2章_矩形波导中的基模

r
φ
a
TE波（H波） 根据定义，TE波的一般表示式已由（2.7b）式给出，在圆柱坐标系中应为
HZ (r , φ,z ,t) = D HZ (r , φ) e jωt- γz 式中HZ (r , φ) 是方程 ▽T2 HZ (r , φ ) + kc2 HZ (r , φ ) =0 的解
在圆柱坐标系中

2 T

2 r 2
1 r r

1 r2
2 2
于是HZ (r , φ)满足的方程是
（ 2 r 2

1 r
r

1 r2
2 2
）H
z
(r，
)

k
2 c
H
z
(r,
)

0
应用分离变量法求解，令 HZ (r , φ)=R (r ) Φ ( φ ) 代入上式，得
2R
场结构对正确设计和使用各种微波元器件，对所需模式采取正确地激励、耦合的方式都非常有意义
取m=1，n＝0，代入TE波的表达式（2.41）中，得到TE10模的场分量表示式
Ey

j a

Asin( a
x)e j(tz)
Hx

j a Asin(

a
x)e j(tz)
Hz

A cos(
r 2

r
R r

R r2
2
2

k
2 c
R

0
圆波导中的电磁波
圆波导中的TE电磁波解
等式两边同乘以 r 2 ，则得
R
r2 R
d 2R dr 2

r R
dR dr

k
2 c
r
2

1
d 2 d 2
上式左边只是 r 的函数，右边只是φ的函数，而 r 和φ均为独立变量，要上式成立， 等式两边必须等于一个共同的常数，设此常数为 n2 ,则
矩形波导中的TE10模
TE10模的等效阻抗
TE10模的波阻抗仅与波导宽边尺寸a有关而与窄边尺寸b无关，若将两段a相同而b不相 同的矩形波导相连接，虽然波阻抗相同，但由于连接处存在不连续性仍将对入射波产生
反射。波导情形时的一个类似传输线特性阻抗的概念是“等效阻抗”
类似于电路理论，可以有三种定义阻抗的方法，即
率容量或击穿功率
Pbr

ab 480
Eb2r
1 ( )2 2a
可见波导功率容量除尺寸和击穿电场外，还与频率相关，上图给出了关系曲线
由图可见，λ＝2a 时 Pbr＝0， λ<a 时 出现高次模， λ>1.8a时 Pbr功急剧下降 所以，对给定波导其频率一般在 a<λ<1.8a 。
考虑环境等其他因素，实际波导传输功率容量取 P＝( 1/3 － 1/5 ) P br
圆波导与矩形波导比较.doc
圆波导中的电磁波
圆波导中TM波解
与TE波类似，可以解得圆波导中TM波的纵向电场分量Ez为
EZ (r , φ,z ,t) ＝B Jn(kcr) cos n e j(ωt-βz) sin n
Ze

2P I2
＝ 2b 8a
Z TE1 0

2 8
[b a
] 1 ( )2 2a
可见三种定义得出了不同的结果，正好表明了所定义的电压、电流的人为性，同时也
证明了色散波确实无法定义单值的特性阻抗。
按不同定义得出的阻抗数值虽不同，但与波长、波导尺寸的关系是相同的，引入等效 阻抗是为了解决不同截面波导的连接问题。略去系数因子，等效阻抗可简化为
a
x)e j(tz)
Ex Ez H y 0
传播方向
λg/2
场结构如图所示 b
a
矩形波导中的TE10模
其他模式场结构
TE10
TE20
矩形波导中的TE10模 TE10
其他模式场结构
TE01
TE02
矩形波导中的TE10模
其他模式场结构
若TE10模的电场及磁场沿y方向呈 cos分布则得到TE11模的场结构
(E0 )2
式中E0=ωμa A / π 是横向电场的最大幅值，它是 波导中线上电场强度的幅值。若波导中填充的是空气，
则
P

ab 480
E02
1 ( )2 2a
Z TE10
120 1 ( )2
2a
当波导中的最大电场等于介质的击穿电场强度Ebr(空气 击穿强度为30kv/cm)时，相应的传输功率就称为波导的功
Ey


