2019-2020学年山东省聊城市阳谷县名校八年级第一学期期末质量检测数学试题(卷)

2019-2020学年山东省聊城市阳谷县名校八年级第一学期期末质量检测数学试题（卷）
一、精心选一选（每题3分，共36分）
1．下列命题中，是真命题的是( )
A．画一个等边三角形，使它的三条边的长都等于线段m B．两个关于某直线对称的三角形是全等三角形
C．两个图形关于某直线对称，对应点一定在直线两旁D．三条直线相交，一定有三个交点
2．要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( )
A．方差 B．众数 C．平均数D．中位数
3．如果a：b=1：2，那么=( )
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
4．若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为( ) A．30°或50°B．50° C．50°或80°D．80°
5．下列属于尺规作图的是( )
A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个300的角
C．用圆规画半径2cm的圆D．作一条线段等于已知线段
6．△ABC≌△AEF，有以下结论：
①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为( )
A．AD＜DE B．AD=DE C．AD＞DE D．不确定
8．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为( ) A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
9．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：
金额/
5 6 7 10
元
人数 2 3 2 1
这8名同学捐款的平均金额为( )
A．3.5元B．6元C．6.5元D．7元
10．已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是( )
A．86° B．76° C．48° D．24°
11．某班级某一组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是( ) A．50元，50元B．50元，40元C．50元，20元D．55元，50元
12．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( )
A．165°B．120°C．150°D．135°
二、填空题（每题3分，共15分）
13．王师傅承担了510个工件的焊接任务，加工了110个工件后，开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成任务．设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，则依题意可列出方程__________．
14．样本数据：3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是__________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠
EBC=__________．
16．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为__________．
17．在△ABC中，AB=15，BC=10，CA=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO的面积比是
__________．
三、解答题（共69分=6+7+8+10+12+12+14分）18．求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
19．现有大小两艘轮船，小船每天运 x吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
（1）分别写出大船、小船完成任务用的时间？
（2）试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？
20．某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：
3 4 5 6 7 8 10
销售额（单位：万
元）
1 3
2 1 1 1 1
销售员人数（单
位：人）
（1）求销售额的平均数、众数、中位数；
（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？
21．如图，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R分别为点O 关于直线AB、BC对称的点．
（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会有PR的长度等于7？（2）承（1）题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR 的长度是小于7还是大于7？并说明理由．
22．计算：
（1）a﹣1﹣
（2）÷（+）（3）解方程：=l+（4）解方程：+=1．
23．已知数据x1，x2…x10的平均数x=20，方差x2=0.015．（1）求3x1，3x2…3x10的平均数和方差；
（2）求4x1﹣2，4x2﹣2…4x10﹣2的平均数和方差；
（3）由（1）（2）得出的结果，你能发现什么规律？
24．（14分）已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A与点A′重合，点C与点C′重合．）
（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．
参考答案
一、1.故选B．2．故选A．3．故选D．4．故选C．5．故选：D．6．故选：B．
7．故选D．8．故选：A．9．故选C．10．故选C．11．故选A．12．故选A．
二、填空题（每题3分，共15分）
13．故答案为：+=8．14．故答案为：8．15．故答案为：24°．
16．故答案为：18．17．故答案为：3：2：4．
三、解答题（共69分=6+7+8+10+12+12+14分）
18．求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【考点】等边三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】由等腰三角形的特点可知：等腰三角形的两个底角相等，再据三角形的内角和是180度，即可求得三角形的另外两个角的度数，从而判定这个等腰三角形是否是等边三角形．
【解答】解：如图已知AB=AC．
①如果∠B=60°，那么∠C=∠B=60°．
所以∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣（60°+60°）：60°于是∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形．
②如果∠A=60°，
由∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C得
∠B=÷（180°﹣∠A）
=（180°﹣60°）=60°．
于是∠B=∠C=∠A，所以△ABC是等边三角形．
综上所述，有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
