固体物理作业1
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������111 = 2 sin ������ ≈ 2.34Å b. 2������ = 44.6°
������ ������110 = 2 sin ������ ≈ 2.03Å
2������ ������ ������110 = ������110 = 2
所以������ = 2������ ≈ 2.87Å
= ������2
������2������+1 − ������2������) −������1 (������2������ − ������2������−1
������
������2������2������+1 ������������2
= ������1
������2������+2
− ������2������−1
=
������
’
±
������1
=
2(1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
������2 ������3 ������4
∵ ������������ 1 + ������ = ������ − 2 + 3 − 4 + ⋯
令������
=
1可得:1
−
1 2
+
1 3
−
1 4
+
⋯
=
������������
1+1
= ������������2
2
∵ Ω ∙ Ω ∗= 2������ 3 ∴ ������ ∙ ������ ∗= 4������
即 ������ ∗= 4������/������
2、使用 ������ = 1.54 × 10−10������ 的 X 射线照射晶体, a. 已知具有fcc结构的 Al 多晶(111)面的衍射角为
������1到达的格点为B,如绕A旋转������,则 将使B格点转到点B’位置,由于转动
������′
不改变格子,在B’处必定原本就有一
格点。因为B和A完全等价,所以转动
������
也同样能绕B进行,假设绕B转 −������ 角, ������ 这将使A格点转至A’位置,说明A’处原
来也有一格点。B’A’可以按������1������1 + ������2������2 表示,由图知,它与������1平行,所以只 能是������1的整数倍: B’A’=nAB
3、计算面心立方晶格固体在(100), (110), (111)晶面上的原子堆积密度的比值,找出其 中原子堆积最密集的面。
2������������2 2������������2 ������
������100 =
������2
= (2
2������)2 = 4 ≈ 0.785
2������������2
第一周作业
1、简单立方、体心立方和面心立方的晶格常 数都是a,分别计算其原胞体积。
简单立方:a3; 体心立方:a3/2; 面心立方:a3/4。
2、写出下图晶格的布拉维格子基矢,及原胞 中各原子的位置。
3 ������
������1 = 2 ���������Ԧ��� + 2 ���Ԧ���
y
3 ������
× Ω
������3
,
������2
=
2������
Baidu Nhomakorabea
∙
������3
× Ω
������1
,
������3
=
2������
∙
������1
× Ω
������2
������3
Ω = ������1 ∙ ������2 × ������3 = 4
������2
������2
������2 × ������3 = 4 ���Ԧ��� + ������ × ���Ԧ��� + ���Ԧ��� = 4 −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
������′
������ ������
根据图形的几何关系得
������′������′ = ������������(1 − 2 cos ������)
������ = (1 − 2 cos ������)
������′
因为−1 ≤ cos ������ ≤ 1,n只能取-1,
0,1,2,3
所以������ = 0°, 60°, 90°, 120°, 180°
− ������2(������2������+1 − ������2������)
整理可得:
������
������2������2������ ������������2
= ������
10������2������+1 + ������2������−1 − 11������2������
������
面心立方正格子的原胞基矢:
������
������
������
������1 = 2 ���Ԧ��� + ������ , ������2 = 2 ���Ԧ��� + ������ , ������3 = 2 (���Ԧ��� + ���Ԧ���)
由倒格子公式:
������1
=
2������
∙
������2
38.4度,试求出(111)面的面间距。 b. 已知具有bcc结构的Fe多晶(110)面的衍射角为
44.6度,试求出其晶格常数。(X射线衍射中的 衍射角定义为衍射前后X射线方向的改变角度)
a. 根据条件2������ = 38.4°
由布拉格定律2������ sin ������ = ������������ ������
频率值; (2)大致画出色散关系示意图,标明几个关键
点的q和ω值。
m
2������ − 1 β1
2������
β2 2������ + 1
设原子质量为m,以������2������表示第2n个原子的位移,其运动方程 为:
������
������2������2������ ������������2
2������
������2 = ������ ���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
2������
������3 = ������ ���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
������1
=
������ 2
−���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
而体心立方的正格子原胞基矢可取为
������2������+1 = ������������������[������������− 2������+1 ������������] 上述形式解代入运动方程可得到:
