经济数学教案(高职)

第一讲 第一章：函数 4学时
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。

教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

教学过程： 一、集合 1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。

1)},,,{321 a a a A = 2)
}{P x x A 的性质=
元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +
元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。

全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。

空集φ： A ⊂φ。

2、 集合的运算
并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：
}|{\B x A x x B A ∉∈=且补集（余集）C A ：I ＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律：A B B A ⋃=⋃ A B B A ⋂=⋂
结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂
分配律： )()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂
对偶律： (c c c B A B A =⋃) c
c c B A B A ⋃=⋂)(
笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]
()[b a b a ,,。

2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。

3）邻域：
}{),(δδδ+-=a x a x a U
注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U。

二、映射 映射概念
定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作
Y X f →：
其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。

注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。

三、函数 1、 函数的概念
定义 设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为
D x x f y ∈=,)(。

注：函数相等：定义域、对应法则相等。

2、 函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。

2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。

3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+) 3、 函数与复合函数
1）反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1
，称此映射1
-f
为f
函数的反函数。

函数与反函数的图像关x y =于对称。

2）复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ⊂。

则)())((x f g x f g u ==为复合函数。

3）分段函数：分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数
f （x ）=12()
()
()
()
f x x a f x x a ≥⎧⎨
⎩
若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）= f 2（a ），则 f （x ）= f 1[
12（
]+ f 1[1
2
（
]- f 1（a ） 4、初等函数
1）幂函数：a x y = 2)指数函数：x a y = 3)对数函数：)(log x y a =
4)三角函数：
)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====
5)反三角函数：
)arcsin(x y =，)arccos(x y =
)cot()
arctan(x arc y x y ==
以上五种函数为基本初等函数。

6）双曲函数：2x
x e e shx --=
，2x x e e chx -+=，
x x x x e e e e chx shx thx --+-== 注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式：
shy shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy chx chy shx y x sh shy
chx chy shx y x sh ⋅-⋅=-⋅+⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+)()()()(
7）反双曲函数：
arthx y archx y arshx y ===
例1 已知分段函数
22,10,()1,0,2,0 1.x x f x x x x -≤<⎧⎪
==⎨⎪+<≤⎩
1）求其定义域并作图；2）求函数值11
22(),(0),().f f f -
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u ，u=1+x 2, y=arctanu 2, u=tanv, v=a 2+x 2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x 2,（0
≤x 〈+∞）， 2
21,01,
2(2),1 2.x x y x x -<≤⎧=⎨--<≤⎩
作业：见课后各章节练习。

第二讲 第一章：函数 4学时
教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。

教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。

教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。

教学过程： 一、复合函数 注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。

例如：arcsin y u = 22u x =+；因前者定义域为[-1，1]，后者2
22u x =+≥，故这两个函数不能复合成复合函数。

（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。

例1 设()sin y f u u == 2
()1u x x ϕ==+ 求[()]f x ϕ
解 [()]f x ϕ=2
sin sin(1)u x =+
例2 将下列函数分解成基本初等函数的复合
（1）y = （2） 2
arctan x y e =
解 （1）所给函数是由 y =
ln u v = 2v w = sin w x = 四个函数复合而成的
（2）所给函数是由 u
y e = arctan u v = 2
v x = 三个函数复合而成的。

二、常用经济函数
1、单利与复利
单利计算公式 设初始本金为P （元），银行年利率为r ，则
第一年末本利和为 1(1)s p rp p r =+=+； 第二年末本利和为2(1)(12)s p r rp p r =++=+；。

第n 年末本利和为(1)n s p nr =+。

复利计算公式 设初始本金为P （元），银行年利率为r ，则 第一年末本利和为 1(1)s p rp p r =+=+；
第二年末本利和为 2
2(1)(1)(1)s p r rp r p r =+++=+；。

第n 年末本利和为 (1)n
n s p r =+
2、多次付息 单利付息情形
因每次的利息不记入本金，故若一年分n 次付息，每次利息为
r n
则 第一次末本利和为 1.(1)r r s p p p n n =+=+ 第二次末本利和为 2..(1 2.)r r r
s p p p p n n n
=++=+。

