矩阵求逆及其在北斗双星定位系统上的应用_曾德贵

摘要：矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论，它是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，矩阵求逆运算在线性预测，误差控制码，图像处理及3D运算中很常见。

计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。

为了提高运算速度，增强其性能，选择一种好的算法显得尤为重要。

本文简单介绍了几种矩阵求逆方法，其中详细介绍了全选主元Gauss-Jordan快速求逆算法，进行了算法分析，并编程实现了用此种方法对矩阵进行求逆运算。

在此基础之上介绍了矩阵求逆在北斗双星定位系统上的应用。

基于双星导航定位系统存在的缺点介绍了利用3颗卫星的导航定位系统，它可以消除双星导航定位系统存在的两大缺点—用户位置易暴露和系统用户数量容易饱和。

因此，为我国发展卫星导航定位系统提供了一种新思路。

关键词：逆矩阵；Gauss-Jordan算法；北斗双星定位系统
1.引言
1.1课题背景
矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。

其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的求法自然也就成为我们要研究的主要内容之一。

在各种工程技术领域的数据处理中，存在着大量的矩阵求逆问题，此类问题现已均采用计算机求解，这就要求求逆的数学模型应满足：公式表达简单，计算规律性强，利于编程计算，所需占用的计算机内存空间少，有利于在有限的计算机内存下求解超大型矩阵的逆阵。

1.2本课题的研究方法
矩阵求逆的方法有：伴随矩阵法、初等变换法、待定系数法、迭代法、分块求逆法、分解矩阵求逆法等，其中迭代法、分块求逆法、分解矩阵求逆法只对某些具有特殊性质的矩阵有效，对消谐模型雅柯比矩阵并不有效;伴随矩阵法的运算量非常大，该方法常用于2级矩阵中，不适合消谐模型的求解;待定系数法是利用解线性方程组求逆，其方法和初等变换有类同之处。

考虑到硬件实现和并行计算的有效性，采用Gauss-Jordan消去的初等变换法具有运算量较小，易于并行运算的特点，这种方法的最大优点是计算结果精度高。

1.3本课题的研究意义
逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，矩阵求逆运算在线性预测，误差控制码，图像处理及3D运算中很常见，同时，在各种工程技术领域的数据处理中，也存在着大量的矩阵求逆问题，双星导航定位系统（RDSS）就是其中一个具有代表性的例子。

北斗定位系统主要由空间部分、地面中心
处理站和用户终端设备三部分组成。

地面中心处理站是北斗导航系统的中枢，其主要功能是完成用户定位数据的处理工作和通讯数据的交换工作。

空间部分，由
2颗部署在赤道上空的地球同步卫星组成，只实现地面中心处理站与用户之间的双向无线电信号中继服务功能。

用户终端，主要完成对地面中心处理站发出的询问信号做出自动响应，并自动发送应答信号；在应答信号中置入与其它用户终端或用户管理机构进行交换的通讯信息；对地面中心处理站收到用户终端应答信号后发出的携带本用户终端位置数据和通讯信息进行接收和显示，所以该系统的定位功能是通过通信来完成的。

它采用目前应用较为广泛的扩频技术，完成用户终端与中心处理站间的通信。

本文对该系统的改进算法进行了详细介绍，即利用现有的2颗北斗地球同步卫星、1颗备份卫星的星历信息以及测量获得的时差信息，推导出实现无源定位的数学模型，从而解决目前北斗定位体制下，存在用户数量受限、用户机需发射信号、定位数据更新率慢等缺点。

其中就用到了矩阵求逆运算。

2.矩阵求逆算法在北斗双星定位系统上的应用
2.1我国北斗双星定位系统的现状介绍
双星导航定位系统（RDSS）是由我国科学家
于20世纪80年代提出的利用两颗相对于地球静
止的卫星来实现区域性导航定位方案，至
2000年最后一颗卫星发射成功，双星导航定位系统开始在我国投入试运行。

双星导航定位系统实际上是由位于赤道平面的两颗地球同步卫星东星、西星（外加一颗备份星中星）、地面中心站、用户几部分组成的，用户定位时可以由用户接收机向中心站发出请求，中心站对其进行定位解算后将位置信息广播出去由用户获取。

同为卫星定位系统，我国的双星定位系统和美国的全球定位系统（GPS）不同，GPS是无源的，收到信号即可定位，用户数量不受限制，而RDSS是有源（应答式）的，需要和中心站建立联系才能定位，因此存在着用户位置易暴露和系统用户数量容易饱和两大缺点。

