射影几何的应用分析
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Ｂ （ Ｄ／ ＡＤ ・Ｂ ． Ｃ）
定 义 ３ 若 两 个 一 维 基 本 罔 形 Ａ和 口的 参 数 之 间 ， 一 个 行 列 式 不 为 ０的双 一 次 关 系 ， 称 此两 图形 形成 射影 对 应 ， 为 有 则 记
Ａ Ａ Ｂ．
：＝
定 义 ４ 点列 和线 柬 成 射影 对 应 ， 对 应 线 通 过 对 应 点 的 ， 种 特 殊 的射 影 对 应 称 为透 视 对 应 ， 为 （ Ｂ， … ）＾（ ， ， 而 这 记 Ａ， Ｃ， 。 ｂ
所 以 Ｓ０ ＾ｃ＝Ｓ ｏ Ｓ ０ ｃ口， ＡＰ＝Ｓ 。 ． Ｐ８
２ ２ 线 束 的 交 比在 解 决 直 线 共 点 问 题 中 的应 用 ．
在 射影 几何 学 中 ， 比是 射 影 不 变 量 ， 两 个 一 维 基 本 冈 形 形 交 是
成 射 影 对 应 的 判 定 法 则 之 一 ， 在 整 个 射 影 几 何 中 处 于 十 分 重 要 的 它
的 应 用 ， 及 利 用透 视 对 应 完成 几 何 作 图 的应 用． 以
关 键 词 ： 影 几 何 ； 射 变换 ； 比 ； 和 分 割 ； 视 对 应 射 仿 交 调 透 中图 分 类 号 ： ８ １ Ｏ１ ５． 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ７—０ ３ （ ０ １ Ｏ １０ ８ ４ ２ １ ） １—０ １ ０ ２—０ ２
收 稿 １ ：０ ０—１ ３期 ２ １ ０—２ ８
基 金 项 目 ： 康 学 院 重 点扶 持 学 科 “ 础 数 学 ” Ａ Ｘ ０ ０ ） 安 康 学 院重 点 项 目（０ ８ Ｋ Ｙ ２ ） 安 基 （ Ｚ Ｚ １７ ； ２０ Ａ Ｘ ０９ 作者简介 ： 孙 珍 （ ９７ ） 女 ， 东 齐 河 人 ， 康 学 院 数 学 系 教 师 ． １７ 一 ， 山 安
第２ Ｏ卷 第 １期
２１ ０ １年 ３ 月
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ｎｌｏ ｎ ｎＩ ｓ ｔｔ ｆＥ ｕ ａｉｎ（ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｉ ｏ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ １２ ．１
从 特 殊 到一 般 的数 学 思 想 解 决 有 关 问题 ， 平 面 几 何 中 的 一 些 问 题 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ． 使 化
例 １ 如 图 １ 从 椭圆 外 一点 Ｐ做 切 线 Ｐ Ｐ ， 、 ， Ａ、 Ｂ Ａ Ｂ表 示 切点 ， ０ Ｐ ，
是 Ｅ的 中心 ， 射线 Ｏ Ｐ交 Ｅ于点 Ｃ 证 明面积 Ｓ ＝ 。 ， ＝ ． ． Ｓ。 Ｓ Ｓ 分 析 椭 圆 可 以看 做 圆 的仿 射 变换 得 到 的仿 射 像 ．
１ 相 关 定 义 与 定 理 …
定 义 １ 经 过 一 切 透 视 仿 射 不 改 变 的性 质 和数 量 ， 为仿 射 不 变性 和仿 射 不 变 量 ． 称
定 义 ２ 一 线 束 中 ４直 线 被 任 一 直 线 （ 通 过 线 束 中心 或 顶 点 ） 截 ４点 的 交 比 ， 为 ４直 线 的 交 比 ， 为 （ ｂ ｃ ）＝ Ｃ・ 不 所 称 记 ａ ，ａ Ａ
图 １ 仿 射 变 换 的 应 用
Ｆｉ １ Ａ ｐｐｌ ａｔｏ ｏ ｆｉ ｅ ｔ ａｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｇ． ｉ ｉｎ ｆａ ｆｎ ｒ ｓ ｏ ｍ ｔｏ ｃ
地 位 ， 给 我 们 解 题 提 供 帮 助 ． 能
例 ２ 证 明 ４直 线 ２ ｘ—ｙ＋１＝０，ｘ＋ 一２＝０， ｘ—ｙ＝０，ｘ一１＝０共 点 ３ ７ ５
ｃ … ） ， ．
定 义 ５ 若 （ Ｂ， Ｄ）＝一１ 称 ｃ Ｄ 两点 调 和分 割 线 段 Ａ ． Ａ Ｃ ， ， Ｂ
