九年级数学专题复习第一讲数与式的运算

九年级数学复习第一讲数与式的运算

一、乘法公式

【公式1】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

证明：Θ(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ∴等式成立

1

【例1】计算：(x2-2x+)2

3

1

解：原式=[x2+(-2x)+]2

3

111

=(x2)2+(-2x)2+()2+2x2(-2)x+2x2⨯+2⨯⨯(-2x)

333

8221

=x4-22x3+x2-x+

339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

证明:(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3

说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：(a-b)(a2+ab+b2)

解：原式=[a+(-b)][a2-a(-b)+(-b)2]=a3+(-b)3=a3-b3

我们得到：

【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：

（1）(4+m)(16-4m+m2)

1

（2）(m-

5

1111

n)(m2+mn+n2)

225104

（3）(a+2)(a-2)(a4+4a2+16)（4）(x2+2x y+y2)(x2-xy+y2)2解：（1）原式=43+m3=64+m3

11

（2）原式=(m)3-(n)3=

52

11

m3-n3 1258

（3）原式=(a2-4)(a4+4a2+42)=(a2)3-43=a6-64

（

∴ 原式= a ⋅ b + c

（4）原式= ( x + y) 2 ( x 2 - xy + y 2 ) 2 = [( x + y)( x 2 - xy + y 2 )]2

= ( x 3 + y 3 ) 2 = x 6 + 2 x 3 y 3 + y 6

说明： 1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20 的平方数和 1、2、3、

4、…、10 的立方数，是非常有好处的．

【例 4】已知 x 2 - 3x = 1 = 0 ，求 x 3 +

1 x 3

的值．

1

解：Θ x 2 - 3x = 1 = 0 ∴ x ≠ 0 ∴ x + = 3

x

1 原式= ( x + )( x

2 - 1 + x 1 1 1

) = ( x + )[( x + ) 2 - 3] = 3(32 - 3) = 18

x 2 x x

说明：本题若先从方程 x 2 - 3x = 1 = 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较

烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整 体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例 5】已知 a + b + c = 0 ，求

1 1 1 1 1 1

a( + ) + b ( + ) + c( + ) 的值． b c c a a b

解：Θ a + b + c = 0,∴ a + b = -c, b + c = -a, c + a = -b

a + c a + b

+ b ⋅

+ c ⋅ bc ac ab

a(-a) b (-b ) c(-c) a 2 + b 2 + c 2

= + + =-

①

bc ac ab abc

Θ a 3 + b 3

= (a + b )[(a + b ) 2 - 3ab] = -c(c 2 - 3ab) = -c 3 + 3abc

∴ a 3

+ b 3

+ c 3

= 3abc ②，把②代入①得原式= -

3abc = -3

abc

说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：

a 3 +

b 3 +

c 3 - 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca)

二、根式

式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式，其性质如下：

(1) ( a )2 = a(a ≥ 0) (2) a 2 =| a |

(3)

ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0)

(4)

b

b = (a > 0, b ≥ 0) a a

【例 6】化简下列各式：

(1) ( 3 - 2)2 + ( 3 - 1)2

(2) (1- x)2 + (2 - x)2 ( x ≥ 1)

2 + 3

(2)

2 a

解：(1) 原式= | 3 - 2 | + | 3 - 1| = 2 - 3 + 3 - 1 = 1

⎧( x - 1) + ( x - 2) = 2 x - 3 ( x > 2)

(2) 原式= | x - 1| + | x - 2 |= ⎨

⎩( x - 1) - ( x - 2) = 1 (1 ≤ x ≤ 2)

说明：请注意性质 a 2 =| a | 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字

母的取值分类讨论．

【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

(1) 3

1 1 + a b

(3) 2 x

- x 3 + 8x

2

解：(1) 原式= 3(2 - 3) (2 + 3)(2 - 3)

=

3(2 - 3) 22 - 3

= 6 - 3 3

(2) 原式= a + b a 2 b + ab 2

=

ab ab

(3) 原式= 2 2 x

- x ⋅ x 2 + 2 ⨯ 22 x = 2 x - x x + 2 2 x = 3 2 x - x x

2 ⨯ 2

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被 开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解

3

因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式 (如 )或被开方

2 + 3

数有分母(如

2 b

2

x x x

)．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”

的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化