信息论与编码第3章

第三章信道与信道容量（第七讲）

（2课时）

主要内容：（1）信道分类与表示参数（2）离散单个符号信道及其容量

重点：无干扰离散信道、对称DMC信道、准对称DMC信道、一般DMC信道。

难点：无干扰离散信道、对称DMC信道、准对称DMC信道、一般DMC信道。

作业：3、1， 3、2。

说明：信道是构成信息流通系统的重要部分，其任务是以信号形式传输和存储信息。在物理信道一定的情况下，人们总是希望传输的信息越多越好。这不仅与物理信道本身的特性有关，还与载荷信息的信号形式和信源输出信号的统计特性有关。本章主要讨论在什么条件下，通过信道的信息量最大，即所谓的信道容量问题。本章概念和定理也较多，较为抽象，课堂教学时考虑多讲述一些例题，着重阐明定理和公式的物理意义，对较为繁琐的推倒过程做了部分省略。

3．1 信道的分类和表示参数

信道中存在的干扰使输出信号与输入信号之间没有固定的函数关系，只有统计依赖的关系。因此可以通过研究分析输入输出信号的统计特性来研究信道。

首先来看下一般信道的数学模型，这里我们采用了一种“黑箱”法来操作。通信系统模型，在信道编码器和信道解码器之间相隔着许多其他部件，如调制解调、放大、滤波、均衡等器件,以及各种物理信道。信道遭受各类噪声的干扰，使有用信息遭受损伤。从信道编码的角度，我们对信号在信道中具体如何传输的物理过程并不感兴趣，而仅对传输的结果感兴趣：送人什么信号,得到什么信号，如何从得到的信号中恢复出送入的信号，差错概率是多少。故将中间部分全部用信道来抽象。可得到下图表示的一般信道模型。

图3－1 信道模型

3．1．1 信道的分类

（1）根据输入输出随机信号的特点分类

离散信道：输入、输出随机变量都取离散值。

连续信道：输入、输出随机变量都取连续值。

半离散/半连续信道：输入变量取离散值而输出变量取连续值，或反之。

据输入输出随机变量个数的多少分类

单符号信道：输入和输出端都只用一个随机变量来表示。 多符号信道：输入和输出端用随机变量序列/随机矢量来表示。 根据输入输出个数分类

单用户信道：只有一个输入和输出的信道。 多用户信道：有多个输入和输出的信道。 根据信道上有无干扰分类 有干扰信道 无干扰信道

根据信道有无记忆特性分类 有记忆信道， 无记忆信道。

根据输入和输出之间有无反馈 有反馈信道

无反馈信道。实际信道的带宽总是有限的，所以输入和输出信号总可以分解成随机序列来研究。一个实际信道可同时具有多种属性。

最简单的信道是单符号离散信道。 3．1．2 信道参数

分四部分来讲述。

1．二进制离散信道模型

二进制离散信道模型由一个允许输入值的集合 X ＝{0,1} 和可能输出值的集合Y={0,1}，以及一组表示输入、输出关系的条件概率（转移概率）组成。最简单的二进制离散信道是二进制对称信道（binary symmetric channel,BSC ）。如图3－2所示。它是一种无记忆信道。转移概率为：

(0/1)(1/0)(1/1)(0/0)1p Y X p Y X p

p Y X p Y X p ======⎫

⎬======-⎭

图3－2 二进制对称信道 2．离散无记忆信道

假设信道编码器的输入是n 元符号，即输入符号集由n 个元素X={x 1，x 2，…，x n }构成，而检测器的输出是m 元符号即信道输出符号集由m 个元素Y ＝{y 1,y 2，…，y m }构成，且信道和调制过程是无记忆的，那么信道模型黑箱的输入一输出特性可以用一组共nm 个条件概率来描述(/)(/)j i j i p Y y X x p y x ==≡。式中，i=1，2，…，n ；j=1，2，…，m ，；这样的信道称为离散无记忆信道（DMC ）。

1-p

1

p

p

1

1

1122111

(,,,/,

,)(/)n

n n n n k k k k k p Y y Y y Y y X x X x p Y y X x =========∏

(/)j i p y x 构成的矩阵为P 矩阵（信道矩阵），如下：

如果信道转移概率矩阵的每一行中只包含一个“1”，其余元素均为“0”，说明信道无干扰，叫无扰离散信道。

在信道输入为x i 的条件下，由于干扰的存在，信道输出不是一个固定值而是概率各异的一组值，这种信道就叫有扰离散信道。

3．离散输入连续输出信道

假设信道输入符号选自一个有限的、离散的输入字符集X={x 1，x 2，…， x n }，而

信道输出未经量化（m －）∞），这时的译码器输出可以是实轴上的任意值，即y={－∞，∞}。这样的信道模型为离散时间无记忆信道。

这类信道中最重要的一种是加性高斯白噪声（AWGN ）信道，对它而言Y=X ＋G ，式中G 是一个零均值、方差为2

σ的高斯随机变量，X=x i ，i=1，2，…，n 。当 X 给定后，Y 是一个均值为x i 、方差2

σ为的高斯随机变量。

22

()/21(/)

i y x i p y x e

σ

--=

波形信道是这样一种信道模型：其输入是模拟波形，

其输出也是模拟波形。假设输入该信道的是带限信号x （t ），相应的输出是y （t ），那么

y （t ）=x （t ）＋n （t ）

这里n （t ）代表加性噪声过程的一个样本函数。 说明：

a.设计和分析离散信道编、解码器的性能，从工程角度出发，最常用的是DMC 信道模型或其简化形式BSC 信道模型；

b.若分析性能的理论极限，则多选用离散输入、连续输出信道模型；

c.如果我们是想要设计和分析数字调制器和解调器的性能，则可采用波形信道模型。 本书的主题是编、解码，因此主要使用DMC 信道模型。 3.2离散单个符号信道及其容量

信道模型：见3－1图，图中，输入X ∈{x 1,x 2,…,x i ,…,x n }，输出Y ∈

{y 1,y 2,…,y j ,…,y m }。如果信源熵为H (X )，希望在信道输出端接收的信息量就是H (X )，由于干扰的存在，一般只能接收到I (X ;Y )。

信道的信息传输率：就是平均互信息 R =I (X ;Y )。

输出端Y 往往只能获得关于输入X 的部分信息，这是由于平均互信息性质决定的：I (X ;Y )≤H (X )。

I (X ;Y )是信源无条件概率p (x i )和信道转移概率p (y j /x i )的二元函数，当信道特性p (y j /x i )固定后，I (X ;Y )随信源概率分布p (x i )的变化而变化。调整p (x i )，在接收端就