为了解决上述缺点，特别是从军事应用的角度出发，无
源接受机的研制已成为发展我国全天候、高精度、快速实时特点的区域性导航定位系统的必然趋势。

假设双星定位系统能够测量用户至卫星的伪距，且卫星的输出信息类似于GPS，包括伪距、卫星星历和时间。

接受机测得的用户至2颗卫星的伪距可表示为
（1）其中代表用户在地球坐标系中的三维坐
标，代表第颗同步卫星在地球坐标系中的三维坐标，为光速，为接收机的时间误差。

利用用户自带的
气压高度测量装置来测量用户的海拔高度以构造第3个观测方程，地球表面高度值不是很大时，用户的三维坐标近似满足以下方程
（2）
其中，在WGS-84世界大地坐标系(Wor1d Geodetic System)模型 中，地球赤道半
=6378137m ，地球的椭圆
，为用户的海拔高度，由气压高度表测
得。

显然，在双星定位模式中包括2个伪距量和一个高度表测量值，而方程中含有4个未知数，本身无法计算用户的精确位置，基于这种情况提出了一种系统改进模式，即假设RDSS 系统中的备份星也投入工作，3颗地球同步卫星同时向用户发送导航电文，用户接受机可以接收并处理来自3颗卫星的导航电文，则利用3颗地球同步卫星与高度表可实现全天候、高精度、快速实时特点的区域性无源定位系统。

2.2
系统的改进算法
与美国的GPS 卫星导航系统类似，三星无源定位原理的实质就是伪距的测量。

用户根据北斗系统的卫星所发射的星历数据可以计算出在观测时刻卫在ECEF 坐标系中的位
，通过
测量信号从卫星发射的时刻与到达用户的时差来测量用户到卫星的距，从而可以利用两点间的
距
离
公
式
得
到
：
这
为用户在地心地固坐标系中的位置,
是未知的，对3颗卫星进行观测得到3个方程，可求出用户的三维位置。

但是，由于用户的时钟与北斗系统时钟相比存在一定的误差，使卫星到用户的距离方程变为：
其中 是用户与卫星之间的真实距离，从而定位的问题转化为求解方程：
中未知数 的问题。

利用地球椭球面得到第四个方程：
于是可以得到北斗卫星定位的方程组：
假设以方程式组(6)中的第二个方程为主星方程，第一、三个方程为从星方程，将方程1减去方程2、方程2减去方程3，从而得到新的线性方程组为：
(7)
其为主星与第一颗从星间的时差与光
速的乘积，
为主星与第二颗从星间的时差与光速的
乘积，则方程组
(7)可以写成如下的矩阵形式：
(3)
其中 是北斗各卫星的
位置，是 已知的；
为地球椭球体的长短轴，为用
户高度，也是已知的；
是用户的坐标是未知的，求解上面的方
程组便可以得到用户的位置 。

方程组的线性化 设未知点的估计值，因此未知量可
表示为：
对于方程组(3)的前3项，设
当接收机跟踪锁定卫星信号时，将伪距展成泰勒级数时，有：
(4)
对于方程组(3)的第4项，设
展成泰勒级数，有
(5)
对于式(4)和式(5)，忽略2阶小项，从而得到线性方程组：
(6)
式中，为新接收到的高程信息，为上一次估算出的高程数据，即
近似取代。

于是可以得到方程的最小二乘解
当载体不与3颗卫星中的任意2颗卫星共线，可保
存在，可得
，则可求得用户的位置
为： 2.3
分析与展望
本文基于双星导航定位系统存在的缺点介绍了利用3颗卫星的导航定位系统，并对定位算法进行了推导。

其中在求解矩阵方程
时，需要求系数矩的逆矩。

这就从一
定程度上反映了矩阵求逆在工程应用中的广泛性和重要性。

地球同步卫星向用户发射的无线电信号是具有一定频率的载波信号，利用现有的无线电和计算机技术，很容易使用户接收机具备码的捕获、码的锁定和测距。

电文解调和定位计算功能，因此文中所提的利用3颗卫星的导航定位系统是很容易实现的，它可以消除文中开始提到的双星导航定位系统存在的两大缺点。

因此，为我国发展卫星导航定位系统提供了一种新思路。

结论
本文介绍了我国的双星导航定位系统，基于双星导航定位系统存在的用户数量受限、用户机需发射信号、定位数据更新率慢等缺点，介绍了利用3颗卫星的导航定位系统，即利用现有的2颗北斗地球同步卫星、1颗备份卫星的星历信息以及测量获得的时差信息，推导出实现无源定位的数学模型，其中就用到了矩阵求逆的运算。

这也从
一定程度上表明了矩阵求逆在工程应用中的广泛性和重要性。

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