3李雅普诺夫稳定性与正实函数
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xe
满足
（1） xe 0 在 t 0 0时刻为李雅普诺夫意义下稳定；
Hale Waihona Puke Baidu
（2）存在 ( , t0 ) > 0 ， 使满足
x0 xe „ ( , t0 )
的初始状态 x0 出发的所有解 (t,
x0 , t0 )
均有
3
t ¥
lim (t , x0 , t 0 ) xe 0
性。
1892年，李雅普诺夫（A. M. Lyapunov）提出了运动稳定性的一般理论，
1
即稳定性分析的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足
够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值
在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二方法引入具有广义能 量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应
导的标量函数 V ( x, t ) ，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对 x 0 状态有
（1）V ( x, t ) 正定； （2）dV / dt 非正定；
5.3 李雅普诺夫稳定性与正实函数
针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的问题，有人
提出基于李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统，如 Butchart (1965）、Parks (1966）。所以有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理，以作
为后续学习内容的准备知识。
5.3.1 李雅普诺夫稳定性理论概要
则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。假若 ( ) > 0
与 t 0 无关，则称
其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 几何意义： xe 的 领域内出发的运动轨线 (t, 如图5-5所示。
x0 , t0 )
最终均趋于平衡状态
xe
x0 xe xe x0
x0 xe
图5-4
6
状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1）V ( x, t )是正定的； （2）dV / dt 是负定的， 则系统的原点平衡状态 xe 0 是渐近稳定的。除了以上条件外，如果
x ? V ( x, t ) ?
亦满足，则 xe 0 是全局渐近稳定的。 定理5-3-3 对式（5-30）描述的系统，若可构造一个对时间具有连续一阶偏
x 为状态向量。
如果系统某一状态对所有时刻均满足
f ( xe , t ) 0
则称状态 xe 为式（5-30）所示系统的平衡状态。
2
定义5-3-1 如果对任意一个实数 > 0 ，均对应存在另一依赖于 和 t 0 的实
数 ( , t0 ) > 0 ，使满足以下不等式
x0 xe „ ( , t0 )
图5-5
图5-6
定义5-3-3 式（5.30）表示的系统的平衡状态 xe 对于任一位于状态空间的初
始状态 x0 ，若满足
4
xe 0为李雅普诺夫意义下稳定； （ 1）
(t, x0 , t 0 ) xe 0 （2） lim t
则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下全局（或大范围）渐近稳定。
响应运动稳定性可分为基于输入/输出描述的外部稳定性和基于状态空间描 述的内部稳定性。外部稳定性是一种零初始条件下的有界输入 / 有界输出
（Bounded-input, Bounded-output）稳定性。内部稳定性是零输入条件下自治
系统状态运动的稳定性，它等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。外部稳定 性与内部稳定性之间有十分紧密的联系，一般说来，内部稳定性决定外部稳定
的任一初始状态 x0 出发的所有解 (t , x0 , t0 ) 都满足
(t , x0 , t 0 ) xe 剠 , t
t0
则称式（5-30）表示的系统的平衡状态 xe 0 在时刻 t 0 为李雅普诺夫意义下的稳 定。如果 > 0 与 t 0 无关，则称为李雅普诺夫意义下一致稳定。 几何意义：初始状态 x0 不越出平衡状态 xe 的邻域，相应解 (t, x0 , t0 ) 不 越出平衡状态 xe 的 邻域，那么 xe 是稳定的，如图5-4所示。 定义5-3-2 若式（5-30）所示系统的平衡状态
则称式（5-30）表示的平衡状态 xe 0 在时刻 t 0 为不稳定。其几何意义如图5-6
所示。
实质上，李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的，李雅普 诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定。
有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后，余下的问题是如何判定一个系统在
5
平衡点的稳定性。李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量
t) 0
V ( x , t )，且
；
dV / d t „ 0 ；
则系统的原点平衡状态 xe 0 在李雅普诺夫意义下是稳定的。除了以上条件外， 如果
x ? V ( x, t ) ?
