数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3

0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A B
由(8)得到 B 0 , 有特解: 0 ( ) A 2. 0: (7)的通解
( ) A exp( ) B exp( )
(常数)
不能满足周期性边界条件(8)
R0 ( ) c0 d 0 ln Rn ( ) cn n d n n (for n 0) (for n 1, 2, 3,)
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
一个半径为 0 的薄圆盘， 上下两面绝热，

0

圆周边缘温度分布为 f ( ) ， 求达到稳恒 状态时圆盘内的温度分布 u ( , ) 。
定解问题: 由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关
u 2u 2u 2 即 0 , 应满足二维拉普拉斯方 程 u u 2 0 2 t x y
一般解:
a0 n u ( , ) an cos n bn sin n 2 n1
a0 an 1
2
f ( ) A cos

A cos d 0
0 2
bn
1
2 n 0

A cos sin n d 0
0
1
0n
A cos cosn d
u ( , ) R0 ( ) 0 ( ) n an cos n bn sin n
n 1
0
0
a0 n an cos n bn sin n 2 n1
其中
a0 R0 ( ) 0 ( ) c0 A 2
分离变量:
设方程（1）有径向和角向分离的解：
u( , ) R( )( )
（ 3）
代入方程（1）得到：
2 R R
R

分离变量： 2 R R R 0（径向方程） （4） （角向方程） （5） 0
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
§2.3
圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题
深圳大学电子科学与技术学院
(常数)
不能满足周期性边界条件(8)
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题：
3. 0 : (7)的通解
0
(7)
( 2 ) ( ) (8)
( ) A cos B sin
要让它以 2 为周期，必须取
n (n 0, 1, 2,)
1

1
f ( ) cosn d
0
2 n 0

f ( ) sin n d
0wenku.baidu.com
圆域内的二维 Laplace 方程的定解 问题已求解
深圳大学电子科学与技术学院
例题1: 求解定解问题
一个半径为0的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为 已知函数Acos，求达到恒稳状态时圆盘上的温度 分布。 这是一个圆域上的二维拉普拉斯方程的边值 问题（求圆盘上任意点(, )的温度）。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题: 1. 0：(7)的通解
0
( ) A B
(7)
( 2 ) ( ) (8)
由(8)得到 B 0 , 有特解: 0 ( ) A 2. 0: (7)的通解
( ) A exp( ) B exp( )
深圳大学电子科学与技术学院
求解径向定解问题:
R0 ( ) c0 d 0 ln Rn ( ) cn n d n n
2 R R n 2 R 0 (10)
R(0)
(for n 0) (for n 1, 2, 3,)
(11)
2
, 0 , 0 2
, 0 2

u ( 0 , ) f ( )
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
代入径向方程和角向方程
深圳大学电子科学与技术学院
变成常微分方程的定解问题
深圳大学电子科学与技术学院
由边界条件确定系数：
a0 n u ( 0 , ) 0 an cosn bn sin n f ( ) 2 n1
它是函数f()的傅立叶级数展开，而展开系数为：
a0 an bn 1
2

f ( ) d
0 2 n 0
u ( , ) u ( , 2 )
这个条件称为“周期性边界条件” 2. 物理上，圆内各点的温度应该是有界的， 特别是圆盘中心的温度应该是有限的：
u(0, )
这个条件称为“自然边界条件”
深圳大学电子科学与技术学院
同时，考虑到自变量变化的特点，有
0 , 0
( n 0, 1, 2, 3,)
边界条件： u f ( )
0
un ( 0 , ) an cosn bn sin n
n 0
不能表征任 意函数 f ( )
深圳大学电子科学与技术学院
一般解:
为了表征任意边界条件（2）, 需要利用叠加原理写 出一般解(它是对于 0 和 0 所有本征解的组合)
据此，写成极坐标形式为
u ( , ) f ( ) , 0 2 0
2
1 u 1 2u u ( ) 2 0, 2
0 ,
0 2
（１）
泛定方程
（２）
边界条件——边缘温度
深圳大学电子科学与技术学院
即： ( ) A cos n B sin n 事实上：( 2 ) A cosn( 2 ) B sin n( 2 )
A cos(n 2n ) B sin(n 2n ) A cosn B sin n ( )
(9)
( 1)
1
( 0 2 )
( 2)
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量:
设方程（1）有径向和角向分离的解：
u( , ) R( )( )
（ 3）
代入方程（1）得到：
2 R R
R

分离变量： 2 R R R 0（径向方程） （4） （角向方程） （5） 0
u ( , ) R0 ( ) 0 ( ) n an cos n bn sin n
n 1
深圳大学电子科学与技术学院
本征解:
un ( , ) Rn ( ) n ( )
n
an cos n bn sin n
( n 0, 1, 2, 3,)
深圳大学电子科学与技术学院
一般解:
为了表征任意边界条件（2）, 需要利用叠加原理写 出一般解(它是对于 0 和 0 所有本征解的组合)
0
When n 1, a1
1
2
When n 1, an 0 (三角函数正交性 )
0
A cos d
2 0
A
0
2 cos xdx 补充：
x 1 sin 2 x C 2 4
结果：
u ( , ) a1 cos A
cos 0
深圳大学电子科学与技术学院
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
例题2: 求解定解问题
2u 2u 2 2 2 0 ( x y 1) 2 x y u
x 2 y 2 1
x y
1 0 2
坐 标 变 换
1 u
u 1 2u 2 2 0 cos sin
Rn ( ) cn n ( n 1, 2, 3,)
可以合并为 Rn ( ) cn n ( n 0, 1, 2,)
深圳大学电子科学与技术学院
本征解 un ( , ) Rn ( ) n ( )
n an cos n bn sin n
深圳大学电子科学与技术学院
常微分方程的定解问题:
2 R R R 0
R(0)
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
0
A cos
1 u 1 2u 2 2 0 0 0 2
(1) (2)

0
u A cos
0
( 0 2 )
深圳大学电子科学与技术学院
即有

和
0 , 2

中心点的温度有限（有界） 坐标系中指同一点温度不变
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。
1 u 1 2u u ( ) 0 2 2
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题：
3. 0 : (7)的通解
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A cos B sin
要让它以2为周期，必须取
n (n 0, 1, 2,)
即： ( ) A cos n B sin n 事实上：( 2 ) A cosn( 2 ) B sin n( 2 )
(10)为欧拉方程，其通解为
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
Rn ( ) cn n ( n 1, 2, 3,)
可以合并为 Rn ( ) cn n ( n 0, 1, 2,)
A cos(n 2n ) B sin(n 2n ) A cosn B sin n ( )
(9 )
深圳大学电子科学与技术学院
求解径向定解问题：
2 R R n 2 R 0 (10)
R(0)
(11)
(10)为欧拉方程，其通解为