8、等价无穷小替换及洛必达法则

等价无穷小替换及洛必达法则
等价无穷小及相关极限运算 无穷小的比较 例如，当 x 0 时， x, x , sin x, x sin
2 2
1 都是无穷小，观察各极限： x
x2 lim 0, x 2比3 x要快得多 ; x 0 3 x sin x 1, sin x与x大致相同 ; x 0 x 1 x 2 sin x lim sin 1 不存在. 不可比. lim 2 x 0 x 0 x x lim
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义: 设 , 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 0
= 0, 就说 是比 高阶的无穷小, 记作 = o( ); (2) 如果 lim C (C 0), 就说与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim = 1, 则称 与 是等价的无穷小，记作 ~ ;
(1) 如果 lim
（3）如果 lim 例1
C (C 0, k 0), 就说 是 的 k 阶无穷小。 k
证明 : 当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2
当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
常用等价无穷小: 当x 0时, （1） sin x ～ x ； （4） arctan x ～ x ； （2） arcsin x ～ x ； （5） ln(1 x ) ～ x ； （8） (1 x ) 1 ～ x

（3） tan x ～ x ； （6） e 1 ～ x
x
x
x2 （7） 1 cos x ～ 2
（9） a - 1 ～ ln a * x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim
1, lim 0, 即 o( ), 于是有 o( ).
1
例如 sin x x o( x), cos x 1 等价无穷小替换 定理
1 2 x o( x 2 ). 2
设 ~ , ~ 且 lim lim
存在, 则 lim lim .
证明
lim( ) lim lim lim lim .
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷 小替换。
tan 2 2 x 例 3 求极限（1） lim . x 0 1 cos x
例4
ex 1 （2） lim x 0 cos x 1
2
求 lim
tan x sin x . x 0 sin 3 2 x tan 5 x cos x 1 . （利用近似表达式） x 0 sin 3 x
例5
求 lim
极限的简单计算 代入法：直接将 x x 0 的 x 0 代入所求极限的函数中去，若 f x 0 存在，即为其极限，若
f x0 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例6 求极限 lim
2 x 5 3x 4 2 x 1 ； x 1 3x 3 2 x 4
2. 分解因式，消去零因子法 例7 求极限 lim
x 3
x2 9 x 3
x2 1 例 8 求极限 lim( 2 ) x 2 x 4 x2
3. 分子（分母）有理化法 例9 求极限 lim
x2
例 10
求极限 lim
x
x
x2 5 3 2x 1 5
2
1 x

4. 化无穷大为无穷小法
2
a0 b ， n m m m 1 a x a x am 0 lim 0 n 1 n 1 0， n m x b x b x bn 0 1 ， n m
例 11 求极限 lim
3x 2 x 7 x 2 x 2 x 4
5 x 5 4 x 4 3x 2 例 12 求极限 lim ； x 2x5 4x 1
例 13 求极限 lim
x
1 x x2
例 14
求极限 lim
2 n 5n n 3n 5 n
n
例 15
求极限 lim (
1 2 n 2 2 ) 2 n n n
例 16
lim
x 0
x2 x2 9 3
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限（无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，无 穷小的倒数为无穷大）
x arctanx 1 x 3x 2 x 1 4x 1 例 18 求极限 lim 2 x 1 x 2 x 3
例 17 求极限 lim 6. 利用两个重要极限求极限 例 19 求下列极限
lim
tan x x 0 x 2 lim(1 ) x x x
lim
1 cos x x 0 x2 lim(1 tan x) cot x
x 0
lim
tanx sin x x 0 x3
7. 分段函数、复合函数求极限 例 20 设 f ( x)
1 x, x 0 , 求 lim f ( x). 2 x 0 x 1, x 0
8. 拆项，凑项求极限 例 21 求极限 lim
e x cos x ； x 0 x
3
3 sin x x 2 cos
例 22 求极限 lim
x 0
1 x
2x
【启发与讨论】 思考题 1：当 x 0 时， y
1 1 sin 是无界变量吗？是无穷大吗？ x x
解： (1)
取 x0
1 2k

2
(k 0,1,2,3, )
, 当k充分大时, y ( x0 ) M . 无界， 2 1 (2) 取 x0 (k 0,1,2,3, ) 2k 当k充分大时, xk , 但 y ( xk ) 2k sin 2k 0 M . 不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 思考题 2：若 f ( x) 0 ，且 lim f ( x) A ，问：能否保证有 A 0 的结论？试举例说明.
x
y ( x0 ) 2k

