【资料】质点动力学的基本方程汇编

物块以加速度a2滑下,试求：楔块的加速度a1值。
解：
y’
x: mA(a1cos +a2)=mAgsin
A
a2
B
a1
y: mAa1sin =FN -mAgcos
x’
a1=(gsin - a2)/ cos
y
P
a2=gsin - a1 cos
ae=a1 A
讨论：
1. a1> g tan ,
四、两类问题
1、已知运动，求力（微分问题）
已知
rrt vvt
aat 求
F 是一个微分过程
2、已知力，求运动（积分问题），还要已知初始条件
（1）力是常力
F常矢量
例如：重力
'' x'' mx Fx
x F x m
dx Fx dt m
xdx Fx
t
dt
x0
m0
x
x0
Fx m
t
（2）力是位置的函数 F F r 例如：弹簧力
u , = 0。试求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
解：
ma Fi 运动微
分方程
nF s u
mg
: ml-mgsin n : ml2 F-mgcos
积分上式可得：
Fm(g 3cos-2)mu2
l
分析小球的运动
（1）微幅摆动
lgsin0 sin
g 0
l
2 g
l
20
微分方程的通解
'' x'' mxFxt
x Fxt
m
xx0dxm 1 tt0Fxtdt xx0t
说明：以上积分的分离形式并不是惟一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应.
求解动力学问题的步骤：
1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解
例1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑
y F x
x v0e-kt
dx-v0 e-kd t (-kt) k
x
x
F
y
x
y-ky-g
v0 (1-e-kt)
kkdy ky g
-kt
lnky(g)|0y-kt
kygge-kt
dyg(e-kt -1)dt
yh-gtg(1-e-k)t
k
k k2
例4 圆柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳，应
F1
F2
§19-2 质点运动的微分方程 z
一、矢量式dv d2r
mam dt
mdt2
F
二、直角坐标式
x
m
r
F
a
y
m
d2 x dt2
Fx
三、自然轴系式
m
d2 y dt2
Fy
m
d2 z dt2
Fz
mamddvt md dt22sF; v2
man m ΣFn;
b
S A _
n
M
B
F + a
mba0ΣFb;
Asi nt ()
初始条件：
0 0,
0
u l
确定积分常数
A u , 0 l
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
（2）大幅摆动
2sin0
大
幅
摆
动
(rad)
不 具
有
等
时
性
t (s)
例6: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 fd，圆柱半径为 r
=1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
a2<0,
FN
物块相对上升。
x
ar=a2
2. a1< gtan , a2>0, 物块相对下降。
3. a1= g tan , a2=0, 物块相对不动。
例2 中国古时有一位千户将自制火箭绑在所坐的椅子上，点燃
火箭后试图飞离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才可将
这位千户飞离地球。
解: 已知地心引力 F= - m/x2， 则 F= - mgR2/x2。
量成反比，加速度方向与力的方向一致。 Fma 质量是物体惯性的度量
适用于惯性参考系
第三定律 作用与反作用定律
两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿 同一作用线，且同时分别作用于两个物体上 。
动力学主要研究两类基本问题
1.已知运动求力(逆问题)
a P
2.已知力求运动(正问题) a
F
W
地球
o
r
mg
(t) (t ) ( t )
fs 0.1
t(s)
00ra,d00rad/s,
思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速n。
解:
沿法向建立质点运动微分方程:
mnamvR2 FNPcos
F
P FN
n
vRRn
Biblioteka Baidu30
代入后: n3R0 m R(FNPcos)
当 FN=0
n 30 g cos R
当 最高位置 =0
n 30 g
R
例5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为
'' x'' mxFx
x Fx
m
xdxdxdxxdx （分离变量法） dt dx dt dx
xx0xdxm 1 xx0Fxdx
（3）力是速度的函数 F F v
x2
x02
2x
m
例如：空气阻力
'' x'' mxFx
x Fx
x dx 1 t
m
x0
Fx
dt
m t0
（4）力是时间的函数 FFt 例如：周期力
x
按初始条件 x=R 时 F=mg 可求得 =R2g，
F
建立微分方程:
mx
-m
gR2 x2
由:
x -
gR 2 x2
R
dx dt
dx dx
-
gR2 x2
xdx
-
gR2 x2
dx
vxdx
x-g
R2 dx
v0
R x2
0
1 2(v2-v02)R2g(1 x-R 1)
v
(v02
-2gR)2gR2 x
1. v20 <2gR，下落， 2. v20 >2gR，飞离.
v0 2gR11.2km/s
第二宇宙速度
( R=6370 km )
例3 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子， 当空气阻力F=- kmv时,试求：石子的运动方程。
解： y
mx-Fx-km x
建立微分方程: m y -F y-m g - ky m -mg
v0
mg
x-kx
dx x
-kdt
lnx|xx0 -kt
质点动力学的基本方程
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系。
第十九章 动力学基本定律 质点运动微分方程
§19-1 牛顿运动定律 惯性坐标系
第一定律 惯性定律 任何物体，若不受外力作用，将永远保持静止或作匀速直 线运动
第二定律 力与加速度关系定律 质点的加速度大小与所受力的大小成正比，而与质点的质
F
FN
o
n
r
mg
解：取质点为研究对象
m am gFFN
: mrmcgos-Fd
(1)
n : mr2-msginFN (2)
由（2）式解得： FNmr2msgin Fd fdFN
代入（1）式得： m m rcg o - fd s (m 2 r m sg i)n
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律