第22讲. 不变子空间,特征值和特征向量

3
定义 设 , L(V), : V V , ; : V V , 定义 和 的复合映射为
: V V , .
定理 线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积. 推论1 (1) 线性变换乘法一般不满足交换律. (2) 非零线性变换的乘积可以是零变换. (3) 线性变换的乘法一般不满足消去律.
1 , , n 是 V 的一组基, 所以 AX = X.
设 来自百度文库 在 1 , , n 下的坐标为 X, 则
定义 设 A 是 n 阶方阵, 若存在数 及非零向量 X, 使得 AX = X, (1) 则称 是 A 的特征值, X 是 A 的属于特征值 的特征向量.
15
4
二、线性变换的值域、核 定义 设 是 V 的线性变换, V 中向量在 的作用下全体 象的集合称为 的值域, 记为 Im = V = {|V}. 定理 Im 是 V 的子空间. dim Im 称为线性变换 的秩. 设ε1, ε2,…, εn是线性空间V的一组基，A 是 在这组基下的矩阵 (1) Im=L(ε1 ,…, εn), (2) dimIm =r(A) 定义 设 是 V 的线性变换,所有被 映成零向量的向量的集合 称为 的核, 记为 ker. 定理 ker 是 V 的子空间。 dim Im + dim ker = dim V
7
定义 设 W 是 的不变子空间, 则 1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为 1 W . 定理 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1 , , k 为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1 , , k , k 1 , , n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
9
习题课8. 设是n维线性空间V的线性变换，且 n-1 ≠ 0, n = 0, 试证 (1) 在某组基α1,α2,… ,αn 下的矩阵是
0 1 0 1 . 1 0
证明要点： (1) n-1 ≠ 0, 存在V中的非零元 α, 使得n-1 α ≠ 0 设 k1α + k2 α +…+ kn-1n-2 α + knn-1 α = 0，依次以 n-1 ,…,作用于( k1α + …+ knn-1 α ) ，可得 k1 = 0 ,…, kn= 0 ， 可知 α , α ,…, n-1 α 线性无关，即为 所求α1,α2,… ,αn
(1)
记 (, , n) = (1, 2,, n)), A = (aij)nn, 则(1)式可表示为(, , n) = (, , n)A. n 阶矩阵 A 叫做线性变换 在基 , , n 下的矩阵. 其 中 A 的第 j 列就是基向量 j 的象 (j) 在这组基下的坐标.
5
dim ker 称为 的零度.
注1 是单射 ker = {0} dimker = 0 dimIm = dimV Im =V 是满射 是双射. 注2 因为 dim V dim ker dim Im dim(Im ker ) dim(Im ker )
第22讲 线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量 一、线性变换的概念和基本性质
定义 设 : VV 是线性空间 V 到自身的一个映射(变换), 如果 保持加法及数乘运算, 即对任意 , V, 对任意常 数 k, 都有
(+) = ()+(), (k) = k(), 则称 是线性空间 V 的一个线性变换, 称 () 为向量 在线性变换 下的象.
14
设 L(V ), 1 , , n 是 V 的一组基, A 是 在这组基 下的矩阵, 即 ( 1 , , n ) ( 1 , , n ) A, 设 是 的特征值, 是 的属于特征值 的特征向量, 则 = , ( 1 , , n ) AX ( 1 , , n ) X ( 1 , , n ) X ( 1 , , n ) X ,
12
特征向量的性质: 1. 设 是 属于特征值 的特征向量, 即 = , 又设 kF, 则 (k) = k = k = k, 若 k 0, 则 k 是 属于特征值 的特征向量. 2. 设 1, 2 是 属于特征值 的特征向量, 即 1 = 1, 2 = 2, 则 (1+2) = 1+2 = 1+2 = (1+2), 若 1+2 0, 则它为 属于特征值 的特征向量. 由这两条性质, 属于特征值 的特征向量的任意非 零线性组合仍是属于 的特征向量, 加上零向量就构成 V 的一个子空间. 定义 设 L(V), 是 的一个特征值, 则称 V = {V| = } 为 的属于特征值 的特征子空间, 其维数称为特征值 的几何重数. 13
10
