圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程
一、授课课题：§椭圆
二、教学目标三维目标：
1、知识与技能：理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
2、过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生
观察问题、发现问题和解决问题的能力;
3、情感、态度与价值观:通过运用椭圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热
情和兴趣;
三、教学重点:椭圆的标准方程
四、教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求椭圆的标准方程;
五、教学方法：尝试,探究
六、教学手段教学用具：课件
七、课时安排:一课时
八、学情分析：
iii 例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫
- ⎪⎝
⎭,求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．
另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>,因点53,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在椭圆上,
则22
2225
91104464a a b
b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩
． 例2 如图,在圆2
2
4x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足．当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M
的轨迹是什么
分析：点P 在圆2
2
4x y +=上运动,由点P 移动引起点M 的运动,则称点M 是点P 的伴随点,因点M 为线段PD 的中点,则点M 的坐标可由点P 来表示,从而能求点M 的轨迹方程．
引申：设定点()6,2A ,P 是椭圆22
1259
x y +=上动点,求线段AP 中点M 的轨迹方程． 解法剖析：①代入法求伴随轨迹设(),M x y ,()11,P x y ；②点与伴随点的关系∵M 为
线段AP 的中点,∴11
2622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③代入已知轨迹求出伴随轨迹,∵22
111259x y +=,∴点M 的轨迹方程为
()
()
2
2
311
25
9
4
x y --+
=；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0．直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为4
9
-
,求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ,则直线AM ,BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示,由于直线AM ,BM 的斜率之积是
4
9
-
,因此,可以求出,x y 之间的关系式,即得到点M 的轨迹方程．
解法剖析：设点(),M x y ,则()55AM y k x x =≠-+,()55
BM y k x x =≠-； 代入点M 的集合有
4
559
y y x x ⨯=-+-,化简即可得点M 的轨迹方程． 引申：如图,设△ABC 的两个顶点(),0A a -,(),0B a ,顶点C 在移动,且
AC BC k k k ⨯=,且0k <,试求动点C 的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值
在变化时,线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
三.随堂练习
第45页1、2、3、4、
四.课堂小结
1．椭圆的定义,应注意什么问题
2．求椭圆的标准方程,应注意什么问题
五.板书设计： 六.布置作业 七.教学反思手写
一、授课课题：§椭圆的几何性质 二、教学目标三维目标： 1、知识与技能：
1通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;
2能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; 3培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备
2、过程与方法: 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力
3、情感、态度与价值观: 培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩
证唯物主义思想教育．
三、教学重点: 椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 四、教学难点: 椭圆离心率的概念的理解. 五、教学方法：尝试,探究
六、教学手段教学用具：课件 七、课时安排:一课时 八、学情分析：
教学过程
二次 备课
一.课题导入
复习：
1.椭圆的定义,椭圆的焦点坐标,焦距.
2.椭圆的标准方程.
二.讲授新课
一通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力. 在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,我们现在利用焦点在x 轴
上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.
已知椭圆的标准方程为：)0(122
22>>=+b a b
y a x
1.范围
我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围,就是研究椭圆在哪个区域里,只要讨论方程中x,y
的范围就知道了.