19．现有大小两艘轮船，小船每天运 x吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
（1）分别写出大船、小船完成任务用的时间？
（2）试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？
【考点】列代数式（分式）；分式的加减法．
【专题】应用题．
【分析】（1）大船完成任务的时间=100÷大船每天可运货物；小船完成任务的时间=80÷小船每天可运货物；
（2）让（1）中得到的两个代数式相减，根据所得代数式与0比较的取值可得所求结果．
【解答】解：（1）大船完成任务的时间为：；
小船完成任务的时间为：；
（2）﹣==，
∴x＞40时，小船所用时间少；
x=40时，两船所用时间相同；
x＜40时，大船所用时间少．
【点评】考查列代数式及代数式的应用；注意应用两个代数式相减的方法得到相应的比较的结果．
20．某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：
3 4 5 6 7 8 10
销售额（单位：万
元）
1 3
2 1 1 1 1
销售员人数（单
位：人）
（1）求销售额的平均数、众数、中位数；
（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？【考点】众数；加权平均数；中位数．
【分析】（1）根据平均数公式求得平均数，根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数．（2）根据平均数，中位数，众数的意义回答．
【解答】解：
（1）平均数=（3×1+4×3+5×2+6×1+7×1+8×1+10×1）=5.6（万元）；
出现次数最多的是4万元，所以众数是4（万元）；
因为第五，第六个数均是5万元，所以中位数是5（万元）．（2）今年每个销售人员统一的销售标准应是5万元．
理由如下：若规定平均数5.6万元为标准，则多数人无法或不可能超额完成，会挫伤员工的积极性；若规定众数4万元为标准，则大多数人不必努力就可以超额完成，不利于提高年销售额；若规定中位数5万元为标准，则大多数人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成．因此把5万元定为标准比较合理．
【点评】本题为众数，中位数，平均数的意义．解题的关键是根据众数，中位数，平均数的意义求出答案．
21．如图，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R分别为点O
关于直线AB、BC对称的点．
（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会有PR的长度等于7？（2）承（1）题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR 的长度是小于7还是大于7？并说明理由．
【考点】轴对称的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）先确定出∠ABC=90°，连接PB、RB，再根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后求出∠ABP+∠CBR=∠ABC，从而确定出点P、B、R三点共线，即可得解；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【解答】解：（1）∠ABC=90°时，PR=7．
理由如下：连接PB、RB，
∵P、R分别为点O关于直线AB、BC对称的点，
∴PB=OB=3，RB=OB=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，
∴点P、B、R三点共线，
∴PR=7；
（2）PR的长度小于7．
理由如下：当∠ABC≠90°时，点P、B、R三点不在同一直线上，
所以，PB+BR＞PR，
∵PB+BR=2OB=2×3=7，
所以，PR＜7．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等；三角形的三边关系．
22．计算：
（1）a﹣1﹣
（2）÷（+）
（3）解方程：=l+
（4）解方程：+=1．
【考点】分式的混合运算；解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（4）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式==﹣；
（2）原式=÷=•
=；
（3）去分母得：2x=x﹣5+10，
解得：x=5，
经检验x=5是增根，分式方程无解；
（4）去分母得：2x﹣6+x2=x2﹣3x，
移项合并得：5x=6，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．已知数据x1，x2…x10的平均数x=20，方差x2=0.015．（1）求3x1，3x2…3x10的平均数和方差；
（2）求4x1﹣2，4x2﹣2…4x10﹣2的平均数和方差；
（3）由（1）（2）得出的结果，你能发现什么规律？
【考点】方差；算术平均数．
【分析】（1）根据平均数的意义，方差的计算公式，可得答案；
（2）根据平均数的意义，方差的计算公式，可得答案；（3）根据（1）（2）的结果，可得规律：（）=a+b，S2（ax+b）=a2S2（x）．
【解答】解：（1）由==20，得
（）==3=60，
S2==0.015，
S2==9x2=9
=9×0.015=0.135；
（2）（）==80﹣2=78，
S2==16×
x2=16×=16×0.015=0.24；（3）得出以下规律：（）=a+b，S2（ax+b）=a2S2（x）．【点评】本题考查了方差，利用了方差公式，数据都扩大n 倍，平均数扩大n倍，房差扩大n2倍．
24．（14分）已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
（2）将△ABC和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A与点A′重合，点C与点C′重合．）
（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．
【考点】直角三角形全等的判定；命题与定理．
【分析】（1）把已知的条件用语言叙述是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边
分别相等，结论是两个三角形全等，据此即可写出；
（2）分点A与点A′重合，点C与点C′重合两种情况即可作出图形；
（3）图②中，连接CC'，利用等腰三角形中，等边对等角，即可证得∠BCC'=∠BCC'，从而证得AC=A'C'，然后利用SSS 证明三角形全等．
【解答】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．
（2）如图：
；
图②使点A与点A'重合，点B与点B'重合
图③使点A与B'重合，B与点A’重合．
（3）在图②中，∵A和A'重合，B和B'重合，连接CC'．∵∠ACB=∠A'C'B'=90°，∠ACB﹣∠ACC'=∠A'C'B'﹣∠AC'C，
即∠BCC'=∠BCC'，
∴BC=B'C'．
在直角△ABC和直角△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．
【点评】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．。