序压缩映射的随机不动点定理

第15卷第3期2013年9月

应用泛函分析学报

A C TA A N A I j Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A

V bl．15．N o．3

Sep．，2013

D O I：10．3724／S P．J．1160．2013．00280

文章编号：1009-1327(2013)03-0280-05

序压缩映射的随机不动点定理

刘春晗-，王建国，孙建凯。

1．齐鲁师范学院数学系，济南250013

2．齐鲁师范学院图书馆，济南250013

摘要：在B anach空间中利用一个随机M ann迭代序列组，讨论了随机映射的随机不动点的存在性问

题，得出了几个随机不动点定理，改进了相关文献中的相应结果．

关键词：随机M ann迭代序列组；随机不动点；B anach空间

中图分类号：0211．5

1引言及预备知识

文献标志码：A

近年来，许多学者研究了随机映射的随机不动点定理问题．例如文献[I-2]，D uan和Li l l】利用随机M ann迭代序列给出了压缩型随机增映射存在随机不动点定理．本文中，我们构造一个随机M a nn 迭代序列组来研究序B anach空间中随机映射的不动点存在性问题，得到了相应的不动点定理，推广了文献【1—2]的相关结果．

设E是可分的实B anach空间，(E，B)是一个可测空间，其中B表示由E中所有开集产生的B or el子集之盯一代数，又设(Q，阢肛)是一个完全的概率测度空间，p表示概率测度，p(Q)=1．设P 为E中的锥，如果存在常数Ⅳ，使得对任意的8≤z≤Y，有l l z l l≤N l l可l l，则称P为正规锥【31，称Ⅳ为正规常数．定义半序“≤”如下：若Y—z∈P，则z≤Y或Y≥z，其中P=．[z∈E，z≥口)．设T：Q×E_E，则称T是可测的，如果对任意D∈B，有T-1(D)∈U；称T是随机映射，如果对固定z∈E，映射T(．，X)：Q—E是可测的；设?：Q×E×E—E，则称T是可测的，如果对任意D∈B，有Tq(D)∈c厂；称T是随机映射，如果对固定z，Y∈E，映射T(，z，Y)：Q_E是可测的；称映射∈：Q_E是随机映射T的随机不动点，如果对任意u∈Q，有T(u，∈∽)，∈∽))=∈@)；称T是连续随机映射，如果对任意∽∈Q，映射T(u，，)：Q×E×E_E是连续的．定义1【4】对u，V∈E，若有让≤u和钞≤U之一成立，则称乱和幻是可比较的；若u和"是可比较的，若V≤札，记u V u=钍；若U≤V，记乱V V=V．

定义2【1】设D为E的非空凸子集，设T：Q X D—D是随机映射，称序列{n。)为随机M ann 迭代序列，如果{n。)满足：对任意u∈Q，有

an+l(u)=cm an(u)+(1一c n)T(w，a n(u))(1)其中ao：Q_÷D是任意一个可测映射，c。满足0≤c。<1，％≤％+1并且0≤l i m cn=c<1．特别地，当％=0时，称序列a。(u))为随机Pi car d迭代序列．

定义3设D为E的非空凸子集，设T：Q×D×D—D是随机映射，称序列a。∞))l{bn∞))．收稿日期：2013-03-20

资助项目：国家自然科学基金(10971179)；山东省高等学校科技计划项目(J09LA55)

作者简介：刘春晗(1981一)，男，汉，山东武城人，讲师，硕士，研究向：非线性泛函分析及其应用，Em ai l：chh—l i ul981@ 163．com ．

第3期刘春晗，等：序压缩映射的随机不动点定理281

为随机M ann迭代序列组，如果{口。p))p。∞))满足，对任意∽∈Q，有

J o。+1(u)=Cna。(u)+(1一c。)T(u，an(u)，bn(u))，，o、

l6。+1(∽)=c。6。(u)+(1一c。)T(u，6。(u)，an(u))、。7其中oo，bo：Q_D是任意两个可测映射，％满足0≤％<1，％≤％+1并且0≤l i r a‰=C<1．特别地，当％=o时，称序列．【o。∞)){6。@))为随机Pi car d迭代序列组．

引理1{4】1)若u和钉是可比较的，则u—u和u—u也是可比较的，且有0≤(U—V)V(u—u)．

2)若u与"，仳与叫，V和伽是可比较的，则

(乱一u)V(V—u)≤(u—W)V(叫一u)+@一们)V(叫一口)．

3)若对所有n，u与"。是可比较的，且有"。_vo(n_∞)，则有u与"110是可比较的．

4)若对所有n，tl。与％是可比较的，且有u。一'11"0，"。_vo(n_00)，则有"11,0与"00是可比较的．

引理2【5]1)若乱与口是可比较的，则au与a'o是可比较的，且当a≥0时，(au)V(口")=o(uV u)；当a≤0时，(ou)V(av)=o(u A u)．

2)若u与口是可比较的，则

(u—u)V(u—u)≤u V(一u)+"V(-v)．

2主要结果

定理1设T：Q×E X E_E是一个连续随机映射且满足如下条件：

1)存在有界线性算子L1：E—E，且谱半径r(L1)<1使得对任意u，"∈E及u∈Q，若u和u是可比较的，则T(u，u，,／3)和T(u，u，u)是可比较的，并且

(T(u，u，")一T(u，"，u))V(T(u，"，t‘)一T(u，札，t，))≤Li((u—u)V@一让))(3)

2)存在有界线性算子L2：E_E，且L1L2=L2L1，使得对任意札，u∈E及u∈Q，若u和"11是可比较的，则T(u，u，u)和u是可比较的，并且

(T(u，u，"11)一u)V(t正一T(u，t正，u))≤L2((u一口)V@一u))(4)

3)存在非空凸子集C c D={z∈E：对所有u∈Q，Y∈E，z与T(u，z，Ⅳ)是可比较的)，使得对一切u∈Q有T(u，a C)c C．

4)对任意的u∈Q，存在zo∞)，yo(w)∈C，有xo(w)和yo(w)是可比较的．

则T在E中存在随机不动点专∞)，且由(2)式定义的随机M ann迭代序列组收敛于T的随机不动点∈∽)，并有

||∈(u)一X n(u)l I≤U(1一C o)r(L2)了!二丽I I xo(w)一yo(w)0．

工U

以及

N n

l|∈(u)一yn(w)I I≤U(1一co)r(L2)丁=巧l I xo(w)一yo(w)0．

J U

如果T的所有随机不动点都是可比较的，则T的不动点是唯一的．

证明对任意的u∈Q，由于zo∞)，yo(w)∈C C D，则xo(w)与T(u，z00)，珈∞))可比较的，珈与T@，珈@)，zo∞))可比较的，而由假设1)和4)知，T∞，zo∞)，珈∞))与T∽，珈@)，zo∞))是可比较的，再由2)可得T(u，zo∞)，珈∞))与T(u，T(u，zo∞)，可o∞))，T(u，珈0)，zo∞)))也是可比较的，因此利用3)可得T(u，z00)，可o∞))∈C．又因C为凸集，故

xl(w)=coxo(w)+(1一co)T(u，zo(u)，可o(u))∈C，ya(w)=coyo(w)+(1一co)T(u，3『0(u)，zo(u))∈C