−������������2������ = ������ ������−������������������ + 10������������������������ ������ − 11������ ቐ−������������2������ = ������ 10������−������������������ + ������������������������ ������ − 11������
• 绕面对角线转180度加上 中心反演,6条面对角 线——6个;
• 绕立方轴转90度、270度 加上中心反演,3个立方 轴——6个;
共24个对称操作。
第二周作业
1、证明面心立方格子的倒格子是体心立方格 子,并说明从正格子到倒格子单胞边长的变 化。
设面心立方单胞边长为a,与晶轴平行的单位矢量为���Ԧ���, ���Ԧ���, ������,
8 × 1.75 × 1.602 × 10−19J = 4������ × 8.854 × 10−12F ∙ m−1 × 18 × (0.314nm)4
= 1.85 × 1010Pa
根据体变模量定义������
=
������������ −������������Τ������0
体积减少3%,V = 0.97������0
������2
=
������ 2
���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
������3
=
������ 2
���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
面心立方倒格子基矢和体心立方正格子基矢只相差一个常数 公因子,说明面心立方的倒格子是体心立方。
设倒格子单胞边长为a*,则Ω ∗= ������∗3
������������ +
11������ − ������������2
������2������2������+1 ������������2
= ������
������2������+2 + 10������2������ − 11������2������+1
方程组有下列形式的格波解 ������2������ = A������������[������������− 2������ ������������]
������
������
不论任何晶体,它的宏观对称只可
能有一下几种对称素: 1, 2, 3, 4, 6
1, 2, 3, 4, 6
������′
������ ������
5、找出正四面体的所有对称操作。
• 不动——1个对称操作;
• 绕立方轴旋转180度,3 个立方轴——3个;
• 绕体对角线转120度、 240度,4个体对角线— —8个;
11������ − ������������2 ������ − ������−������������������ + 10������������������������ ������������ = 0
ቐ −
10������−������������������
+ ������������������������
������2
������3 × ������1 = 4 ���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
������2
������1 × ������2 = 4 ���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
4 ������2
2������
∴ ������1 = 2������ ∙ ������3 ∙ 4 −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������ = ������ −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
������2 = 2 ���������Ԧ��� − 2 ���Ԧ���
������3 = ���������Ԧ���
S1(0,0,0)
Mo1(233 ������, 0, ������)
������2
������11
S2(0,0,2z)
x ������2
S3(233 ������, 0,2������ + ������) Mo2(0,0,3z+w) S4(233 ������, 0,4������ + ������)
2������������2
������
������110 =
= 2������2
= ≈ 0.555 2(2 2������)2 4 2
������111
=
(16
×
3
+
1 2
×
3 2
������2
3)������������2
=
2������������2
������
= ≈ 0.907
3 2
(2
2������)2
������
38.4°
������
3、证明一价正负离子等间距排列组成的一维 晶格的马德隆常数为2ln2。
马德隆常数:
1
������
=
������
’
±
(������12
+
������22
+
������32)1/2
在一维晶格中选一正离子作为参考离子,对正离子取负号,
对负离子取正号
1
111
������
������������
=
������ − ������0
=
������������������ − ������0
������ =−
������ − ������0 ������0
= 5.55 × 108Pa = ������
第三周作业
1、质量相同的两种原子形成一维双原子链, 最近邻原子间的力常数交错等于β1=c和β2=10c, 且最近邻距离为a; (1)求出色散关系,计算q=0, q=π/2a处格波的
∴ ������ = 2������������2
4、挤压KCl晶体,多大的压强可使它的晶格
常数减小1%?KCl晶体的最近邻的K离子和Cl
离子间距离为r0=0.314nm,马德隆常数为1.75, 重叠排斥能参数n=9。
根据平衡状态体变模量公式求出KCl晶体的体变模量:
(������ − 1)������������2 ������ = 4������������0 × 18������04
23
所以
������100: ������110: ������111 = 6: 3: 2 2 面心立方原子堆积最密集的面是(111)面。
4、在晶体中,由于平移对称性的限制,证明
