy 1)
xyz
在实际问题中，经常遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则由一个方程确定例如
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三、隐函数定理
一个方程所确定的隐函数及其导数
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则在点 P0 的某邻域U ( P0 ) 内，方程 F ( x, y ) 0 唯一地确定一个定义在某区间 ( x0 , x0 ) 内的函数 (隐函数) y f ( x )，使得
xy y 1 0
1 y x sin y 0 2
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设X R，Y R, 函数 F : X Y R. 对于方程 F ( x, y ) 0 (1) 若存在集合 I X 与 J Y , 使得对于任何 x I，恒有唯一确定的y J，它与 x 一起满足方程(1)，则称由方程确定的一个定义 I 在上，值域含于J 的隐函数.
2 2
x来自百度文库I
并非任一方程都能确定出隐函数，例如方程
x y 1
就不能确定任何函数 f ( x ) ，使得
x f ( x ) 1
2 2
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究隐函数的连续性、可微性及求导方法问题 .
定理18.1（隐函数存在唯一性定理）设F ( x, y)满足 (i) 函数F在以P0 ( x0 , y0 ) 为内点的区域D 上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0; (iii ) Fx ( x, y )在 D 内连续; (iv) Fx ( x0 , y0 ) 0,
1o g( y0 ) x0 , y ( y0 , y0 ) 时， ( g( y ), y ) U ( P0 )