第n 次末即年末的本利和为 (1.)(1)n r s p n p r n
=+=+
复利付息情形
因每次支付的利息记入本金，设初始本金为P （元），银行年利率为r ，若一年分m 次付息，
第一次末本利和为 1.(1)r r s p p p m m =+=+ 第二次末本利和为 2
1.(1).(1)r r r r s p p p p m m m m
=+++=+。

第m 次末即一年末的本利和为 (1)m
m r s p m
=+ 第m+1次末的本利和为 11(1)m m r s p m
++=+
第二年末的本利和为 2(1)(1)m m m r r s p p m m
+=+=+ 第n 年末本利和为 (1)nm n r s p m
=+
例1：现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%，问： （1）按单利计算，3年末的本利和为多少？ （2）按复利计算，3年末的本利和为多少？
（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？
解 （1）已知p=100， r=0.07 由单利计算公式得3(13)121s p r ==+=（元）
即三年末的本利和为121元。

（2）由复利计算公式得 33
3(1)100(10.07)122.5s p r ==+=⨯+≈（元）
即三年末的本利和为122.5元。

（3）若n 年后的本利和超过初始本金一倍，即要
(1)2n n s p r p ==+> (1.07)2n > ln1.07ln 2n > 从而ln 2
10.2ln1.07
n >
≈
即需11年后本利和可超过初始本金的一倍。

3、贴现
设第n 年后价值为R 元钱的现值，假设在这n 年之间复利年利率r 不变。

利用复利计算 公式有(1)n
R p r =+ 得到第n 年后价值为R 元钱的现值为(1)
n
R
p r =
+
例2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元，二年后到期的票据金额是800元，五年后到期的票据金额是2000元，已知银行的贴现率为6%，现在将三张票据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？ 解 由贴现计算公式，贴现金额为
312
25
1(1)(1)R R R p r r r =
+++++ 其中1500R = 2800R = 32000R = 0.06r =。

故 2678.21p ≈（元）
4、需求函数
需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系
()Q f p = 其中Q 表示需求量，p 表示价格。

需求函数的反函数1()p f Q -=称为价格函
数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。

需求函数是单调减少函数 需求函数的线性模型为(0,0)Q ap b a b =+<> 5、供给函数
供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系()S f p = 其中S 表示供给量，p 表示价格。

供给函数以列表方式给出时称为供给表，而供给函数的图像称为供给曲线。

供给函数是单调增加函数。

供给函数的线性模型为
(0)S cp d c =+>
6、市场均衡
对一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。

以线性需求函数和线性供给函数为例，令ap b cp d +=+ 则0d b
p p a c
-=
=- 0p 称为该商品的市场均衡价格。

00(,)p Q 为该商品的市场均衡点。

例3 某种商品的供给函数和需求函数分别为2005s Q p =- 2510d Q p =-求该商品的市场均衡价格和市场均衡量。

解、由均衡条件s d Q Q =得 25102005p p -=- 07p =从而0165Q =即市场均衡价格为7，市场均衡数量为165 7、成本函数
产品成本可分为固定成本和可变成本，一般地，以货币计值的（总）成本C 是产量x 的函数，即()(0C C x x =≥） _
()
()C x C x x
=
称为单位成本函数或平均成本函数 例4 某工厂生产某种产品，每日最多生产200单位，它的日固定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。

求该厂日总成本函数及平均成本函数。

解 据()C x C C =+固变，可得总成本()15016([0,200])C x x x =+∈ 平均成本150
()16C x x
-
=+
8、收入函数与利润函数
销售某产品的收入R,等于产品的单位价格P 乘以销售量x ，即.R p x =，称其为收入函数。

