数字信号处理DSP第二章2.7

j Im[ z ]
Δω = 2π
0
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2π 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
Re[ z ]
H (e ) = Ke
jω
jω
j ( N − M )ω m =1 N k =1
jω ( e ∏ − cm ) jω
M
∏ (e
= H (e ) e
jω
j arg[ H ( e jω )]
解：将各系统函数因式分解，可得到它们的零点并进 而判定系统的性质。 H1 ( z ) : z1,2 = −1 2,1 3, 为最小相位系统。
H 2 ( z ) : z1,2 = −2,3, 为最大相位系统。 H 3 ( z ) : z1,2 = −1 2,3, 为混合相位系统。 H 2 ( z ) : z1,2 = −2,1 3, 为混合相位系统。
2）在幅频特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位 系统的相位延迟(负的相位值)最小。 可以证明：全通系统Hap(z)的相位函数是非正的。
3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。 逆系统定义： H(z)=B(z)/A(z)的逆系统为
1 A( z ) = H ( z ) B( z )
当且仅当H(z)为最小相位系统时，逆系统才因果稳定。
D ( z −1 ) D( z)
−k
因为上式中系数是实数，因此
D( z )
所以
= D (e
− jω
) = D (e )
jw
∗
jω
H ( e jw ) =
D ∗ ( e jw ) D (e
)
=1
全通滤波器的零、极点分布规律
零点 极点
zk
pk = z
−1 k
∗ k
zk
∗
−1 k
p = (z
)
∗
全通滤波器零点和极点互为倒数关系，又D(z),D(z-1) 系数为实数，极点、零点共轭成对出现，因此，形成 四个极零点一组的形式。 实数零极点，则两个一组出现，且零极点互为倒数。
Im(z) zk
* pk
Re(z) pk
* zk
全通滤波器的零极点分布
零点
zk
zk
∗ pk = (z
极点
−1 ∗ k
)
零点
极点
∗
p k = z k−1
z
−1 k
zk
∗
源自文库
零点与极点的共轭倒易关系
即如果zk-1为全通滤波器的零点， 则zk*必然是全通滤波 器的极点。 全通滤波器系统函数另一种形式
z − zk H ( z) = ∗ −1 k =1 1 − zk z
−1
2、 梳状滤波器
梳状滤波器的构成原理 系统函数H(z)
周期为2π
频率响应函数H(ejω)
z=z
N
系统函数H(zN)
频率响应函数H(ejωN)
周期为2π/N
[0, 2π]上有N个相同频率特性的周期
1 − z −1 例 已知 H ( z ) = , 0 < a < 1 ，利用该系数函数 −1 1 − az
形成N=8的梳状滤波器。 解：用zN代替H(z)中的z，得到
1− z H (z ) = −N 1 − az
N
−N
N=8时，零点为zk=ej2 πk/8，k=0,1,2, …,7； 极点为
pk = 8 ae
j
2π k 8
零极点分布和幅频特性曲线如下：
a=0.2
a=0.9
梳状滤波器零极点分布和幅频特性曲线
mi = M , mo = 0
Δ arg[] = 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外：
mi = 0, mo = M Δ arg[] = −2π M 为最大相位延时系统
¾逆因果稳定系统
z < r, r > 1
n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
⎡ H (e jω ) ⎤ Δ arg ⎢ = 2π mi − 2π pi + 2π ( N − M ) ⎥ ⎣ K ⎦ Δω =2π = 2π mi + 2π ( N − M ) ≥ 0
1）全部零点在单位圆内：
Δ arg[] = 2π N 2）全部零点在单位圆外：
相位超前系统
mi = M , mo = 0 Δ arg[] = 2π N 为最大相位超前系统 mi = 0, mo = M Δ arg[] = 2π ( N − M ) 为最小相位超前系统
最小相位滤波器的性质： 1）任何一个因果稳定的滤波器H(z)均可以用一个最 小相位滤波器和一个全通滤波器Hap(z)级联构成，即
jω
j ϕ (ω )
特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅频特性保 持不变，仅相位发生变化。纯相位滤波。
全通滤波器的系统函数的一般形式为：
H (z) =
−N − N +1
∑a
k =0 N
N
k
z
− N +k
∑
k =0
ak z −k
