线代习题(1-3章)

线性代数习题
第一章 行列式
1、计算下列行列式.
① b a ....a a a a b ....a a a .............a a ....a b a a a ....a a b D n = ② x
y y
x y x y x D n 0....00....000 0
0 (00)
0....0=
③ 00...0100...10...........01...0010...00=n D ④43215321542154315432543215=D ⑤a
a a a D n 0 (010)
...00..
0
0 (01)
0...0=
⑥ n
n a a a a D ...001..
.........0 (010)
(011)
...112101=+ (其中),..,2,1,0,0n i a i =≠
⑦ 1500310000430021D 4-= ⑧ 2
2221
11140000000
0d c b a d c
b a D =
2、解方程: ① 021231x 123625x 43
12222=--+----- ② 01
101120
1=--+-x x x ③0432143214
3214321=----a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a ④11
000100
011=z y x z
y x (其中z y x ,,均为实数)
3、如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，=1D 33
3231312322212113
121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4---，求1D .
4、设n
....001..
........0....3010....
0211
n 2....531D n -=，则n D 的第一行各元D 素的代数余子式之和为
5、在关于x 的多项式2
27132014
3213
52)(-------=x x f 中,一次项系数是
6、多项式x
x
x
x x f 1713410732201)(---=中常数项是
7、n 阶行列式n D 为零的充分条件是（ ）
A 、主对角线上的元素全为零
B 、有2)
1n (n -个元素都为零
C 、至少有一个1n -阶子式为零 C 、所有1n -阶子式均为零
8、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-=++2
444221
2321321321x x x x x x x x bx ，当b 为（ ）时方程组有唯一解
A 、1≠b
B 、2≠b
C 、3≠b
D 、1-≠b
9、设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0
00
321321321abx acx bcx cx bx ax
x x x 有非零解，试确定a 、b 、c 应满足何种条件.
第二章 矩阵及其运算
1、设有矩阵13343343D ,C ,B ,A ⨯⨯⨯⨯，则下列运算中没有意义的是（ ）
A 、BAC
B 、T DD A
C + C 、C 2B A T +
D 、D D AC T +
2、设A 、B 为n 阶对称矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、A+
B 为对称矩阵 B 、对任意的矩阵AP P ,P T n n ⨯为对称矩阵
C 、AB 为对称矩阵
D 、若A 、B 可换，则AB 为对称矩阵
3、设A 、B 为n 阶对称矩阵，则下列结论中正确的是（ ）
A 、22
B A )B A )(B A (-=-+ B 、k k k B A )AB (=
C 、 B A k kAB ⋅=
D 、()k
k k B A AB ⋅= 4、设A 为n 阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、T T kA )kA (=（k 为常数）
B 、若A 可逆，则111A k )kA (---=，)0k (≠
C 、若A 可逆，则T 111T T ])A [(])A [(---=
D 、若A 可逆，则11T T 11])A [(])A [(----=
5、设A 为3阶矩阵，j A 是A 的第j 列)3,2,1j (=，矩阵B=)A 5A 2,A A 3,A (21323+-，若
A =2-，则
B =
A 、16
B 、12
C 、10
D 、7
6、设A 、B 为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、111
B A )B A (---+=+ B 、T 1T 11T )B ()A (])AB [(---=
C 、k 11k )A ()A (--= （k 为正整数）
D 、()0(,1
1≠=---k A k AB n 为任意常数） 7、设A 、B 、C 为n 阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、若ABC=E ，则A 、
B 、
C 都可逆 B 、若 AB=AC ，且A 可逆，则B=C
C 、若 AB=AC ，且A 可逆，则BA=CA
D 、若 AB=0，且A 0≠，则B=0
8、设n 阶矩阵A 非奇异)2n (≥，则（ ）
A 、A A
)A (1n **-= B 、A A )A (1n **+= C 、A A )A (2n **-= D 、A A )A (2
n **+= 9、已知C B A ,,均为n 阶可逆矩阵，且E ABC =，则下列结论必成立的是（ ）
A 、E AC
B = B 、E BCA =
C 、E CBA =
D 、
E BAC =
10、设矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111C ,3301B ,1035A ，a 、b 、c 为实数，且已知E cC bB aA =-+，则a= , b = ,c =
11、设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，n 为正整数，则=--1n n A 2A
12、设()T 1,0,1-=α，矩阵A=T αα，n 为正整数，则=-n A aE
13、已知()3,2,1=α，⎪⎭
⎫
⎝⎛=31,21,1β，矩阵βαT A =，则=n A 14、设A 、B 为3阶矩阵，且2=A ，3-=B ，则=-1*3B
A 15、设A 为3阶矩阵，2
1=A ，则=--*12)3(A A 16、设A 、B 为3阶矩阵，若1-=A ，3=B ，则=B A
A 02
17、设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13101201a A 是不可逆矩阵，则=a 18、设321,,ααα为三维列向量，矩阵),,(321ααα=A ，矩阵),,(3112αααα-=B ，且3=A ，求B A +.