解：不能保证. 例 f ( x)
1 1 1 x 0, f ( x) 0 lim f ( x) lim A 0. x x x x x 1 sin x 都是无穷小量 , g ( x) x x
思考题 3：任何两个无穷小量都可以比较吗？ 解：不能．例如当 x 时 f ( x) 但 lim
x
g ( x) lim sin x 不存在且不为无穷大，故当 x 时 f ( x) 和 g ( x) 不能比较. f ( x) x 0 f ( x) 称为 的待定型。 g ( x) 0
洛必达法则及相关运算 待定型:若 lim f ( x) 0 ， lim g ( x) 0 ，则 lim
xa xa xa
类似的待定型有：
0 0 0 ， ， 0 ， ，1 ， 0 ， 。 0
4
sin x ln x 例 如 ： lim ， lim ， lim x ln x ， lim( x 2 1 x 2 1) ， lim(1 x) x ， x 0 x x x x 0 x 0 x x lim(sin x) 。
x 0
1
下面的洛必达法则，有助于我们求解这类待定型的极限． 定理 若(1) f ( x) , g ( x) 在 ( a, a ) 可导且 g ( x) 0 ，其中 0 ； (2) (3) 则
x a
lim f ( x) ＝ lim g ( x) ＝0；
xa
f ( x) ＝ A， lim x a g ( x ) f ( x) lim A． x a g ( x)
证明
补充定义 f ( a ) ＝ g ( a ) ＝0，则当 x ( a, a ) 时，用柯西中值定理
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ＝ ＝ ，a x. g ( x) g ( x) g (a) g ( )
当 x a 时， a ，故


定理
若(1) (2) (3)
x
f ( x) A g ( x) f ( x) ， g ( x) 在 (a, ) 可导，且 g ( x) 0 ，其中 a 是某个实数； lim f ( x) ＝ lim g ( x) ＝0；
x a
lim
x
则
f ( x) ＝ A， lim x g ( x ) f ( x) lim ＝ A. x g ( x )
1 t
证明
作变换 x ，则
1 1 1 1 f( ) f ( )( 2 ) f ( ) f ( x) t ＝ lim t t ＝ lim t ＝ lim f ( x) ＝ A ＝ lim lim x g ( x ) x g ( x ) 1 1 1 1 t 0 t 0 t 0 g( ) g ( )( 2 ) g ( ) t t t t
例1 求 lim
x 0
x 1 e2
x
例2
求极限
e x (1 2 x)1 / 2 lim x 0 ln(1 x 2 )
待定型，也有类似的洛必达法则． 定理 若(1) f ( x) ， g ( x) 在 ( a, a ) 可导且 g ( x) 0 ，其中 0 ；
关于
5
(2) (3) 则 定理 若(1) (2) (3) 则 例3 证明 lim
n
x a
lim f ( x) ＝ lim g ( x) ＝ ；
xa
xa
lim
f ( x) A， g ( x)
x a
x
f ( x) ＝A g ( x) f ( x) ， g ( x) 在 (a, ) 可导，且 g ( x) 0 ，其中 a 是某个实数； lim f ( x) ＝ lim g ( x) ＝ ； lim
x
f ( x) ＝ A， lim x g ( x ) f ( x) ＝ A. lim x g ( x ) n2 ＝0，其中 a 1 an
其他类型的待定型，可化为上述两种待定型解决： 1、 0 待定型，可化为
0 或 待定型. 0 f ( x) g ( x) ＝ 1 1 g ( x) f ( x)
若 lim f ( x) 0 ， lim g ( x) ，则 f ( x) g ( x) ＝
2、 待定型，可化为
0 待定型。 0
1 1 1 1 g ( x) f ( x) 若 lim f ( x) ＝ lim g ( x) ＝＋ ，则 f ( x) g ( x) ＝ － ＝ 1 1 1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 3、 1 待定型，可化为 0 待定型 g ( x) g ( x ) ln f ( x ) 若 lim f ( x) ＝1， lim g ( x) ＝ ，则 f ( x) ＝e 0 4、 0 待定型，可化为 0 待定型 g ( x) g ( x ) ln f ( x ) 若 lim f ( x) ＝0， lim g ( x) ＝0，则 f ( x) ＝e 0 5、 待定型，可化为 0 待定型 g ( x) g ( x ) ln f ( x ) 若 lim f ( x) ＝ ， lim g ( x) ＝0，则 f ( x) ＝e
例4 求 lim x ln x ，其中 0 .
x 0

在用洛必达法则求待定型时，应注意以下几点： （1）在