+ a1 z + a2 z + L + aN = , a0 = 1 −1 −2 −N 1 + a1 z + a2 z + L + aN z z
例 确定下面FIR系统的零点，并指出系统是最小， 最大相位系统还是混合相位系统。
H1 ( z ) = 6 + z −1 − z −2 , 5 −1 3 −2 H3 ( z ) = 1− z − z , 2 2 H2 ( z ) = 6 − z −1 − 6z −2 5 −1 2 −2 H4 ( z ) = 1 + z − z 3 3
− dk )
N ⎡ H (e ) ⎤ jω jω = − − − d k ] + ( N − M )ω arg ⎢ arg[ e c ] arg[ e ∑ ∑ m ⎥ k =1 ⎣ K ⎦ m=1 M
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
mi + mo = M pi + po = N
几种特殊系统的系统函数及其特点
1、 全通滤波器 2、 梳状滤波器 3、最小相位滤波器
1、 全通滤波器
定义：滤波器的幅频特性在整个频带[0～2π]上均等 于常数，或者等于1，即|H(ejω)| =1,0≤ ω ≤ 2π则该 滤波器称为全通滤波器 (或全通系统、全通网络) 全通滤波器的频率响应函数
H (e ) = e
梳状滤波器特点及应用 梳状滤波器可滤除输入信号中ωk=2πk/N, k=0,1, …N-1的 频率分量。幅频特性的过渡带比较窄，或者说比较陡峭， 且a越接近1，幅频特性越平坦。有利于消除点频信号而又 不损伤其它信号。 如，消除信号中的电网谐波干扰及其他频谱等间隔分布 的干扰。 梳状滤波器在电视技术中的应用很多，如彩色电视接 收机中用于亮色分离与色分离。
⎡ H (e jω ) ⎤ 则： Δ arg ⎢ = 2π ( N − M ) + 2π mi − 2π pi ⎥ ⎣ K ⎦ Δω =2π
¾因果稳定系统
z > r, r < 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N ⎡ H (e jω ) ⎤ Δ arg ⎢ = 2π mi − 2π pi + 2π ( N − M ) ⎥ ⎣ K ⎦ Δω =2π = 2π mi − 2π M = −2π mo ≤ 0 相位延时系统 1）全部零点在单位圆内：
−1 z − z0 ∗ −1 = H1 ( z )(1 − z0 z ) ∗ −1 z 1 − z0
最小相位
全通系统
结论：
将非最小相位系统位于单位圆外的零点z-1k用zk* 代 替时，可得到与其幅频特性相同的最小相位系统。
H ( z ) = H min ( z ) H ap ( z )
H ( e jω ) = H min ( e jω )
∏
N
−1
N称为阶数
举例：当N=1时，零极点均为实数，系统函数为
z −a H ( z) = 1 − az −1
全通滤波器的应用： 全通滤波器是一种纯相位滤波器，常用于相位校正。 例如， IIR滤波器一般是非线性相位的，可采用全通 滤波器作为相位均衡器来校正得到线性相位，同时又 不改变系统的幅频特性。
例 设计一个梳状滤波器，用于滤出心电信号中的50Hz 及其谐波100Hz干扰，设采样频率为200Hz。 解：设系统函数为
1− z H (z) = −N 1 − az
−N
N的大小决定于要滤除的点频的位置， a要尽量靠近1。 由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频 率分别为：
ω = ΩT = 2π f / f s
系数ai均为实数。可看出，全通滤波器系统函数分子、 分母多项式系数相同，但排列顺序相反。
− N +2
证明：全通滤波器的系统函数的幅频特性为1。
H (z)=
∑ ak z
k=0 N k=0
N
-N +k
∑ ak z
−1 z =e
jw
=z
-k
−N
k a z ∑ k
N
∑a z
k =0 k
k =0 N
=z
−N
ω1 = 2π × 50 200 = π 2 ω2 = 2π ×100 200 = π，
零点频率为
2π k N ,
由
k =0， 1，，。 23
求出N=4。
2π N = π 2
2 ? ? 1 0 0
0.5
1
1.5
2
a=0.9
3、最小相位滤波器 定义： 对于因果稳定系统，所有极点在单位圆内。
全部零点位于单位圆内，称为最小相位系统Hmin(z)； 全部零点都在单位圆外，称为最大相位系统Hmax(z) ； 单位圆内外都有零点，称为混合相位系统。 当 ω = 0 → 2π ,
H ( z ) = H min ( z ) H ap ( z )
证明： 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z=1/z0, | z0 |<1, 则H(z)可表示为
∗ −1 1 − z −1 −1 0z H ( z ) = H1 ( z ) ( z − z0 ) = H1 ( z )( z − z0 ) ∗ −1 z 1 − z0