销售利润L 等于收入R 减去成本C ，即L R C =-，称其为利润函数。

当0L R C =->时，生产者盈利； 当0L R C =-<时，生产者亏损；
当0L R C =-=时，生产者赢亏平衡，使()0L x =的点0x 称为盈亏平衡点
例5某电器厂生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而定，还要请各消费单位来定价，即他们愿意以什么加个人来购买，根据调查得出需求函数为
90045000x p =-+ 该厂生产该产品的固定成本是270000元，而单位产品的变动成本为10元，为获得最大利润，出场价格应为多少？
解 以x 表示产量，C 表示成本，p 表示价格，则有()10270000C x x =+而需求函数为
90045000x p =-+ 代入()C x 中得()9000720000C p p =-+
收入函数为：2
().(90045000)90045000R p p p p p =-+=-+
利
润
函
数
为
：
22()()()900(60800)900(30)90000L p R p C p p p p =-==--+=--+
当价格p=30元时，利润90000元为最大利润，销售量为18000（单位）。

作业：p17 1 2 6
第三讲 极限的概念 2学时 教学目的与要求：理解数列极限；函数极限的概念，性质。

教学内容概述：本讲主要学习数列极限的概念；性质，函数在无穷大处的极限；函数在有限点处的极限及函数极限的性质。

教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用；函数左极限与右极限，极限性质 教学过程：
第一节、数列极限的定义与性质 一、数列 数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。

一般写成： n
a a a a a 4321
缩写为{}n u
例1 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1是这样一个数列{}n x ，其中
n x n
1
=， 5,4,3,2,1=n 也可写为：
51
4
13121
1
可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01
lim
=∞→n n 。

数列极限的N -ε定义
εε a x N
n N n -∀∃∀0，则称数列{}n x 的极限为a ，记成
a
x n n =∞
→lim 也可等价表述：
1）ερε<>∀∃>∀)(0
a x N n N n
2）)(0
εεa
O x N
n N
n ∈>∀∃>∀。

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一。

定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。

定理 3 如果
a
x n x =∞
→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，
)0(0
<>n n x x 。

例2 证明数列{}
1n n +的极限是1。

例3 作出数列
{
}1
(1)n n n
-+-图形，讨论其极限值。

作业：见课后各章节练习。

第二节：函数的极限
一、极限的定义 1、在0x 点的极限
1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)(0x f 的大小。

只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ⊂+⋃-),(),(0000ρρ。

2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值 )(x f 有一个总趋势——以某个实数A 为极限 ，则记为
：A
x f x x =→)(lim 0。

形式定义为：
εδδε<-<-<∀⋅∃⋅>∀A x f x x x )()
0(00
2、∞→x 的极限 设),()
(+∞-∞∈=x x f y ，如果当时函数值 )(x f 有一个总趋势--该曲线有一条水
平渐近线A y =--则称函数在无限远点∞有极限。

记为：A
x f x =∞→)(lim 。

3、 （1）在无穷远处的左右极限：
)
(lim )(x f f x +∞→=+∞，
)
(lim )(x f f x -∞
→=-∞
关系为：
)
(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞
→+∞
→∞
→==⇔=
（2）在有限点0x 处的左右极限：
000
(0)lim ()x x f x f x →++=， 000
(0)lim ()x x f x f x →--=
关系为 0
000
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x f x f x →→+→-==
二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、函数极限的局部保号性 4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数x
x
y =
在x 0→的极限。

例2 求下面函数极限：
lim n→∞
2
21
n
n+
，
3
3
1
11
1
lim()
x x
x++
→-
-。

作业：见课后各章节练习。

第四讲 极限的运算法则 无穷小与无穷大 2学时
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念；掌握极限的运算法则并能熟练求极限。

教学内容概述：本节主要讲授无穷小与无穷大的定义；性质，无穷小与无穷大之间的关系；极限的四则运算规则，极限的求法，复合函数的极限。

教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。

教学过程： 一、无穷小定义
定义 对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题：
εε<⋅>∀⋅∃⋅>∀n x N n N 0 则称它为无穷小量，即0lim =∞→n x x
注：1）ε∃
∀的意义；
2）
ε<n x 可写成ε<-0n x ；ερ<),0(n x ；
3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后
的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。