jE0 sin( a
x)e jz
j x
j x
而 sin( x)＝ e a e a
a
2j
Ey

E0
[e
j( a
x z )
2
j ( xz)
e a ]
( )2 2 k 2 k sin ， k cos
a
a
Ey

E [e 0 －jk( x sin z cos ) 2
§2.3 矩形波导中的TE10模
在矩形波导中，TE10型波的截止波长最长且无简并波型存在，因此最易实现单模传输。 再加之它的场分布最简单，单模工作频带又宽，使得在实际微波电路中，矩形波导几乎都以TE10模 式传输。通常将TE10模称为矩形波导中的主波型。
以下从场结构，电流分布，功率，等效阻抗等方面介绍TE10模 一、TE10模的场结构
Ze

V I
，Z e

V2 2P
，Z
e

2P ， I2
Z TE10
120 1 ( )2
2a
式中V，I分别人为定义为波导的横截面上宽边中心线之间电场强度的线积分为等效电压，
波导宽边内表面上总的纵向电流为等效电流。其值为
V
b
0 E y dy

b
0 Em
e

jz
dy
E0be jz
* x

E
x
H
* y
)dxdy
对于TE10模式，Ex＝Hy＝0， Ey / Hx = - ZTE10
上式变成
P 1 Re 2
a 0
b
(E
0
y
H
* x
)dxdy

1 Z TE1 0
a 0
b
0 Ey
2
dxdy
a 2 2
A2
ab 4
或者写成
P

ab 4
1 Z TE1 0
Ze

b a
1 ( )2
2a
§2.4 圆波导中的电磁波
横截面形状为圆形的波导称为圆波导右图是其示意图。 圆波导也是一种应用较为广泛的波导，如天线馈线和较远距 离的多路通信中，构成微波谐振器、波长计和旋转式衰减器等。
y z
圆波导的分析方法和矩形波导类似，只是因横截面形状不同 选择不同的坐标系罢了，圆波导采用圆柱坐标系( r ,φ,z )比较方 x 便，。与矩形波导一样，圆波导中传播TE波和TM波，下面对这 两种色散波分别进行讨论。
Jn(kcr)是n阶贝塞尔函数, Nn(kcr)是n阶诺依曼函数，统称为圆柱函数。
圆波导中的电磁波
圆波导中的TE电磁波解
下面由边界条件确定kc值。对圆波导，边界条件应为
Er

（k 2
1
2）（
E z r

j r
H z ）
r＝a 处，Eφ＝0，
H z r
＝0
E

（k 2
E z r
r
H z ）
kca ＝μni
kc ＝μni / a
所以 HZ (r , φ,z ,t) ＝A Jn(r μni/a)
cos ne j(ωt-βz) sin n
求得Hz以后，就可根据（1.14）式，求出其余电磁
场分量：
H（r r,,
z, t）

j
a A(
ni
)J
不规则波导中波型的截止波长时，利用横向谐振概念往往比较简便
矩形波导中的TE10模 传输功率及功率容量
波导中传输的微波功率，是由其中的电磁场携带的。在行波状态下，传输的平均功率可
由波导横截面上的坡印亭矢量的积分求得，即
P 1 Re
2
ET

H
* T
ds

1 2
a 0
b
(
0
E
y
H
d 2
d 2
＋n
2
＝0
r2
d 2R dr 2

r
dR dr
（k
2 c
r
2－n
2）R

0
两式的解分别为
cos n
() A1 cos n A2 sin n A' sin n
R(r) B1J n (kcr) B2 Nn (kcr)
Φ (φ)应是以2π为周期的函数，故n应取整数（n＝0，1，2…）。
圆波导中的TE波特性
从前面的场解可知，对应于每个根 μni有一组场分量表达式与之对应。 不同的 n, i 组合 对应的场分布不同，即 n, i 可以看作称为圆波导中的TE波波型指数，每个波型记为TEni
因为n阶贝塞尔函数有无穷多个根，所以圆波导中可以存在无穷多个TEni模式，其相应
的截止波长为
( )c TEni
TE11
TE21
TE22
矩形波导中的TE10模
其他模式场结构
TM11
TM21
TM22
波导中电磁力线的结构.doc
矩形波导中的TE10模 TE10模的管壁电流分布
在波导内部空间有电磁波传输时，其高频电磁场将在波导壁上产生高频感应电流。
在微波波段，场对良导体的穿透深度非常小（数量级为微米），因此可以认为管壁 上这种电流是面电流。
'n
(
ni
a
cos n
r)
sin n
e
j(t z)
H (r,, z,t)


j nA r
(
a ni
)2
J
n
(
ni a
r) sin n e j(t z) cos n
贝塞尔导数函数
E
(r,,
z,t)

