曾谨言量子力学第4章ppt课件
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ψ(t) a k(t)ψk,a k(t) (ψk,ψ(t))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 a k (t ) 2 则该概率随时间的变化为
d dt
ak (t) 2
d
a
k
dt
ak
复
共
轭
项
(t) t
,
k
(
k
,
(t))
复
共
轭
项
Hˆ (t ) ih
,
k
(
k
,
(t))
复
共
轭
项
1 ih
例题1 判断下列说法的正误
(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）
,
pˆ
2 y
]
[ zpˆ z
,
pˆ
2 z
]
2ihpˆ
2 x
2ihpˆ
2 y
2ihpˆ
2 z
2ihprˆ 2
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
rrˆ prˆ 1(rrˆ prˆprˆrrˆ) 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
P ˆn (x )n ( x ) ( 1 )nn (x )
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H ˆp rˆ2/2mV ˆ(rr)
(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态
(1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
(2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
H ˆE, F ˆF
又因为 [G, H]=0, 则
H ˆG ˆψG ˆH ˆψG ˆE ψE G ˆψ
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
]
Aˆ t
若力学量不显含时间，即
Aˆ 0
t
则 d Aˆ(t) 1[Aˆ,Hˆ]
dt
ih
若 [Aˆ, Hˆ ] 0
d Aˆ (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
H ˆkE kk,A ˆkA kk
体系的任意量子态可表示为
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
1. 经典物理中的守恒量
守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为 A ˆ(t)(t),A ˆ(t)
(
(t),
Hˆ
k
) (
k
,
(t))
复
共
轭
项
Ek ih
( (t ), k ) 2 复 共 轭 项
0
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。
[xˆpˆ x ,Vˆ(rr )] [ yˆpˆ y ,Vˆ(rr )] [zˆpˆ z ,V( (rr )]
xˆ(ih Vˆ(rr)) yˆ(ih Vˆ(rr)) zˆ(ih Vˆ(rr))
x
y
z
ihrrˆ Vˆ(rr)
[rr prˆ , prˆ 2 ]
[ xpˆ x
,
pˆ
2Biblioteka Baidux
]
[
ypˆ y
r·p的平均值随时间的变化为
ihdrrˆprˆ [rrˆprˆ,Hˆ] 1 [rrˆprˆ,prˆ2][rrˆprˆ,Vˆ(rr)]
dt
2m
ih
prˆ2
rrˆVˆ
m
对定态有 d rrˆ prˆ 0 dt
则
1 prˆ 2 rrˆ Vˆ
m
2Tˆ rrˆVˆ
证明： [rrˆ prˆ,Vˆ(rr)]
ψ ψ ψ ψ H ˆF ˆE F ˆH ˆE F ˆEE E F ˆE
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
FˆψE FψE
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 ψ1ψ2 ψ2ψ1
则 1 /12 /2
两边同时积分得 ψ1 Cψ2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
守恒的条件？
d dt
Aˆ (t )
t
,
Aˆ
,
Aˆ
t
, Aˆ t
Hˆ ih
, Aˆ
,
Aˆ
H ih
,
Aˆ t
Note
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t
1 , Hˆ Aˆ ih
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,
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[
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例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
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在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 a k (t ) 2 则该概率随时间的变化为
d dt
ak (t) 2
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复
共
轭
项
(t) t
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复
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项
Hˆ (t ) ih
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复
共
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项
1 ih
例题1 判断下列说法的正误
(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）
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思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
rrˆ prˆ 1(rrˆ prˆprˆrrˆ) 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
P ˆn (x )n ( x ) ( 1 )nn (x )
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H ˆp rˆ2/2mV ˆ(rr)
(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态
(1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
(2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
H ˆE, F ˆF
又因为 [G, H]=0, 则
H ˆG ˆψG ˆH ˆψG ˆE ψE G ˆψ
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
]
Aˆ t
若力学量不显含时间，即
Aˆ 0
t
则 d Aˆ(t) 1[Aˆ,Hˆ]
dt
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若 [Aˆ, Hˆ ] 0
d Aˆ (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
H ˆkE kk,A ˆkA kk
体系的任意量子态可表示为
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
1. 经典物理中的守恒量
守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为 A ˆ(t)(t),A ˆ(t)
(
(t),
Hˆ
k
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,
(t))
复
共
轭
项
Ek ih
( (t ), k ) 2 复 共 轭 项
0
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。
[xˆpˆ x ,Vˆ(rr )] [ yˆpˆ y ,Vˆ(rr )] [zˆpˆ z ,V( (rr )]
xˆ(ih Vˆ(rr)) yˆ(ih Vˆ(rr)) zˆ(ih Vˆ(rr))
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[rr prˆ , prˆ 2 ]
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r·p的平均值随时间的变化为
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对定态有 d rrˆ prˆ 0 dt
则
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证明： [rrˆ prˆ,Vˆ(rr)]
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即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
FˆψE FψE
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 ψ1ψ2 ψ2ψ1
则 1 /12 /2
两边同时积分得 ψ1 Cψ2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
守恒的条件？
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例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即