角平分线的判定

角平分线的判定

□自学导读

【学习目标】

1掌握角的平分线的判定定理。

2、能熟练运用角平分线的性质和判定定理解决一类问题。

【重、难点】

能区分角平分线的性质和判定两个定理，合理选用。

【读书思考】（3分钟）

阅读课本，思考 P21的思考题：

如图，要在P 区建一个加工厂，使它到 AB BC 两条公路的 距离相

等，且工厂到两路的交叉点

B 实际距离为5千米，（比 例尺为1 : 200000）则工厂应建在何处，在右图中标出位置。该 点与 B 的图上距离是 2.5cm

（利用角平分线的性质和比 例尺进行计算）

【归纳小结】（5分钟） 1、 角平分线性质：（角的平分线上的点到角的两边距离相等）

联想：我们知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到角两边距离相等的点是不是在角的平分线上 呢？ 探索：从实际的生活经验入手，让学生感性得岀结论，然后写岀已知、求证并加以证明。

2、 角平分线判定：（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

补充3、三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等吗？（先小组交流，再得岀结论）

□典题解析（3+4+6分钟）

例1、证明：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示；先构画好图形，然后写好已知、求证、证明。可由小组同学合作完成） 追问①此命题的题设和结论分别是什么 ？②如何用几何语言写出已知和求证？③④

已知：如图，PE± OA 于 E,PF 丄OB 于 F,且PE=DF 求证

例2、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ 分

/ ADC ，

AE 是/ DAB 的平分线吗？证明你的结论。 证明：连接OP

在 RT A OPE 与 RT A OPF 中,

•/ PE=PF

OP=OP

/• RT A OPE^ RT A OPF(HL)

/• / AOP 2 BOP

•••点P 在/ AOB 勺平分线上

B = Z

C = 90° E 是 BC 的中点，DE B

厂

提示：要证明AE是/ DAB勺平分线，一是利用全等证/ DAE与/ EAB相等，二是利用角平分线的判定进行证明。比较容易看岀第二种方法较简单，但还缺少一个条件，这

就需要作岀辅助线，过点E作AD的垂线

证明：过点E作EF丄AD

•/ DE平分ADC,EF/- AD,CE丄CD

/• EF=CE

•/ E是BC的中点

/• CE=BE

/• EF=BE

•/ EF 丄AD BE 丄AB

AE是/ DAB的平分线

例3、如图，已知PA=PB，Z 1 + / 2=180 °，求证：0P 平分/ AOB。

提示；此题可以采用上一题的方法角平分线的判定进行解决。这就需要过

向0A和0B作两条垂线。

证明：过点P作PC丄OA,PD£ OB

•••/ 1 + / 2=180 °

/ 2+ / 3=180

•••/ 1 = / 3

在^ APC^ BPD中

/ 1 = 2 3

(

/ PCA=2 PDB

A =PB

• △APC^A BPD

• PC=PD

•/ PC! OA,PD丄OB

• OP平分2 AOB

达标检测（20分钟）

1、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ D ）

A、三条中线的交点 B 、三条高线的交点

C三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点

2、如图，P ABC外部一点，且在2 DAE内部，若点P到BC BD CE的距

离都相等，则

关于点P的说法最佳的是（D ）

A、在2 DBC的平分线上 B 、在2 BCE的平分线上

C 在2 A的平分线上D、在2 DBC 2 BCE 2 A的三条角平分线上

3、如图，F、G是OA上两点，M N是OB上两点，且FG=MN

S A PF（=S A PMN,试冋：点P是否在2 AOB的平分线上？

证明：过点P作PE丄AO,PD丄OB

•/ S A PFG=1/2FG X PE S △PMI=1/2MN X PD

S A PFG=S\ PMN

• 1/2FG X PE=1/2MNX PD

•/ FG=MN

•PE=PD

•/ PE 丄AO,PDL OB

•点P是在2 AOB勺平分线上

4、如图，已知BE!AC于E, CF丄AB于F,

BE CF相交于点D,若BD=CD

求证：AD平分2 BAC

证明：

•/ BE! AC, CF! AB

•2 BFD=2 CED=90

在厶BDF^H A CDE中

2 BFD=2 CED

2 BDF=2 CDE

=CD

• △BDF^A CDE

• DFDE •/ BE! AC, CF! AB

/• AD 平分/ BAC 5、如图，已知 AB=AC DE=DF DEI AB 交 AB 于 E , DF 丄 AC 交 AC 于 F , 求证：BD=CD 证明：连接AD

•/ DEX AB, DF 丄 AC

DE=DF

/• AD 平分/ BAC

/•Z BAD ： / DAC

在厶ABD^H ^ ACD 中

AB =AC

Z 1=Z 2

AD =AD

△ ABD^A ACD

•/ BD =CD

【能力提升】

6、如图，在△ ABC 中，D 是BC 边的中点，DEIBC 交Z BAC 的

平分线于 E , EF X AB 交AB 于点F , EGL AC 交AC 的延 长线于点G 求证：BF=CG 证明：连接BE,CE

v AE 平分 / BAC DE L BC, EGL AC

•/ EF =EG

v 点D 是BC 的中点

BD =CD

{BD=CD

Z BDE=/ CDE

DE=DE

•/ BE =CE

在 Rt △ BEF 和 Rt △ CEG 中

BE=CE

〜EF=EG

•/ Rt △ BEH Rt △ CEG

•/ BF =EG

板书设计

角平分线的判定

•复习角平分线的性质

二. 探究证法(角平分线的判定)

三. 归纳定理

(!)文字语言表达

(2)几何语言叙述

四. 例题解析

在厶 BDE^D A CDE 中 /•△ BDE^A CDE