旋转对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴,对称元
素只能有
1, 2, 3, 4, 6
1, 2, 3, 4, 6
位于原点的格点为A,由它画出基矢
������ ������110 = 2 sin ������ ≈ 2.03Å
2������ ������ ������110 = ������110 = 2
所以������ = 2������ ≈ 2.87Å
= ������2
������2������+1 − ������2������) −������1 (������2������ − ������2������−1
������
������2������2������+1 ������������2
= ������1
������2������+2
− ������2������−1
=
������
’
±
������1
=
2(1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
������2 ������3 ������4
∵ ������������ 1 + ������ = ������ − 2 + 3 − 4 + ⋯
令������
=
1可得:1
−
1 2
+
1 3
−
1 4
+
⋯
=
������������
1+1
= ������������2
2
∵ Ω ∙ Ω ∗= 2������ 3 ∴ ������ ∙ ������ ∗= 4������
即 ������ ∗= 4������/������
2、使用 ������ = 1.54 × 10−10������ 的 X 射线照射晶体, a. 已知具有fcc结构的 Al 多晶(111)面的衍射角为
������1到达的格点为B,如绕A旋转������,则 将使B格点转到点B’位置,由于转动
������′
不改变格子,在B’处必定原本就有一
格点。因为B和A完全等价,所以转动
������
也同样能绕B进行,假设绕B转 −������ 角, ������ 这将使A格点转至A’位置,说明A’处原
来也有一格点。B’A’可以按������1������1 + ������2������2 表示,由图知,它与������1平行,所以只 能是������1的整数倍: B’A’=nAB
3、计算面心立方晶格固体在(100), (110), (111)晶面上的原子堆积密度的比值,找出其 中原子堆积最密集的面。
2������������2 2������������2 ������
������100 =
������2
= (2
2������)2 = 4 ≈ 0.785
2������������2
第一周作业
1、简单立方、体心立方和面心立方的晶格常 数都是a,分别计算其原胞体积。
简单立方:a3; 体心立方:a3/2; 面心立方:a3/4。
2、写出下图晶格的布拉维格子基矢,及原胞 中各原子的位置。
3 ������
������1 = 2 ���������Ԧ��� + 2 ���Ԧ���
y
3 ������
× Ω
������3
,
������2
=
2������
Baidu Nhomakorabea
∙
������3
× Ω
������1
,
������3
=
2������
∙
������1
× Ω
������2
������3
Ω = ������1 ∙ ������2 × ������3 = 4
������2
������2
������2 × ������3 = 4 ���Ԧ��� + ������ × ���Ԧ��� + ���Ԧ��� = 4 −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
������′
������ ������
根据图形的几何关系得
������′������′ = ������������(1 − 2 cos ������)
������ = (1 − 2 cos ������)
������′
因为−1 ≤ cos ������ ≤ 1,n只能取-1,
0,1,2,3
所以������ = 0°, 60°, 90°, 120°, 180°
− ������2(������2������+1 − ������2������)
整理可得:
������
������2������2������ ������������2
= ������
10������2������+1 + ������2������−1 − 11������2������
������
面心立方正格子的原胞基矢:
������
������
������
������1 = 2 ���Ԧ��� + ������ , ������2 = 2 ���Ԧ��� + ������ , ������3 = 2 (���Ԧ��� + ���Ԧ���)
由倒格子公式:
������1
=
2������
∙
������2
38.4度,试求出(111)面的面间距。 b. 已知具有bcc结构的Fe多晶(110)面的衍射角为
44.6度,试求出其晶格常数。(X射线衍射中的 衍射角定义为衍射前后X射线方向的改变角度)
a. 根据条件2������ = 38.4°
由布拉格定律2������ sin ������ = ������������ ������
频率值; (2)大致画出色散关系示意图,标明几个关键
点的q和ω值。
m
2������ − 1 β1
2������
β2 2������ + 1
设原子质量为m,以������2������表示第2n个原子的位移,其运动方程 为:
������
������2������2������ ������������2
2������
������2 = ������ ���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
2������
������3 = ������ ���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
������1
=
������ 2
−���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
而体心立方的正格子原胞基矢可取为
������2������+1 = ������������������[������������− 2������+1 ������������] 上述形式解代入运动方程可得到:
−������������2������ = ������ ������−������������������ + 10������������������������ ������ − 11������ ቐ−������������2������ = ������ 10������−������������������ + ������������������������ ������ − 11������
• 绕面对角线转180度加上 中心反演,6条面对角 线——6个;
• 绕立方轴转90度、270度 加上中心反演,3个立方 轴——6个;
共24个对称操作。
第二周作业
1、证明面心立方格子的倒格子是体心立方格 子,并说明从正格子到倒格子单胞边长的变 化。
设面心立方单胞边长为a,与晶轴平行的单位矢量为���Ԧ���, ���Ԧ���, ������,
8 × 1.75 × 1.602 × 10−19J = 4������ × 8.854 × 10−12F ∙ m−1 × 18 × (0.314nm)4
= 1.85 × 1010Pa
根据体变模量定义������
=
������������ −������������Τ������0
体积减少3%,V = 0.97������0
������2
=
������ 2
���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
������3
=
������ 2
���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
面心立方倒格子基矢和体心立方正格子基矢只相差一个常数 公因子,说明面心立方的倒格子是体心立方。
设倒格子单胞边长为a*,则Ω ∗= ������∗3
������������ +
11������ − ������������2
������2������2������+1 ������������2
= ������
������2������+2 + 10������2������ − 11������2������+1
方程组有下列形式的格波解 ������2������ = A������������[������������− 2������ ������������]
������
������
不论任何晶体,它的宏观对称只可
能有一下几种对称素: 1, 2, 3, 4, 6
1, 2, 3, 4, 6
������′
������ ������
5、找出正四面体的所有对称操作。
• 不动——1个对称操作;
• 绕立方轴旋转180度,3 个立方轴——3个;
• 绕体对角线转120度、 240度,4个体对角线— —8个;
11������ − ������������2 ������ − ������−������������������ + 10������������������������ ������������ = 0
ቐ −
10������−������������������
+ ������������������������
������2
������3 × ������1 = 4 ���Ԧ��� − ���Ԧ��� + ������
������2
������1 × ������2 = 4 ���Ԧ��� + ���Ԧ��� − ������
4 ������2
2������
∴ ������1 = 2������ ∙ ������3 ∙ 4 −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������ = ������ −���Ԧ��� + ���Ԧ��� + ������
������2 = 2 ���������Ԧ��� − 2 ���Ԧ���
������3 = ���������Ԧ���
S1(0,0,0)
Mo1(233 ������, 0, ������)
������2
������11
S2(0,0,2z)
x ������2
S3(233 ������, 0,2������ + ������) Mo2(0,0,3z+w) S4(233 ������, 0,4������ + ������)
2������������2
������
������110 =
= 2������2
= ≈ 0.555 2(2 2������)2 4 2
������111
=
(16
×
3
+
1 2
×
3 2
������2
3)������������2
=
2������������2
������
= ≈ 0.907
3 2
(2
2������)2
������
38.4°
������
3、证明一价正负离子等间距排列组成的一维 晶格的马德隆常数为2ln2。
马德隆常数:
1
������
=
������
’
±
(������12
+
������22
+
������32)1/2
在一维晶格中选一正离子作为参考离子,对正离子取负号,
对负离子取正号
1
111
������
������������
=
������ − ������0
=
������������������ − ������0
������ =−
������ − ������0 ������0
= 5.55 × 108Pa = ������
第三周作业
1、质量相同的两种原子形成一维双原子链, 最近邻原子间的力常数交错等于β1=c和β2=10c, 且最近邻距离为a; (1)求出色散关系,计算q=0, q=π/2a处格波的
∴ ������ = 2������������2
4、挤压KCl晶体,多大的压强可使它的晶格
常数减小1%?KCl晶体的最近邻的K离子和Cl
离子间距离为r0=0.314nm,马德隆常数为1.75, 重叠排斥能参数n=9。
根据平衡状态体变模量公式求出KCl晶体的体变模量:
(������ − 1)������������2 ������ = 4������������0 × 18������04
23
所以
������100: ������110: ������111 = 6: 3: 2 2 面心立方原子堆积最密集的面是(111)面。
4、在晶体中,由于平移对称性的限制,证明
旋转对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴,对称元
素只能有
1, 2, 3, 4, 6
1, 2, 3, 4, 6
位于原点的格点为A,由它画出基矢