它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。

二、无穷大定义
一个数列{}n x ，如果成立：
G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0那么称它为无穷大量。

记成：∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为正无穷大，记成+∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n -<⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为负无穷大，记成
-∞
=∞
→n x x lim 。

（也可类似地对函数定义无穷小，无穷大的定义）
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1
x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则)(1
x f 为无穷大。

即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0≠n x 时：有
∞
=⇒=∞→∞
←n x x x 1
lim
0lim 01lim lim =⇒∞=∞→∞←n x x x
注意是在自变量的同一个变化过程中。

四、无穷小的性质
设{}n x 和{}n y 是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
)(lim 0lim 0
lim =±⇒==∞
←∞
→∞
→n n x n x n x y x y x
2）对于任意常数C ，数列{}n x c ⋅也是无穷小量： 0
)(lim 0lim =⋅⇒=∞
←∞→n x n x x c x
3）
{}n
y x
n
⋅也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

)(lim 0lim 0
lim =⋅⇒==∞
→∞
→∞
→n n x n x n x y x y x
4）
{}n
x 也是无穷小量：
lim 0lim 0
=⇔=→→n x x n x x x x
5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

五、函数极限的四则运算
1）若函数f 和g 在点0x 有极限，则
)
(lim )(lim ))()((lim 0
x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+
2）函数f 在点0x 有极限，则对任何常数a 成立
)
(lim ))((lim 0
x f a x f a x x x x →→⋅=⋅
3）若函数f 和g 在点0x 有极限，则
)
(lim )(lim ))()((lim 0
x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅
4）函数f 和g 在点0x 有极限，并且
)(lim 0≠=→βx g x x ，则
βα=
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→)(lim )(lim )()(lim 0
00x g x f x g x f x
x
x x x x
极限的四则运算成立的条件是若函数f 和 g 在点0x 有极限。

定理3 设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成，)]([x g f 在点
0x 的某去心邻域内有定义，若0)(lim 0
u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且存在00>δ，当
),(000
δx u x ∈时，有0)(u x g ≠，则
例1 下面函数在x 趋向什么时是无穷小，又当x 趋向什么时是无穷大：
sin 1cos x
x
+ 。

例2 求下面函数极限：
作业：见课后各章节练习。

A
u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
9
3lim
23
--→x x x 4
532lim
21
+--→x x x x
第五讲 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 2学时
教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限；理解无穷小的比较概念。

教学内容概述：本节借助例子给出极限存在的两个准则，利用极限存在准则证明0
lim x →[sinx/x] =1 ，解释lim n →∞
（1+1/n ）n = e 并讲明其特征，注意其“型”。

借助例题说明无穷小之间的几种关系；学习利用无穷小的等价求极限。

教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用；熟练应用等价无穷小求极限 教学过程：
定理1（夹逼定理） 三数列{}n x 、{}n y 和{}n z ，如果从某个号码起成立：
1）n n n z y x <<，并且已知{}n x 和{}n z 收敛，
2）n
x n x z a x ∞
→∞
→==lim lim ，则有结论：
a
y n x =∞
→lim
定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

Ⅰ 极限0
lim x →[sinx/x] =1
该极限的证明，关键是证不等式:sinx
如图.设单位圆⊙O 的渐开线为
AB .若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ
⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB 及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
Sinx =TH<AT<AT =（x ）=TB <TC=tanx
我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积ＯAT ＝
1
2
x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则
∑△A i OA i-1=∑
12Sin （x/n ）=1
2
n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=1
2x lim n →∞
[Sin （x/n ）/（x/n ）]
显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝1
2
x ，但令t= x / n ，则该极限为
要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。

Ⅱ 极限lim n →∞
（1+1/n ）n = e
设A n =（1+1/n ）n ，利用算术和几何不等式关系，得：
A n =（1+1/n ）（1+1/n ）……（1+1/n ）･1≦[（n （1+1/n ）+1）/（n+1）] n+1
即数列{A n }单增。