定 理 １ 两个 一维 基本 图形 形 成 射影 对 应 的充 分 必 要 条 件 为 对 应 元 素 的交 比相 等 ．
定理 ２ 透视仿射保留同素性和结合性．
Ｍａ ． ｒ ２０１ １
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ ｌ ０ ｏ ：０ ３ ６ ／．ｓ ／ Ｏ ７—０ ３ ２ １ ． １ ０ ５ ｓ ８ ４． ０ Ｏ ． ０ １
射 影 几 何 的 应 用 分 析
孙 珍
（ 康 学院 数 学 系 ， 西 安 康 ７５ ０ ） 安 陕 ２ ００
摘要 ： 阐述 射 影 几何 学有 关定 理 和 结 论 ， 讨 了射 影 几何 中仿 射 变换 、 比 、 和 分 割 在 解 决 平 面 几 何 问题 中 探 交 调
定 理 ３ ４直 线 ０ ｂ ｃ 。＋Ａ ｂ ｄ＝ Ａ ｂ的交 比为 （ ６ ｃ ）＝ Ｉ Ａ ． ，，＝ ， ｏ＋ ２ ｎ， ｄ Ａ／ ２
２ 射影 几何 在 解 决 平 面 几何 问题 中 的应 用
２ １ 仿 射 变 换 在 解 决 平 面 几何 问题 中 的应 用 ． 由仿 射 不 变 性 和 仿 射 不 变 量 ， 及仿 射 变 换保 留 同 素性 、 合 性 等 性 质 ， 一 些 图形 之 间 的仿 射 变 换 关 系 人 手 ， 妙 利 用 以 结 从 巧
０ 引言
射 影 几 何 所 处 理 的 是 构 成 几 何 图形 的 最 根 本 的 定 性 方 面 和 描 述 方 面 的 性 质 ， 且 不 用 线 段 与 角 的度 量 ． 经 典 几 何 中 ， 而 在
射 影 几 何 处 于 一 种 特 殊 的 地 位 ， 过 它 可 以把 一 些 几 何 联 系 起 来 ． 式 几何 是 射影 几何 的 子 几何 ． 通 欧
７ １ ７ １
Ｐ
证 明 作 仿 射变 换 ： ０ 一 圆
ＰＢ ， — Ｉ ｃ ｃ ＿ 一
．
椭 圆 ０， Ｐ Ａ一 ， ５
， ＰＢ一
对 于 圆 ０ 来 说 ｓ ｗｃ ＝ ｓ
＝Ｓ Ｍ ． 于 在 仿 由
Fra Baidu bibliotek
射 变 换 下 ， 意 两 条 封 闭 凸 曲线 所 同 成 的 面 积 之 比 是 仿 射 不 变 量 ， 任
定 义 ３ 若 两 个 一 维 基 本 罔 形 Ａ和 口的 参 数 之 间 ， 一 个 行 列 式 不 为 ０的双 一 次 关 系 ， 称 此两 图形 形成 射影 对 应 ， 为 有 则 记
Ａ Ａ Ｂ．
：＝
定 义 ４ 点列 和线 柬 成 射影 对 应 ， 对 应 线 通 过 对 应 点 的 ， 种 特 殊 的射 影 对 应 称 为透 视 对 应 ， 为 （ Ｂ， … ）＾（ ， ， 而 这 记 Ａ， Ｃ， 。 ｂ
所 以 Ｓ０ ＾ｃ＝Ｓ ｏ Ｓ ０ ｃ口， ＡＰ＝Ｓ 。 ． Ｐ８
２ ２ 线 束 的 交 比在 解 决 直 线 共 点 问 题 中 的应 用 ．
在 射影 几何 学 中 ， 比是 射 影 不 变 量 ， 两 个 一 维 基 本 冈 形 形 交 是
成 射 影 对 应 的 判 定 法 则 之 一 ， 在 整 个 射 影 几 何 中 处 于 十 分 重 要 的 它
的 应 用 ， 及 利 用透 视 对 应 完成 几 何 作 图 的应 用． 以
关 键 词 ： 影 几 何 ； 射 变换 ； 比 ； 和 分 割 ； 视 对 应 射 仿 交 调 透 中图 分 类 号 ： ８ １ Ｏ１ ５． 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ７—０ ３ （ ０ １ Ｏ １０ ８ ４ ２ １ ） １—０ １ ０ ２—０ ２
收 稿 １ ：０ ０—１ ３期 ２ １ ０—２ ８
基 金 项 目 ： 康 学 院 重 点扶 持 学 科 “ 础 数 学 ” Ａ Ｘ ０ ０ ） 安 康 学 院重 点 项 目（０ ８ Ｋ Ｙ ２ ） 安 基 （ Ｚ Ｚ １７ ； ２０ Ａ Ｘ ０９ 作者简介 ： 孙 珍 （ ９７ ） 女 ， 东 齐 河 人 ， 康 学 院 数 学 系 教 师 ． １７ 一 ， 山 安
第２ Ｏ卷 第 １期
２１ ０ １年 ３ 月
