北师大版第一章各节练习题含答案

北师大版数学八年级上册同步练习
1.1 探索勾股定理
一．选择题（共12小题）
1．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）
A．6 B．12 C．24 D．24
3．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（）
A．刘徽B．赵爽C．祖冲之D．秦九韶
4．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：
（1）a2+b2=49，（2）b﹣a=2，（3）ab=，（4）a+b=中，
正确结论的个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．64
7．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
A．13 B．13或C．13或15 D．15
9．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），
点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）
A．B．C．D．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）
A．S1=S2=S3 B．S1=S2＜S3C．S1=S3＜S2D．S2=S3＜S1
11．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）
A．30 B．36 C．72 D．125
12．如图，字母M所代表的正方形的面积是（）
A．4 B．5 C．16 D．34
二．填空题（共10小题）
13．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面
积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值是．
14．如图．是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是49，小正方形的面积为1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边（a＞b），则（a+b）2=．
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．
16．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=，S2=．
17．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等
式．
18．公元3世纪，我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理，在前面的学习中，我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为，，的线段．若一个直角三角形的一条边长为，其他两边长均为有理数，则其它两边的长可以为，．
19．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．20．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．
21．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为cm2．
22．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=；AD=．
三．解答题（共4小题）
23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a
=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
∵S
四边形ADCB
=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
又∵S
四边形ADCB
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．
24．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．
25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
26．在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C 作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．
北师大版数学八年级上册同步练习：1.1 探索勾股定理参
考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．
【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2=9，a﹣b=1，
解得a=，b=，
则ab=4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1=8；
每个三角形的面积为2；
则ab=2；
所以ab=4
故选：A．
2．
【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求．
【解答】解：根据题意得：4（AB+AC）=24，即AB+AC=6，OB=OC=3，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，
即（6﹣AC）2=32+（3+AC）2，
解得：AC=1，
∴OA=3+1=4，
=×3×4=6，
∴S
△AOB
则该飞镖状图案的面积为24，
故选：C．
3．
【分析】根据“弦图”判断即可．
【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，
故选：B．
4．
【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b 的关系式，依次判断所给关系式即可．
【解答】解：由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，
故可得|b﹣a|=2，即（2）错误；
a2+b2=斜边2=大正方形的面积=49，即（1）正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得4+2ab=49，所以ab=，即（3）正确；
根据（3）可得2ab=45，故可得（a+b）2=a2+b2+45=94，
从而可得a+b=，即（4）正确．
综上可得（1）（3）（4）正确，共3个．
故选：B．
5．
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为=5．
故选：A．
6．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
7．
【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．
【解答】解：找到OA n=的规律，
所以OA1到OA25的值分别为，，……，
故正整数为=1，=2，=3，=4，=5．
故选：C．
8．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长
必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；
当12是直角边时，第三边是=13．
故选：B．
9．
【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
【解答】解：根据图形可得：
AB=AC==，
BC==，
∠BAC=90°，
设△ABC中BC的高是x，
则AC•AB=BC•x，
×=•x，
x=．
故选：A．
10．
【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c，分别表示出三角形的面积比较即可．
【解答】解：作ER⊥FA的延长线，垂足为R；作DH⊥NB的延长线，垂足为H；作NT垂直于DB的延长线，垂足为T．
设△ABC的三边长分别为a、b、c，
∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵∠EAR+∠RAB=90°，∠RAB+∠CAB=90°，
∴∠EAR=∠CAB
∵AE=AB，∠ARE=∠ACB，
∴△AER≌△ABC，
∴ER=BC=a，
FA=b，
∴S1=ab，S2=ab，
同理可得HD=AR=AC，
∴S1=S2=S3=ab．
故选：A．
11．
【分析】作CE⊥AD，AF⊥CD，则根据面积法可以证明AD×EC=AF×CD，要求AF，求CE即可，根据AC=CD=5，AD=6可以求得CE，△ABC的面积为×BC×AF．
【解答】解：作CE⊥AD，AF⊥CD，
在△ACD中S=•AD•CE=•CD•AF，
∵AC=CD，∴AE=DE=3，故CE==4，
∴AF==，
∴△ABC的面积为×（10+5）×=36，
故选：B．
12．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC2=AB2﹣BC2=16，
则字母M所代表的正方形的面积=AC2=16，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
13．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．
所以a+b=5（舍去负值）．
故答案是：5．
14．
【分析】利用大正方形的边长为7和勾股定理解答即可．
【解答】解：利用勾股定理得a2+b2=49；利用小正方形的边长得到a﹣b=1，则（a﹣b）2=1，
可得：2ab=48，所以（a+b）2=49+48=97，
故答案为：97
15．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸
一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．
故答案是：76．
16．
【分析】五边形的面积=边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b 的直角三角形的面积，或五边形的面积=边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：如图所示：
