北师大版第一章各节练习题含答案

北师大版数学八年级上册同步练习

1.1 探索勾股定理

一．选择题（共12小题）

1．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

2．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）

A．6 B．12 C．24 D．24

3．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（）

A．刘徽B．赵爽C．祖冲之D．秦九韶

4．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一

个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：

（1）a2+b2=49，（2）b﹣a=2，（3）ab=，（4）a+b=中，

正确结论的个数有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）

A．4 B．8 C．16 D．64

7．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）

A．13 B．13或C．13或15 D．15

9．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），

点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）

A．B．C．D．

10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）

A．S1=S2=S3 B．S1=S2＜S3C．S1=S3＜S2D．S2=S3＜S1

11．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）

A．30 B．36 C．72 D．125

12．如图，字母M所代表的正方形的面积是（）

A．4 B．5 C．16 D．34

二．填空题（共10小题）

13．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面

积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值是．

14．如图．是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是49，小正方形的面积为1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边（a＞b），则（a+b）2=．

15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．

16．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=，S2=．

17．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等

式．

18．公元3世纪，我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理，在前面的学习中，我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为，，的线段．若一个直角三角形的一条边长为，其他两边长均为有理数，则其它两边的长可以为，．

19．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．20．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．

21．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为cm2．

22．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=；AD=．

三．解答题（共4小题）

23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a

=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

∵S

四边形ADCB

=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

又∵S

四边形ADCB

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．

24．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．