另外，设Ｂn ＝n/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得： Ｂn ＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n ] ≥[（1/2）2･1n-2]=（1/4）1/n
则 4≥ [（n+1）/ n]= （1+1/n ）n 即数列{A n }有上界。

于是，极限Ⅱ存在，并记为数e 。

例1 求下面函数极限：
x x x tan lim
0→，20cos 1lim
x x
x -→ ，x x x arcsin lim 0→
例2 证明x x x )11(lim +∞
→有界，并求 x
x x )11(lim -∞→的极限。

作业：见课后各章节练习。

第六节：无穷小的比较
定义 若βα,为无穷小，且
1
lim 0
lim 0
lim lim 0lim
=≠=≠=∞
==αβαβ
αβ
αβαβc c K
则α与β的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（α～β） 1）若βα,为等价无穷小，则)(ααβ +=。

2）若α～1
α、β～1
β且
1
1
lim
αβ存在，则：
1
1lim
lim
αβα
β=
例1 证明下面各无穷小量之间的关系：
x （x 0→+） tanx-sinx 与sinx （x 0→）。

例2 求下面函数极限：
x x x 5sin 2tan lim 0→， x x x x 3sin lim 30+→， 1cos 1)1(lim 3
120--+→x x x 。

作业：见课后各章节练习。

第六讲 第七节：函数的连续性 2学时
教学目的与要求：利用定义判断函数的连续或间断点。

理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。

了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学内容概述：讲解函数在一点的连续性，间断点的几种类型；连续函数的四则运算 反函数连续定理，复合函数的连续性定理；闭区间上连续函数的性质（最大、最小值；有界性；零点、介值定理
教学重点（难点）：函数连续性判定；利用闭区间上连续函数的性质解决问题 一、函数在一点的连续性
函数f 在点0x 连续，当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限
)0(0+x f 三者相等： )0()()0(000+==-x f x f x f
或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值 。

)
()(lim 00
x f x f x x =→
其形式定义如下：
εδδ
ε<-<-∀∃<∀)()()
(000x f x f x x x
函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b ］连续时包括端点。

注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。

二、间断点
若：)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立，就间断，分为：
1、第一类间断点
)0()0(00-≠+x f x f
即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。

2、第二类间断点0x
左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在。

例1 讨论函数在x=0处的连续性：
,0,
()1,0.x x f x x ⎧≠=⎨=⎩
例2 求下面函数的间断点，判断其类型： 1
(1),x y x =+ 1cos x y x = 。

第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 1）
)
()(lim 00
x f x f x x =→且)
()(lim 00
x g x g x x =→，
⇒{})()()()(lim 000x g x f x g x f x x ⋅+⋅=⋅+⋅→βαβα
2）
)
()(lim 00
x f x f x x =→且)
()(lim 00
x g x g x x =→，
⇒{})
()()()(lim 000
x g x f x g x f x x *=*→
3）
)
()(lim 00
x f x f x x =→且0
)()(lim 00
≠=→x g x g x x ，
⇒
)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ 二、反函数连续定理 如果函数f
D x x f y f ∈=)
(:是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函
数1
-f
：
f D y y f x ∈=-)(1
也是严格单调增加（减少）并且连续。

注：1）反函数的定义域就是原来的值域。

2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。

反函数也可表成
1
)
(1
-∈=-f D x x f
y
三、复合函数的连续性定理：
设函数f 和g 满足复合条件g ℜf
D ⊂，若函数g 在点x 0连续；00)(u x g =，又若f 函
数在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
))
(lim ())((lim 0
x g f x g f x x x x →→=
从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。

例1 求下面函数的连续区间：
lnsin y x =， y =。

例2 求下面函数极限： 2x a
x a
π→， 2x a
x a
π→ 。

第九节：闭区间上连续函数的性质
一、最大、最小值 设函数：D x x f y ∈=,
)(在上有界，现在问在值域
{}D x x f y y D ∈==),(1
中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点D x ∈0的函数值 )(00x f y =，则记
{}
)(max 0x f y D
x ∈=叫做函数在D 上的最大值。