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ｎｌｏ ｎ ｎＩ ｓ ｔｔ ｆＥ ｕ ａｉｎ（ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｉ ｏ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ １２ ．１
从 特 殊 到一 般 的数 学 思 想 解 决 有 关 问题 ， 平 面 几 何 中 的 一 些 问 题 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ． 使 化
例 １ 如 图 １ 从 椭圆 外 一点 Ｐ做 切 线 Ｐ Ｐ ， 、 ， Ａ、 Ｂ Ａ Ｂ表 示 切点 ， ０ Ｐ ，
是 Ｅ的 中心 ， 射线 Ｏ Ｐ交 Ｅ于点 Ｃ 证 明面积 Ｓ ＝ 。 ， ＝ ． ． Ｓ。 Ｓ Ｓ 分 析 椭 圆 可 以看 做 圆 的仿 射 变换 得 到 的仿 射 像 ．
１ 相 关 定 义 与 定 理 …
定 义 １ 经 过 一 切 透 视 仿 射 不 改 变 的性 质 和数 量 ， 为仿 射 不 变性 和仿 射 不 变 量 ． 称
定 义 ２ 一 线 束 中 ４直 线 被 任 一 直 线 （ 通 过 线 束 中心 或 顶 点 ） 截 ４点 的 交 比 ， 为 ４直 线 的 交 比 ， 为 （ ｂ ｃ ）＝ Ｃ・ 不 所 称 记 ａ ，ａ Ａ
图 １ 仿 射 变 换 的 应 用
Ｆｉ １ Ａ ｐｐｌ ａｔｏ ｏ ｆｉ ｅ ｔ ａｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｇ． ｉ ｉｎ ｆａ ｆｎ ｒ ｓ ｏ ｍ ｔｏ ｃ
地 位 ， 给 我 们 解 题 提 供 帮 助 ． 能
例 ２ 证 明 ４直 线 ２ ｘ—ｙ＋１＝０，ｘ＋ 一２＝０， ｘ—ｙ＝０，ｘ一１＝０共 点 ３ ７ ５
ｃ … ） ， ．
定 义 ５ 若 （ Ｂ， Ｄ）＝一１ 称 ｃ Ｄ 两点 调 和分 割 线 段 Ａ ． Ａ Ｃ ， ， Ｂ
定 理 １ 两个 一维 基本 图形 形 成 射影 对 应 的充 分 必 要 条 件 为 对 应 元 素 的交 比相 等 ．
定理 ２ 透视仿射保留同素性和结合性．
Ｍａ ． ｒ ２０１ １
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ ｌ ０ ｏ ：０ ３ ６ ／．ｓ ／ Ｏ ７—０ ３ ２ １ ． １ ０ ５ ｓ ８ ４． ０ Ｏ ． ０ １
射 影 几 何 的 应 用 分 析
孙 珍
（ 康 学院 数 学 系 ， 西 安 康 ７５ ０ ） 安 陕 ２ ００
摘要 ： 阐述 射 影 几何 学有 关定 理 和 结 论 ， 讨 了射 影 几何 中仿 射 变换 、 比 、 和 分 割 在 解 决 平 面 几 何 问题 中 探 交 调
定 理 ３ ４直 线 ０ ｂ ｃ 。＋Ａ ｂ ｄ＝ Ａ ｂ的交 比为 （ ６ ｃ ）＝ Ｉ Ａ ． ，，＝ ， ｏ＋ ２ ｎ， ｄ Ａ／ ２
２ 射影 几何 在 解 决 平 面 几何 问题 中 的应 用
２ １ 仿 射 变 换 在 解 决 平 面 几何 问题 中 的应 用 ． 由仿 射 不 变 性 和 仿 射 不 变 量 ， 及仿 射 变 换保 留 同 素性 、 合 性 等 性 质 ， 一 些 图形 之 间 的仿 射 变 换 关 系 人 手 ， 妙 利 用 以 结 从 巧
０ 引言
射 影 几 何 所 处 理 的 是 构 成 几 何 图形 的 最 根 本 的 定 性 方 面 和 描 述 方 面 的 性 质 ， 且 不 用 线 段 与 角 的度 量 ． 经 典 几 何 中 ， 而 在
射 影 几 何 处 于 一 种 特 殊 的 地 位 ， 过 它 可 以把 一 些 几 何 联 系 起 来 ． 式 几何 是 射影 几何 的 子 几何 ． 通 欧
７ １ ７ １
Ｐ
证 明 作 仿 射变 换 ： ０ 一 圆
ＰＢ ， — Ｉ ｃ ｃ ＿ 一
．
椭 圆 ０， Ｐ Ａ一 ， ５
， ＰＢ一
对 于 圆 ０ 来 说 ｓ ｗｃ ＝ ｓ
＝Ｓ Ｍ ． 于 在 仿 由
Fra Baidu bibliotek
射 变 换 下 ， 意 两 条 封 闭 凸 曲线 所 同 成 的 面 积 之 比 是 仿 射 不 变 量 ， 任