19、设44⨯矩阵),,,(432γγγα=A ，),,,(432γγγβ=B .且已知行列式1=A ，4=B ， 试求A+B .
20、设273)(x x x f --=，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=702151043A ，求)(A f
21、设T P )5,2,3(-=，)3,2,4(-=Q ，PQ A =，求100A .
22、设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010101001A ，证明：当正整数n ≥3时，E A A
A n n -+=-22,并求100A . 23、设⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=71000410003
1A ，矩阵B 满足BA A BA A +=-61，求B. 24、设⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1 1- 11 1 1-1- 1 1A ，矩阵X 满足X A X A 21*+=-，求X.
25、设n 阶矩阵A 满足A 2－3A ＝5E ，证明A ＋2E ，A －7E 都可逆，并写出其逆阵.
26、设11)2(--=-C A B C E T ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=1000210032102321B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1000210002101021C ，求A. 27、设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=11334221t
A ，
B 是三阶非零矩阵，且AB ＝O ，求t.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1、设A 是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？
(1)若r A r =)(，则A 的所有r 阶子式都不等于零.
(2)若1)(>=r A r ,则A 至少有一个1-r 阶子式不等于零.
(3)若A 的所有1+r 阶子式全为零，则r A r =)(.
(4)若n A r n m =⨯)(, 则m ≥n.
(5)若A 是非零矩阵，则0)(>=r A r .
(6)若4阶方阵A 的秩为2，则A*的秩为0.
(7)若r A r =)(,则没有等于0的1-r 阶子式.
2、利用初等变换求矩阵方程：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---192636123246
131X 3、设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλ2381231A 的秩为2，求λ.
4、设A 为n m ⨯矩阵，线性方程组b AX =对应的导出组为0=AX ，则下述结论中正确的是
A 、若0=AX 仅有零解，则b AX =有唯一解
B 、若0=AX 有非零解，则b AX =有无穷多解
C 、若b AX =有无穷多解，则0=AX 仅有零解
D 、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解
5、求解线性方程组 ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ②⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-++=--+=-++0
510503630
2432143214321x x x x x x x x x x x x
6、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1
)5(4224)5(21
22)2(321321321λλλλx x x x x x x x x
当λ取何值时，此方程组有惟一解？无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.
7、证明：如果线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++=+++++++1
12121112
22221211
1212111.........n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a
x a x a b x a x a x a 有解，则行列式0 (1)
112112
222211
112111==+++++n n n n n n n n b a a a b a a a b a a a D
8、证明：线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-5
154
543432
321
21a x x a x x a x x
a x x a x x 有解的充要条件是∑==5
1
0i i a .在有解时，求全部解.
9、证明：线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b
x a x a x a b x a x a x a (2211222221211)
1212111的系数矩阵
n n ij a A ⨯=)(与矩阵
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=0..................2121222221111211n n nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a C 的秩相等，则此线性方程组有解.。