问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么
由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标x,y 都适合不等式
22
a x ≤1, 22b
y ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 |x|≤a, |y|≤b
即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b
这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里;
2.对称性
复习关于x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标之间的关系： 点x,y 关于x 轴对称的点的坐标为x,－y ； 点x,y 关于y 轴对称的点的坐标为－x, y ； 点x,y 关于原点对称的点的坐标为－x,－y ；
问题2 在椭圆的标准方程中①以－y 代y ②以－x 代x ③同时以－x 代x 、以－y 代y,你有什么发现
（1） 在曲线的方程里,如果以－y 代y 方程不变,那么当点Px,y
在曲线上时,它关于x 的轴对称点P ’x,－y 也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称;
（2） 如果以－x 代x 方程方程不变,那么说明曲线的对称性怎样
呢曲线关于y 轴对称;
（3） 如果同时以－x 代x 、以－y 代y,方程不变,这时曲线又关
于什么对称呢曲线关于原点对称;
归纳提问：从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性
椭圆关于x 轴,y 轴和原点都是对称的; 这时,椭圆的对称轴是什么坐标轴
椭圆的对称中心是什么原点
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心;
3.顶点
研究曲线的上的某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置;要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x 轴,y 轴的交点坐标. 问题3 怎样求曲线与x 轴、y 轴的交点
在椭圆的标准方程里,
令x=0,得y=±b;这说明了B 10,－b,B 20,b 是椭圆与y 轴的两个交点;
令y=0,得x=±a;这说明了A 1－a,0,A 2a,0是椭圆与x 轴的两个交点;
因为x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点;
线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴;
它们的长|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长
观察图形,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即 |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|= a
在R t △OB 2F 2中,由勾股定理有
|OF 2|2=|B 2F 2|2－|OB 2|2 ,即c 2＝a 2－b 2 这就是在前面一节里,我们令a 2－c 2＝b 2的几何意义;
4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝
a
c
,叫做椭圆的离心率; 因为a>c>0,所以0<e<1.
问题4 观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的
调用几何画板,演示离心率变化分越接近1和越接近0两种情况讨论对椭圆形状的影响 得出结论：1e 越接近1时,则c 越接近a,从而b 越小,因此椭圆越扁；
2e 越接近0时,则c 越接近0,从而b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆; 当且仅当a ＝b 时,c ＝0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆; 当e ＝1时,图形变成了一条线段;为什么留给学生课后思考
5.例题
例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
根据刚刚学过的椭圆的几何性质知,椭圆长轴长2a,短轴长2b,该方程中的a ＝b ＝c ＝因为题目给出的椭圆方程不是标准方程,所以必须先把它转化为标准方程,再讨论它的几何性质
解：把已知方程化为标准方程14
522
22=+y x , 这里a ＝5,b ＝4,所以c ＝1625-＝3
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a ＝10,2b ＝8
离心率e ＝
a c ＝5
3 两个焦点分别是F 1－3,0,F 23,0,
四个顶点分别是A 1－5,0 A 15,0 A 10,－4 F 10,4. 提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢我们可以根据椭圆的对称性,先画出第一象限内的图形;
将已知方程变形为 2255
4
x y -±
=,根据 在0≤x ≤5的范围内算出几个点的坐标x,y
x
1
2
3
4
5
y 4 0
先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆如图
说明：本题在画图时,利用了椭圆的对称性;利用图形的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性; 根据椭圆的几何性质,用下面的方法可以快捷地画出反
映椭圆基本形状和大小的草图：
(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆;
画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: 1经过点-3,0、0,-2;
2长轴的长等于20,离心率等于
例 3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4
l x =
的距离之比是常数4
5,求点
M 的轨迹.
教师分析——示范书写
三.随堂练习
填空：已知椭圆的方程是9x 2+25y 2=225,
(1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___.
(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.
椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e ＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. ①比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁
⑴2
2
936x y +=与
2211612x y += ⑵22
936x y +=与221610
x y +=学生口答,并说明原因
②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点()()
22,0,0,5P Q -
⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点()3,0P ⑶焦距是8,离心率等于0.8
四.课堂小结
1理解椭圆的简单几何性质,给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; 2了解离心率变化对椭圆形状的影响;
3通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.
五.板书设计： 六.布置作业
课本习题 的6、7、8题
七.教学反思手写
一、授课课题：§ 双曲线及标准方程 二、教学目标三维目标：
1、知识与技能：使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.
2、过程与方法:使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力
3、情感、态度与价值观:通过对定义与方程的探索、评价,优化学生的思维品质,培养学生运动变化、辨证统一的思想.
三、教学重点:双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.
