线性规划中整点最优解的探究

线性规划中整点最优解的探究

发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方

法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。线性规划最优解教学中的一个难点。〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法

平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。

例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。

本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y =72 和0.08x+0.28y=56 的交点M。利用平移直线方法找出最优解。平移找解法一般使用与其可行域是有限区域且整点个数又较少，但是作图要求高。

2 整点调整法

整点调整法，或近似解估算法，借助不定方程来调整最优值，解出的结果比一定是整数解，根据方程找到最近接的数进行代入，最后找出最优解。

例2 有一户房子室内面积共180m2，想要拆分成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积18m2，可住5 名游客，每名游客每天住宿费40 元，小房间面积是15m2 每间，可住游客3 名，每名游客每天住宿费50 元，装修大房间每间需要1000 元，装修小房间每间需要600元，如果只有80000 元用于装修，且游客能注满房间，问应该拆分大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解：设大房间x 间，小房间y 间，收益为 z 元，则可列出方程式 18x+15y≤0 1000x+600y≤80000 嗓解得z=200x+150y，x，y ≥0，x，y 为整数。解 18x+15y=1800 1000x+600y=80000 嗓，得出A （20 7 ， 60 7 ），但不是整数解，此时z=200× 20 7 +150× 60 7 = 1300 7≈1857。又z=200x+150y =50(4x+3y)，故z 渠道的最优解一定能被50 整除，则z 最大可能是1850，则4x+3y=37，将其代入条件方程式，可得到52 ≤x≤3，x 为整数，故x=3，此时y 为非整数，故直线 4x+3y=37 时，z=1850 无最优解，那么z 的最大值可能是1800，则4x+3y=36，同理可得出 0 ≤x ≤4，x 为整数故x=0，1,2,3,4，代入 4x+3y=36，得到与之对应的y=12, 32 3 , 28 3 , 8, 20 3 ,故可的最优解为（0,12）和（3,8），此时=1800。答：应改成0 间大房间和12 间小房间，或者3 间大房间和8 间小房间，能获得最大收益。在本题解答时通过验证代入，得出结果，该方法适用于在分解方程式来分析能得出整除或其他方法，逐步排除，最后得出结果。

3 最小距离法

最小距离法，在图形坐标中显示出目标函数的整数最优解可依据较近的整点，将可行域内距离最近的整点算出，然后比较，就可以得到整数最优解。

例3 已知x，y 满足 4x+3y-20≤0 x-3y≤0 x，y 是自然数扇墒设设设设缮设设设设求s=7x+5y 的最大值。解：如图所示，在距离直线l 较劲的整点有（1,5），（2,4），（3，2），（4,1），它们到l 的距离分别求出结果，得出来（2,4）为问题的整数最优解。

在本题中由于出现的数字比较简单，不烦琐，易于从图形中观察得到，有时距离的计算不容易，也不适合所有的线性规划方程来解决最优解。但是我们可以变通求点（x， y）的∣Ax+By+C∣，进行比较，如果可行即可用此方法进行解答。线性规划整点最优解是教学中的一个难点，约束条件多，教师在传授知识的同时还要让学生明白如何应用，何时应用，怎样应用等问题，引导学生在解决最优化问题时选择应用线性规划来解决，每种解决整点最优解的方法都适用于不同类型的问题，方法各有千秋，学生在选择使用整点最优解来解决问题是要做好方法的选择。教师在传授课程时根据例题进行讲解，选择最优化的方法充分理解。作者单位：新疆第五师高级中学