类似地，如果
f
D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点
f
D x ∈2的函数值
)(22x f y =，则记
{}
)(min 2x f y f
D x ∈=称为函数在上的最小值 。

二、有界性
有界性定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。

三、零点、介值定理
最大值和最小值定理 如果函数 f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点ς和η，使得
[]b a x f x f f ,,)()()(∈≤≤ης 。

亦即
[]
{}
)(min )(,x f f b a x ∈=ς
[]
{}
)(max )(,x f f b a x ∈=η
若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点。

四、零点定理
零点定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且f 在区间[]b a ,的两个端点异号：
0)(*)(<b f a f 则至少有一个零点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 。

五、中值定理
中值定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

例1 证明方程x=asinx+b （a 、b >0）至少有一个正根，并且它不超过a=b 。

例2（ 全国高考题） 已知函数[]2472(),0,1x x
f x x --=∈。

1）求()f x 的单调区间和值域；
2）设a ≥1，函数[]32()32,0,1g x x a x a x =--∈，若对于任意[]10,1x ∈使得
01()()g x f x =成立，求a 的取值范围。

作业：见课后各章节练习。

（章节练习利用每次课课前解答）
第七讲 第二章导数与微分 第一节 导数的概念 4学时
一、教学目的：
1.理解导数的定义；
2.了解导数的定义的几种形式；
3.掌握可导的充要条件；
4.理解函数可导与连续的关系；
5.知道导数的物理背景和几何意义。

二、.教学重点：
1.导数的定义及几种形式；
2.导数的几何意义.
三、教学注意点
1． 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：
切线的斜率dx dy k =
；速度dt dx =υ与加速度dt
d a υ=；角速度dt d θω=与角加速度
dt d ωβ=；电流dt
dQ
i =，等等。

2． 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。

3． 注意要用函数可导的充要条件：)(0x f '存在00()()f x f x +-''⇔=来判断 分段函数在分段点处是否可导。

四、教学过程
一.导数概念的引例（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义） 1.变速度直线运动的瞬时速度
由物理学知道，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可以用s
v t
=
来计算。

当物体作变速直线运动时，上述公式只能计算某段路程的平均速度，要精确地了解物体的运动，不仅要知道它的平均速度，还要知道它在每个时刻的瞬时速度。

设一物体作变速直线运动，物体经过的路程s 是时间t 的函数，即()s f t =；当时间由
0t 变化到0t t +∆时，在这t ∆时间段内，物体走过的路程为 00()()s f t t f t ∆=+∆-
于是物体在这一段时间内的平均速度为 v = 00()()
f t t f t s t t
+∆-∆=∆∆
△S
f(t 0)
f(t 0+△t)
显然，这个平均速度是随着t ∆的变化而变化的。

一般地，当t ∆很小时，v 可看作是物体在0t 时刻速度的近似值，且t ∆越小，近似程度越好，因为t ∆取得越小，那么在这段时间△t 内物体运动的速度越是来不及有很大的变化，因而v 就越能接近物体在t 0时刻的瞬时速度。

当0t ∆→时，平均速度v 的极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度，即
000000()()()lim lim
lim
t t t f t t f t s
v t v t t
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 。