－
H
r
Er
(r,,
z,t)


H
圆波导中的电磁波
e ] jk( x sin z cos )
该式表示的是在x z平面内，传输方向与 z 轴成±θ角
的两个平面波的叠加，如右上图所示。
这两个平面波也可认为是在波导窄壁间入射和反射的
平面波，如右图所示。 当λ＝2a，sin θ＝1， θ＝ π / 2.平面波在x=0，x=a 的
两个窄壁之间来回反射，不沿z 轴传输, TE10模截止 这种现象也被称为横向谐振，在计算某些横截面形状
λc 3.41a 2.06a 1.64a 1.50a 1.18a
波型
TE22 TE02 TE32 TE13 TE03
μni 6.705 7.016 8.015 8.536 10.174
λc 0.94a 0.90a 0.78a 0.74a 0.62a
由于 i 是表示根的序号，不取0。所以圆波导中不存在TEn0模。
电流分布可由波导管壁附近的磁场分布来决定，
J s nˆ Ht
式中 为波导内壁的法向分量，JS为面电流密度，Ht为表面上的切向分量磁场。JS的 大小等于波导内壁表面上的磁场切向分量的大小，其方向按右手螺旋法则确定。由波 导内磁场分布可绘制出壁电流分布图
矩形波导中的TE10模
波导开缝
了解波导的壁电流分布具有实际意义 计算波导损耗 波导管壁上开缝
矩形波导中的TE10模
部分波概念
所谓部分波概念就是把波导中传播的过程，看作有许多平面波（TEM波）迭加的概念，
这些TEM波称为部分波。下面以TE10波为例
TE10模式的场分布可以看成是在x=0，x=a的两个波导窄壁之间传输的两个平面波迭加 的结果，这两个平面波的传输方向与Z轴的夹角为±θ。模的电场为：
1 （ 2） r
E z

j
H z ） r
得到
Jn’(kca)=0
Hr
（k 2
1
（ 2）

j r
Ez

H z ） r
要上式成立，kca 应是n阶贝塞尔函数导数的根，若以 μni表示n阶贝塞尔函数导数的第 i 个根，有
H
（k 2
1 （j 2）
由三种定义得到的特性阻抗分别为
I
a
0 J z dx
a
H
0
x dx

2aE0 Z TE1 0
e jz
Ze

V ＝b I 2a
Z TE1 0

[b 2a
] 1 ( )2 2a
Ze

V2 2P
＝
2b a
Z TE10

2[ b a
] 1 ( )2 2a
一些槽缝希望不发生显著的辐射以避免对波导内电磁场波形的扰动和破坏，这就 应使槽缝尽量不切断电流线，必须顺着电流的方向开槽缝
在波导宽壁中心，因为横向电流为零，这时沿着中心线开纵向窄槽缝（缝隙宽度 d<<λg）就不会影响壁上电流分布，使发生的辐射较弱，对波导内被测量的电磁场 扰动就很小，如图中的A槽缝。
一些槽缝却是希望电磁波从波导中辐射出来，如波导“裂缝天线”，这时开缝的 原则是垂直于电流线开槽，故意切断 高频电流的通路，迫使一部分电流 改道，另一部分电流通过缝内的位 移电流越过槽缝而流通。后者表现 为横越槽缝的强电场，它与平行于 槽缝的磁场一起组成向外的坡印亭 矢量，故有大量的能量辐射出去， 如图中的B缝。
2
kc
2a ni
同样，根据传播条件只有 λ<λc时的那些模才能传输。同一圆波导中， μni愈小 λc愈大，λc最长为TE11模。 TE11模的μ11=1.841 λc=3.41a
下表给出了圆波导中几个TE模的截止波长值。
波型
TE11 TE21 TE01 TE31 TE12
μni 1.841 3.054 3.832 4.201 5.332