数列新定义专题

课题：基于数列的新定义相关题型

数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要

扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他

新知识点。

基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。

1、数列与函数相结合

1) 与二次函数相结合

例：在直角坐标平面上有一点列P i(a i,b i),P2(a2,b2)p(a3,b3), n(g n,b n), •…对每一个自然数n,点P n(a n,b n)在函数y=£的图象上，且点P n(a n,b n),点A(n,0),点B(n+1,0),构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

(1 )求对每一个自然数n,以点P n纵坐标构成的数列b n的通项公式；

1 r

(2)令；,「+ 求二「一的值。

2) 与指数函数相结合

例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3), .. n(a n,b n),…对每一个自然数n,点P n(a n,b n)在函数y= - ： 1〈卫＜ 10)的图象上，且点P n(a n,b n),点(n,0)与点(n+1,0) 构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

(1 ) 求点P n(a n, b n)的纵坐标b n的表达式；

(2)若对每一个自然数n,以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a的范围；

(3)设B n=b1b2b3……bn € N+),若a是⑵中确定的范围内的最小整数时，求{B n}的最

大项是第几项？

3) 数列与对数函数相结合

例：已知函数:.L. . . ' : ___ :

(1) n=1,2,3,…时，把已知函数的图像和直线

y=1的交点横坐标依次记为①砂和，••…,

a n,…… 求证：a i+a2+a3+ .......... ■+<1;

(2)对于每一个n值，设A n,B n为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任

意一个正整数时，以A n E h为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切

点坐标。

4) 数列与分段函数相结合

例：设函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当n w y w n+1(n=0,1,2, •时;•该图像是斜率为b n的线段(其中正常数b^)。设数列｛x n｝由f(x n)=n(n=1,2,3, •定义)

(1 ) 求X1, X2和x n的表达式；

(2) 求f(x)的表达式，并写出定义域。

5) 数列与反函数相结合

例：已知函数f(x)= , : , (x >2的反函数为ynf^x)，若数列｛a n｝的前n项之和为

S n(n€ N+)。对所有大于1的自然数n都有S n=f-1(S-1)，且a1=2，求数列｛a n｝的通项公式。

2、数列与三角相结合

把三角函数融入到数列当中， 使得数列变得复杂和陌生， 但由于三角函数的周期性， 也使得 数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点， 只有 这样才能将所遇困难有效化解 •

n cos —，其前n 项和为S n ，则S 2016等于多少?

2

是多少?

2 2

n

例：数列

｛a

n ｝

的通项公式

a

n n （cos

-3

-S3--，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .

n 4

3、其他新定义题型

这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点， 预设相关前提条件， 再引出问题，该类题型 重

点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。

例：数列｛a n ｝的通项公式a n

例：S n .2

sin — sin -

7 7

sin 牛（n N ），则在3 , S ,…，弘中，正数的个数

n

sin -T ）

，其前n 项和为S n .

(i)求 S n ； (n)令 b n

例：有限数列A （a 「a 2, a .） , S n 为其前n 项和，定义——主为A 的“凯森和”， n 如有500项的数列（a 1，a 2，

£500

）的“凯森和”为2004，则有501项的数列

（2

, a

1, a 2 ,

, a

500 ）

的“凯森^和'为 ________________ .

例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那 么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列a n 是等和数列，且 a 1 2，公和为5,那么a 18的值为 _________________________ ，这个数 歹y 的前21项禾廿S 21为 __________ .

例:在数列a n 中，对任意n N 都有—k （ k 为常数），则称数列 a n 为“等 a n 1 a n

差比数列” •下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0 ；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为

a n a

b n

c （ a 0 , b 0,1）的数列一

定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数项为

0,其中正确的是 __________________ .

例：定义：若数列 a n 对任意的正整数n ，都有a n a n 1 d （ d 是常数），则称a n 为 “绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列”

a n 中，a i 2，“绝对公和”

例：若数列 a n 满足

a n 1 a n

d

（ n N ,d 为常数），则称数列a n 为调和数列。已

知数列—为调和数列，且x 1 x 2

X n

X 20

200

，则 X 5

X 16

例：定义:

n F 2

,F n 的“均倒数”。若数列a n 的前n 项

的"均倒数”为 冇，则数列a n 的通项公式为