这就是说，物体运动的瞬时速度就是位移的增量s ∆和时间增量t ∆的比值在时间增量t ∆趋于零时的极限。

例如:[自由落体运动的瞬时速度]
已知作自由落体运动的物体的位移s 与其时间t 的函数关系是2
2
1)(gt t s s ==，
求该物体在0t t =时刻的瞬时速度)(0t v ．
1). （以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手； ① 令物体移动时间t 从0t 变化到t t ∆+0； ② 在t ∆这个时间段物体的位移为
202020002
1
)(21)(21)()(t g t gt t g t t g t s t t s s ∆+∆=-∆+=
-∆+=∆； ③ 物体在t ∆这个时间段内的平均速度为
t g gt t t s t t s t s v t t t ∆+=∆-∆+=∆∆=
∆+2
1
)()(000],[00. 2). （以极限为手段）然后得到瞬时速度.
① 易见t ∆愈小，t ∆时间内的平均速度v 的值就愈接近0t 时刻的速度；
② 因此，当0→∆t 时，v 的极限自然定义为物体在0t 时刻的瞬时速度，即定义
)(0t v ==→∆v t 0
lim t s
t ∆∆→∆0lim
0lim
→∆=t t
t s t t s ∆-∆+)()(000gt =. 由此可见，物体在0t 时刻的瞬时速度是函数的增量s ∆与自变量增量t ∆比值当0
→∆t
的极限. 推广到一般，可以归结为一个函数)(x f y =的增量y ∆与自变量的增量x ∆之比，当x ∆趋于零时的极限．这种类型的极限我们称其为导数． 2．平面曲线的切线斜率
在中学的平面几何中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.对一般曲线来说，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线
2x y =，在原点O 处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x 轴是该抛物线在点O 处
的切线.而如图4.1.2中所示的直线由于它跟曲线相交于两点，所以就不是曲线的切线了，这显然是不合适的.因此，需要给曲线在一点处的切线下一个普遍适用的定义。

如图，在曲线()f x 上取得与000(,)M x y 邻近的另一点
00(,)M x x y y +∆+∆，作曲线的割线0M M ，，当点M
沿着曲线向点0M 移动时，割线0M M 绕点0M 移动，当点M 逐渐接近于点0M 时（0M M →），割线0M M 的极限位置0M T 就叫做曲线()y f x =在点0M 处的切线。

设割线0M M 的倾斜角为ϕ，于是割线的斜率是 00()()
tan f x x f x y x x
ϕ+∆-∆=
=
∆∆ 设切线0M T 的倾角为α，点M 沿着曲线无限趋近于点0M ，即0x ∆→，ϕα→，得到切线0M T 的斜率为：tan k α==0000()()lim tan lim
lim
x x f x x f x y
x x
ϕα
ϕ→∆→∆→+∆-∆==∆∆ 这就是说，曲线()y f x =在点0M 处的纵坐标y 的增量y ∆与横坐标x 的增量x ∆的比值，当0x ∆→时的极限为曲线在0M 点处的切线的斜率。

上述两个问题，一个是物理问题，另一个是几何问题.它们的实际意义不同，但如果撇开两个极限的实际意义，那么不外乎是把所求的量归结为：求当自变量的改变量趋向于零时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。

二、导数的定义与几何意义
1. 函数)(x f y =在一点0x 处导数
定义 设函数)(x f y =在0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量
x ∆(00≠x ，点x x ∆+0仍在该邻域内)时；相应地函数y 取得增量
)()(00x f x x f y -∆+=∆；如果y ∆与x ∆之比
x
y
∆∆当0→∆x 时的极限 0
lim
→∆x =∆∆x y
lim
→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f '，即 =')(0x f 0
lim
→∆x =∆∆x y
lim
→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 . 也可记为 0
x x y =',
x x dx
dy
=或
)(x x dx
x df =．如果极限不存在，则称函数在点0x 处不可导。

2. 函数)(x f y =在任一点x 处导数——导函数
将0x 处导数定义中的0x 换成x ，如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点x 处的导数，记为)(x f '，即 =')(x f 0
lim
→∆x =∆∆x y 0lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()( . 显然，当 x 在某区间I 内变化时，)(x f '是x 的函数. 因此称之为导函数，也简称为导数. 导函数的记号还有y ',
dx dy 或 dx
x df )
(． 注意：函数)(x f y =在点0x 的导数）（0x f '是导函数）（x f '在点=x 0x 处的函数值．即 ='
）（0x f 0
)(x x x f ='. 例1 求函数c x f =)(（c 为常数）的导数。

解：在c x f =)(中，不论x 取何值，起其函数值总为c ，所以，对应于自变量的增量x ∆，有0≡∆y 0lim
00=∆∆⇒=∆∆⇒
→∆x
y
x
y
x ，即0)(='c 。