四、教学难点:定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立
五、教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法
六、教学手段教学用具：三角板、课件
七、课时安排:一课时
八、学情分析：
二、教学目标三维目标：
1、知识与技能：
1、了解双曲线的简单的几何性质
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题2、过程与方法:
1、能从双曲线的标准方程出发,推导双曲线的几何性质；
2、能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；
3、培养学生运用数形结合的思想,用联想、类比、归纳的方法,提高解决问题的能力
3、情感、态度与价值观:
通过自主探究、讨论交流,培养学生良好的学习情感,激发学习数学的兴趣
三、教学重点:双曲线的简单几何性质的探究．
四、教学难点:双曲线的简单几何性质的探究．
五、教学方法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标;
六、教学手段教学用具：投影仪
七、课时安排:一课时
八、学情分析：
二、教学目标三维目标：
1、知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法
2、过程与方法:在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力;
3、情感、态度与价值观:
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想．
三、教学重点:抛物线的定义和抛物线的标准方程
四、教学难点:1抛物线标准方程的推导；
2利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题;
五、教学方法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括;
六、教学手段教学用具：投影仪
七、课时安排:一课时 八、学情分析： 教学过程
二次 备课
一.课题导入
1. 椭圆的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a 122F F a <的点的轨迹.
2．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a 122F F a >的点的轨迹.
3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹,当0＜e ＜1时是 椭圆 ,当e>1 时是双曲线．那么,当e ＝1时它是什么曲线呢 二.讲授新课
抛物线的定义：平面内与一个 定点 和一条 定直线l 的距离相等的点的轨迹;点F 叫做抛物线的 焦点 ,直线l 叫做抛物线的 准线 ．
如图,建立直角坐标系xOy,使x 轴经过点F 且垂直于直线l ,垂足为K,并使原点与线段KF 的中点重合．
设(0)KF p p =>,则焦点F 的坐标为
2p ,0,准线的方程为2p x =-． 设点Mx,y 是抛物线上任意一点,点M 到l 的距离为d ．
由抛物线的定义,抛物线就是点的集合
{}
P M MF d ==． ∵MF =
222p x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；d=2p x +． ∴2222p p x y x ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭＝． 化简得：22(0)y px p =>．
注：22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x 轴的 正半轴,坐标
是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，,准线方程是2p x =-． 探究：
抛物线的标准方程有哪些不同的形式请探究之后填写下表;
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
1过点-3,2； 2焦点在直线x-2y-4=0;
分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p 即可,注意标准方程的形式;
例2 已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程; 1y 2=6x ； 2y=ax 2.
分析：先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程;
例3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,抛物线上的点M-3,m 到焦点的距离等于5,求抛
物线的方程和m的值;
分析：解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的
距离等于5,列出关于m 、p的方程组,解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义,得点M
到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值;
三.随堂练习
1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；
2已知抛物线的焦点坐标是F0,－2,求它的标准方程．
四.课堂小结
1. 抛物线的定义,掌握抛物线标准方程,p的几何意义
2. 掌握标准方程的形式与图形的对应关系
五.板书设计：
六.布置作业
P58 练习A、B
七.教学反思手写
一、授课课题：§抛物线的几何性质
二、教学目标三维目标：
1、知识与技能：使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示; 通过数轴与数,平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐标系的必要性
2、过程与方法：
1能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记
2能根据抛物线的几何性质,确定抛物线的方程并解决简单问题;
3、情感、态度与价值观:使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力;
三、教学重点:抛物线的范围、对称性、顶点和准线;
四、教学难点:定义性质在解题中的灵活运用;
五、教学方法：启发引导式
六、教学手段教学用具：投影仪
七、课时安排:一课时
八、学情分析：
教学过程二次
备课一.课题导入
复习抛物线的定义和标准方程
二.讲授新课
探究一：
1.范围
当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.但应让学生注意与
双曲线一支的区别,无渐近线.
2.对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛
物线定义可知,e=1.
说明：1通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
2抛物线的几何性质的特点：有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;
探究二：
课本68页例3
M ,求它的标准方程,已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,22)
并用描点法画出图形．
探究三：
例3．若抛物线的通径长为7,顶点在坐标原点,且关于坐标轴对称,求抛物线的方程．
三.随堂练习
课本P72练习第1,2题
四.课堂小结
师生互动,共同归纳抛物线的几何性质
五.板书设计：
六.布置作业
七.教学反思手写。