最新初一数学竞赛系列讲座7

初一数学竞赛系列讲座(7)

有关恒等式的证明

一、知识要点

恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。

二、例题精讲

例1 求证：a1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+…+(1-a1)(1-a2)…(1-a

n-1)a n

=1-(1-a1)(1-a2)…(1-a n-1)(1-a n)

分析：要证等式成立，只要证明1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -…

- (1-a1)(1-a2)…(1-a n-1)a n

=(1-a1)(1-a2)…(1-a n-1)(1-a n)

证明：1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -…- (1-a1)(1-a2)…(1-a

n-1)a n

=(1-a1)[ 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 -…-

(1-a2)(1-a3)…(1-a n-1)a n]

=(1-a1) (1-a2)[ 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 -…-

(1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ]

=(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…-

(1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]

=……

=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )

∴ 原等式成立

例2 证明恒等式

()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++

(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)

证明

评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法

()()()

()()()1132232112132221111

3232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++

例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a

分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形

比较困难。可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。在

1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将

1++b bc b

的分母中的“1”换成abc 得

ca c abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。

证明：∵abc=1 ∴111++++++++c ca c b bc b a ab a

=c ac abc ac +++1+++++c ca c abc b bc b

=1++c ca ca +ca c ++111+++c ca c

=11++++c ca c

ca =1

于是命题得证。

评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。

例4 已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd

分析：将bc=ad 化成比例式d c b a =，然后利用比例的性质来解题。

证明：∵bc=ad ∴

d c d c d d c b b a d d c b b a d c b a =-=-+=+∴=，，，

将此三式左、右两边分别相乘得

()()()()b d a

d c d c d b c b a b a 22-+=-+

∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd

评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。

例5 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.证明：1111=+++++c c b b a a

分析：所证明的式子中不含x 、y 、z ，因而可以将已知条件中的三个

等式中的x 、y 、z 看成常数，把三个式子联合起来组成一个

关于a 、b 、c 的方程，然后求出a 、b 、c 。

再代入等式的左边证明。

证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)

(1) by ax z ax cz y cz by x

(2)+(3)-(1)

得y+z-x=2ax ，所以x z y x a x x z y a 21 2++=+-+=则

所以 z y x x z y a a ++-+=+1

同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1

所以 1111=++++=+++++z y x z y x c c b b a a

评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用。