亦满足，则 xe 0 是全局稳定的。
定理5-3-2 对式（5-30）所示的系统，若可构造一个标量函数 V ( x, t ) ，且对
结论。它在1960年前后被引入控制理论界，并很快成为研究系统稳定性的主要工
具，本节介绍李雅普诺夫第二方法。 设自治系统状态方程
x f ( x, t ), x(t0 ) x0 , t [t , )
的解为：
x (t , x0 , t0 )
(5-30)
式中，
x0为系统初始条件，t 0 为初始时刻，
定义5-3-4 如果不论取实数 > 0 为多大，均不存在一个实数 ( , t0 ) > 0 ，
使得满足不等式
x0 xe „ ( , t0 )
的任意初始状态 x0 出发的解 (t, x0 , t0 ) 满足不等式：
(t , x0 , t 0 ) xe 剠 , t
t0
的特性来研究系统稳定性，即系统运动总是随能量变化的，如果系统能量变化始
终为负，运动中单调减小，那么系统受扰运动最后回到平衡状态。下面不加证明 地给出系统稳定性判定定理。
定理5-3-1 对式（5-30）所表示的系统，若可构造一个标量函数
对状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1）V ( x , t )是正定的，即 V ( x, （2）dV / d t是非正定的，即
满足
（1） xe 0 在 t 0 0时刻为李雅普诺夫意义下稳定；
Hale Waihona Puke Baidu
（2）存在 ( , t0 ) > 0 ， 使满足
x0 xe „ ( , t0 )
的初始状态 x0 出发的所有解 (t,
x0 , t0 )
均有
3
t ¥
lim (t , x0 , t 0 ) xe 0
性。
1892年，李雅普诺夫（A. M. Lyapunov）提出了运动稳定性的一般理论，
1
即稳定性分析的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足
够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值
在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二方法引入具有广义能 量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应
导的标量函数 V ( x, t ) ，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对 x 0 状态有
（1）V ( x, t ) 正定； （2）dV / dt 非正定；
5.3 李雅普诺夫稳定性与正实函数
针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的问题，有人
提出基于李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统，如 Butchart (1965）、Parks (1966）。所以有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理，以作
为后续学习内容的准备知识。
5.3.1 李雅普诺夫稳定性理论概要
则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。假若 ( ) > 0
与 t 0 无关，则称
其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 几何意义： xe 的 领域内出发的运动轨线 (t, 如图5-5所示。
x0 , t0 )
最终均趋于平衡状态
xe
x0 xe xe x0
x0 xe
图5-4
6
状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1）V ( x, t )是正定的； （2）dV / dt 是负定的， 则系统的原点平衡状态 xe 0 是渐近稳定的。除了以上条件外，如果
x ? V ( x, t ) ?
亦满足，则 xe 0 是全局渐近稳定的。 定理5-3-3 对式（5-30）描述的系统，若可构造一个对时间具有连续一阶偏
x 为状态向量。
如果系统某一状态对所有时刻均满足
f ( xe , t ) 0
则称状态 xe 为式（5-30）所示系统的平衡状态。
2
定义5-3-1 如果对任意一个实数 > 0 ，均对应存在另一依赖于 和 t 0 的实
数 ( , t0 ) > 0 ，使满足以下不等式
x0 xe „ ( , t0 )
图5-5
图5-6
定义5-3-3 式（5.30）表示的系统的平衡状态 xe 对于任一位于状态空间的初
始状态 x0 ，若满足
4
xe 0为李雅普诺夫意义下稳定； （ 1）
(t, x0 , t 0 ) xe 0 （2） lim t
则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下全局（或大范围）渐近稳定。
响应运动稳定性可分为基于输入/输出描述的外部稳定性和基于状态空间描 述的内部稳定性。外部稳定性是一种零初始条件下的有界输入 / 有界输出
（Bounded-input, Bounded-output）稳定性。内部稳定性是零输入条件下自治
系统状态运动的稳定性，它等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。外部稳定 性与内部稳定性之间有十分紧密的联系，一般说来，内部稳定性决定外部稳定
的任一初始状态 x0 出发的所有解 (t , x0 , t0 ) 都满足
(t , x0 , t 0 ) xe 剠 , t
t0
则称式（5-30）表示的系统的平衡状态 xe 0 在时刻 t 0 为李雅普诺夫意义下的稳 定。如果 > 0 与 t 0 无关，则称为李雅普诺夫意义下一致稳定。 几何意义：初始状态 x0 不越出平衡状态 xe 的邻域，相应解 (t, x0 , t0 ) 不 越出平衡状态 xe 的 邻域，那么 xe 是稳定的，如图5-4所示。 定义5-3-2 若式（5-30）所示系统的平衡状态
则称式（5-30）表示的平衡状态 xe 0 在时刻 t 0 为不稳定。其几何意义如图5-6
所示。
实质上，李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的，李雅普 诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定。
有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后，余下的问题是如何判定一个系统在
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平衡点的稳定性。李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量
t) 0
V ( x , t )，且
；
dV / d t „ 0 ；
则系统的原点平衡状态 xe 0 在李雅普诺夫意义下是稳定的。除了以上条件外， 如果
x ? V ( x, t ) ?
亦满足，则 xe 0 是全局稳定的。
定理5-3-2 对式（5-30）所示的系统，若可构造一个标量函数 V ( x, t ) ，且对
结论。它在1960年前后被引入控制理论界，并很快成为研究系统稳定性的主要工
具，本节介绍李雅普诺夫第二方法。 设自治系统状态方程
x f ( x, t ), x(t0 ) x0 , t [t , )
的解为：
x (t , x0 , t0 )
(5-30)
式中，
x0为系统初始条件，t 0 为初始时刻，
定义5-3-4 如果不论取实数 > 0 为多大，均不存在一个实数 ( , t0 ) > 0 ，
使得满足不等式
x0 xe „ ( , t0 )
的任意初始状态 x0 出发的解 (t, x0 , t0 ) 满足不等式：
(t , x0 , t 0 ) xe 剠 , t
t0
的特性来研究系统稳定性，即系统运动总是随能量变化的，如果系统能量变化始
终为负，运动中单调减小，那么系统受扰运动最后回到平衡状态。下面不加证明 地给出系统稳定性判定定理。
定理5-3-1 对式（5-30）所表示的系统，若可构造一个标量函数
对状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1）V ( x , t )是正定的，即 V ( x, （2）dV / d t是非正定的，即