S1=c2+ab×2=c2+ab，
S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
17．
【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答．
【解答】解：依题意得：ab+c2+ab=（a+b）（a+b），
整理，得
c2=a2+b2．
故答案是：c2=a2+b2．
18．
【分析】根据已知条件以及勾股定理解答即可．
【解答】解：∵（）2=（3+）2﹣（3﹣）2，
∴这个直角三角形的两边可以为，．
故答案为，（答案不唯一）．
19．
=6，找出所有可【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S
△ABC
能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
=AB•BC=6．
∴AC==5，S
△ABC
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD===2.4，
∴AD=DP==1.8，
∴AP=2AD=3.6，
=S△ABC=×6=4.32；
∴S
等腰△ABP
④当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
20．
【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD 乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
【解答】解：根据勾股定理得：AC==5，
=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，
由网格得：S
△ABC
∴×5BD=4，
解得：BD=．
故答案为：
21．
【分析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b，根据三角形的面积公式、勾股定理求出a+b，根据三角形周长公式计算．
【解答】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，
则ab=6，即ab=12，
由勾股定理得，a2+b2=25，
则（a+b）2﹣2ab=25，
解得，a+b=7，
∴该直角三角形的周长=a+b+c=12，
故答案为：12．
22．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得，BD=CD=，
由勾股定理得，AC==2，
AD==，
故答案为：2；．
三．解答题（共4小题）
23．
，【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S
五边形ACBED 两者相等，整理即可得证．
【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
∵S
五边形ACBED
=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
又∵S
五边形ACBED
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．
24．
【分析】根据勾股定理即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b
∴每一个直角三角形的面积为：ab
∴4×ab+（a﹣b）2=13
∴2ab+a2﹣2ab+b2=13
∴a2+b2=13，
∴a2+2ab+b2=21，
∴ab=4
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=13﹣8=5
∴a﹣b=
25．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到CD=DE；
（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理，得AB═10，
∴△ADB的面积为S=AB•DE=×10×3=15．
26．
【分析】（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；（2）依据S ABC=S ABH+S△BHC可知，然后将BH=x，AE=m，CF=n 代入整理即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD===12．
∵BC=14，
∴==84．
故答案为：84．
（2）∵S ABC=S ABH+S△BHC，
∴．
∴xm+xn=168．
∴m+n=
∵AD=12，DC=14﹣5=9，
∴AC==15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．
∴（m+n）BH=AC•BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH值最大时，m+n有最小值．
∴当点H与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n=，
∴m+n=12．
∴m+n的最大值为15，最小值为12．
1.2 一定是直角三角形吗
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数据是勾股数的是（）
A．5，12，13 B．6，9，12 C．12，15，18 D．12，35，36 2．下列四组数据中是勾股数的有（）
①5、7、8②、3
③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，12
4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（）
A． B．C．
D．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5
C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B
7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）
A．a2﹣c2=b2B．（a﹣b）（a+b）+c2=0 C．∠A=∠B=∠C D．∠A=2∠B=2∠C
8．给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（）A．①②B．③④C．①③④D．④
9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）
A．8 B．9 C．D．10
二．填空题（共10小题）
11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．
12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，连接CD，则CD=．
13．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②．
14．观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5
n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10
n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a=，b=，c=．
15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC=．
17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．
18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．19．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．
20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为．
三．解答题（共4小题）
21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
22．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．
23．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．
24．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
一定是直角三角形吗
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、122+52=132 ，能构成直角三角形，故正确；
B、62+92≠122，不能构成直角三角形，是整数，故错误；
C、122+152≠182，不能构成直角三角形，是整数，故错误；
D、122+352≠362，不能构成直角三角形，是正整数，故错误．
故选：A．
2．
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：①8，5，7 不是勾股数，因为72+52≠82；
②，，3 不是勾股数，因为、不是整数；
③9，12，15 是勾股数，因为92+122=152；
④n2+1，n2﹣12n（n＞1）是勾股数，因为2n，n2﹣1，n2+1不一定是整数．故选：A．
3．
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】解：A、因为12+22=（）2，能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为62+82≠122，不能构成直角三角形，此选项正确．
故选：D．
4．
【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD 与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵AB=6，AC=8，
∴CD≤8，
∴当CD与AC重合时，CD最长为8，
此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，
∴BC==10，
∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：C．
5．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