习题. 设是n维线性空间V的线性变换，且 n-1 ≠ 0, n = 0, 证 (2) 若 V0 是 的一个不变子空间，且 a1α1+a2α2+… +akαk V0 ， 1 ≤ k ≤ n, ak ≠ 0，则 α1,α2,… ,αk V0 。 (3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),… ,L(α 1,α2 ,… ,αn-1),V 是V中全部 的 不变子空间。 证明要点： (2) 由于V0 是 的一个不变子空间， (αk)= αk-1、 可得 (a1α1+a2α2+… +akαk )=a2α1+a2α2+… +akαk-1 V0 (a2α1+a2α2+… +ak-1αk)=a3α1+a2α2+… +akαk-2 V0 … 即 α1 V0 ，上述过程逐步逆推，可得 α1,α2,… ,αk V0 (3) n-1 值域的秩是1，使得 n-1 α ≠ 0 的α 只差一个倍数， 令 α 1= α，任一 的不变子空间均为L(α 1,α2 ,… ,αk), 的形式。 11
V Im ker dim(Im ker ) dim V dim(Im ker ) 0 Im ker {0} V ker I m
例 在Fn[X] 上定义微分运算如下： f ( X ) Fn [ X ], f ( X ) f ( X ), ker F , dim(Im ker ) n 1. Im Fn1[ X ], dim Im dim ker n,
2
定理 设线性变换 在基 1, 2,, n下的矩阵是 A, 即 () = (1, 2,, n)A, 设向量 , () 在这组基下的坐标分别是 X = (x1, x2,, xn)T , Y = (y1, y2,, yn)T, 则 Y = AX. 定理 设 1, 2,, n 是 n 维线性空间 V 的一组基, 对任意 给定的 n 个向量 1, 2,, n, 都存在线性变换 , 使得 i = i (i = 1, 2,, n. 定理 设 1, 2,, n, 是 n 维线性空间 V 的一组基, A = (aij) 是 任一 n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换 满足 (1, 2,, n) = (1, 2,, n)A 推论 L(V) 是双射 对应的矩阵可逆.
例 设 W 是 的一维不变子空间, 则
0 W , W , F ,
使得 , 所以 是 属于 的特征向量. 反之设 是 属于 的特征向量, 设 L(), 则存在 kF, 使得 = k, 故 () = k() = kL(), 所以 L() 为 不变子空间. 属于特征值 的特征子空间是若干个一维不变子空间的 直和.
A1 A2 1 , , k , k 1 , , n 下的矩阵为 A 0 A . 3 (2) 当(1)成立时, 有 W 在 1 , , k 下的矩阵为 A1, 且 A2 = 0 L( k 1 , , n ) 也是 不变子空间.
推论 设 是 V 上的线性变换, 则 V 可以分解为若干 不变 子空间的直和 为 在 V 的某组基下的矩阵为准对角阵.
8
习题课8. 设是n维线性空间V的线性变换，且 n-1 ≠ 0, n = 0, 试证 (1) 在某组基α1,α2,… ,αn 下的矩阵是
0 1 0 1 . 1 0
(2) 若 V0 是 的一个不变子空间，且 a1α1+a2α2+… +akαk V0 ， 1 ≤ k ≤ n, ak ≠ 0，则 α1,α2,… ,αk V0 。 (3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),… ,L(α 1,α2 ,… ,αn-1),V是(V中全部) 的 不变子空间。
1 2 例 求 A 的所有特征值和特征向量. 1 4 解 设 A 的特征值是 , 属于特征值 的特征向量 X,
( 1) x1 2 x 2 0 x1 1 2 x1 亦即 AX X 即 1 4 x 2 x1 ( 4) x2 0 x2 这是两个未知数两个方程的齐次线性方程组, 按定义, 特征 向量是非零向量, 于是要求有非零解. 由书上第43页推论可
我们用 L(V) 来表示线性空间 V 的全部线性变换所作成 的集合.
1
定理 设 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换, , , n 是 V 的一组基, 则 V 中任一向量 的象 由基的象 1, 2,, n) 所完全确定.
(1 ) a111 a21 2 an1 n ( ) a a a 2 12 1 22 2 n2 n ( n ) a1n1 a2 n 2 ann n
三、线性变换的特征值与特征向量 定义 设 L(V), 若存在数 及非零向量 , 使得 = ,
(1)
则称 是 的特征值, 是 的属于特征值 的特征向量. 例如 V 中任意非零向量均为 L(V)中的数乘变换的特征向量. 平面上的镜面反射的特征值为1和-1, 对称轴上的非零向量均 为镜面反射属于特征值1的特征向量,而与对称轴垂直的所有 非零向量均为镜面反射属于特征值-1的特征向量. 平面上的 旋转变换只有旋转角度为2k或(2k+1)时(此时,旋转变换为 乘1或-1的数乘变换) 有实特征值和实特征向量.
6
幂等变换： 2= 例 设 n 维线性空间 V 的线性变换 是幂等变换，则 在 V 的某组基下的矩阵为
Ir
. 0
定义 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W 中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间. {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.