6．
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．
D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；
故选：C．
7．
【分析】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．或证明三角形中一个角等于90°．
【解答】解：A、符合勾股定理的逆定理，不符合题意；
B、∵（a﹣b）（a+b）+c2=0，∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；
C、∵∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C=60°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A=2∠B=2∠C，∴∠A=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
8．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：∵42+52≠62，即三角形不是直角三角形，∴①错误；
∵82+152≠162，即三角形不是直角三角形，∴②错误；
∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，即三角形是直角三角形，∴③正确；
∵（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，即三角形是直角三角形，∴④正确；
故选：B．
9．
【分析】分别求A、B、C、D四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定B、C、D中三角形为直角三角形，A为钝角三角形，即可解题．
【解答】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形为钝角三角形；
B、各边长2、4、2，22+42=（2）2，故该三角形为直角三角形；
C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；
D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．
10．
【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
【解答】解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
=AB•AC=BC•AD，
则由面积公式知，S
△ABC
∴AD=．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
12．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．
【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，
∴DE=3，
∴AD=DC==5．
故答案为：5
13．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：根据勾股数定义可得①3，4，5；②6，8，10，
故答案为：3，4，5；6，8，10．
14．
【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2
﹣1，c=n2+1，满足勾股数．
【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5
n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10
n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…
∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．
15．
【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
【解答】解：∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8=24．
故答案为：24．
16．
【分析】由勾股定理的逆定理，先验证两小边的平方和等于最长边的平方，那么此三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式求即可．
【解答】解：∵a=3，b=7，
∴a2+b2=58，
又∵c2=58，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
=×3×7=10.5．
∴S
△ABC
故答案是10.5．
17．
【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．
【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，
∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，
∴a2+b2=c2，
∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，
∴此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
18．
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．
【解答】解：∵52+122=132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC=×5×12=×13h，
解得：h=，
故答案为．
19．
【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．
【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，
故设第二个数为x，则第三个数为x+1，
根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，
解得x=60，
则得第5组数是：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
20．
【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，可找到这三边的
数量关系．
【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2．
当只有a=b成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．
三．解答题（共4小题）
21．
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【解答】解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
22．
【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
【解答】解：连接BD．
∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，
∴根据勾股定理可得BD=3，
又∵CD=5，BC=4，
∴CD2=BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD=90°，
=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．∴S
四边形ABCD
23．
【分析】（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A的距离是5的点就是所求；
（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
故答案是：4．
24．
【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，
从而不难得到其形状．
【解答】解：（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．
故△ABC的面积为5；
（2）∵小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
1.3勾股定理的应用
一、选择题（共8小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（）
A．π B．3πC．9πD．6π
2．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
3．小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）
A．锐角弯B．钝角弯C．直角弯D．不能确定
4．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
5．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
6．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）
A．3m B．5m C．7m D．9m
7．如图，带阴影的长方形面积是（）
A．9 cm2B．24 cm2C．45 cm2D．51 cm2
8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）
A．5B．25 C．10+5 D．35
二、填空题（共5小题）
9．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．
10．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是
______cm．（π取3）
11．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．
12．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm．
13．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走
______cm．（杯子厚度忽略不计）。