万能解题模型(三) 几何中与中点有关的模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直角三角形中遇到斜边上的中点时，常作斜边上的中线，有时有中点无 直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．此模型作用： ①证明线段相等或求线段长； ②构造角相等进行等量代换．
2．如图，在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC＝ 1，CE＝3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是( B ) A．2.5
9．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1， 在△ABC 中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 BE. 请根据小明的方法 思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 B ；
B. 5 3
C.2 2 D．2
3．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F 分 别是 BD，AC 的中点，AC＝6，BD＝10，则 EF 的长为(B ) A．3 B．4 C．5
D. 7
模型 3 遇等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”
当等腰三角形中底边有中点时，常作底边的中线，利用“三线合一”的性 质解决线段相等、平行问题及 角度之间的数量关系．
湖北世纪华章文化传播有限公司
数学 中考考点精炼34讲
第四单元 图形的初步认识与三角形
万能解题模型(三) 几何中与中点有关的模型
模型 1 遇边上的中点，构造三角形的中位线
在几何图形中，若已知中点或中线时，可构造三角形的中位线，利用三 角形中位线的性质定理，解决线段之 间的相等或比例关系及平行问题．
＝4，则 EH 的长为(C )
7
8
A.8
B.7
9
8
C.8
D.9
模型 5 遇边的中线求面积，构造“中线等分面积”
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 如图，AD 是△ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD ＝12S△ABC(△ABD 与△ACD 是等底同高的 两个三角形)．
7．如图，△ABC 三边上的中线 AD，BE，CF 的公共点为 G，若 S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
1．(2018·苏州)如图，在△ABC 中，延长 BC 至点 D，使得 CD＝12BC， 过 AC 中点 E 作 EF∥CD(点 F 位于点 E 右侧)，且 EF＝2CD，连接 DF. 若 AB＝8，则 DF 的长为(B ) A．3 B．4 C．2 3 D．3 2
模型 2 遇直角三角形斜边上的中点，构造斜边上的中线
4．如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB＝AD，E，F 分别是 AC， BD 的中点，EF＝2，则 AC 的长是( B ) A．3 B．4 C．5 D．6
模型 4 遇边的垂线经过边的中点，构造“线段的垂直平分线”
此模型作用：①证明线段相等或求线段长(周长)；②构造角相等进行等 量代换．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值范围是 2＜AD＜10 ；
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全
等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】 如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AE＝EF.若 EF＝3，EC＝2，则 BF＝ 5 ； 【灵活运用】 如图 3，在△ABC 中，∠A＝90°，D 为 BC 中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，试猜想线段 BE，CF，EF 三者 之间的等量关系，并证明你的结论．
证明：延长 ED 到点 G，使 DG＝ED，连接 GF，GC. ∵ED⊥DF，∴EF＝GF. ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△BDE 和△CDG 中，
ED＝GD，
∠BDE＝∠CDG， BD＝CD，
பைடு நூலகம்
∴△BDE≌△CDG(SAS)． ∴BE＝CG，∠B＝∠DCG. ∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°. ∴∠GCD＋∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°. ∴Rt△CFG 中，CF2＋GC2＝GF2， 即 BE2＋CF2＝EF2.
5．如图，在钝角△ABC 中，已知∠A 为钝角，边 AB，AC 的垂直平 分 线 分 别 交 BC 于 点 D， E. 若 BD2＋ CE2 ＝ DE2， 则 ∠A 的 度 数 为 135° ．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，直线 DE 垂直平分 AB，交 AB
于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，已知 BC＝3，AC
模型 6 遇边的中点或中线(类中线)，构造“倍长中线(类中线)”
当遇见中线或类中线(与中点有关的线段)时，可以尝试倍长中线或类中 线，构造全等三角形，证明线段间的 数量关系，该类型经常会与中位线 定理一起综合应用．
8．(2019·临沂)如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，BC＝4，D 为 AB 的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是 8 3 ．
2．如图，在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC＝ 1，CE＝3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是( B ) A．2.5
9．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1， 在△ABC 中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 BE. 请根据小明的方法 思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 B ；
B. 5 3
C.2 2 D．2
3．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F 分 别是 BD，AC 的中点，AC＝6，BD＝10，则 EF 的长为(B ) A．3 B．4 C．5
D. 7
模型 3 遇等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”
当等腰三角形中底边有中点时，常作底边的中线，利用“三线合一”的性 质解决线段相等、平行问题及 角度之间的数量关系．
湖北世纪华章文化传播有限公司
数学 中考考点精炼34讲
第四单元 图形的初步认识与三角形
万能解题模型(三) 几何中与中点有关的模型
模型 1 遇边上的中点，构造三角形的中位线
在几何图形中，若已知中点或中线时，可构造三角形的中位线，利用三 角形中位线的性质定理，解决线段之 间的相等或比例关系及平行问题．
＝4，则 EH 的长为(C )
7
8
A.8
B.7
9
8
C.8
D.9
模型 5 遇边的中线求面积，构造“中线等分面积”
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 如图，AD 是△ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD ＝12S△ABC(△ABD 与△ACD 是等底同高的 两个三角形)．
7．如图，△ABC 三边上的中线 AD，BE，CF 的公共点为 G，若 S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
1．(2018·苏州)如图，在△ABC 中，延长 BC 至点 D，使得 CD＝12BC， 过 AC 中点 E 作 EF∥CD(点 F 位于点 E 右侧)，且 EF＝2CD，连接 DF. 若 AB＝8，则 DF 的长为(B ) A．3 B．4 C．2 3 D．3 2
模型 2 遇直角三角形斜边上的中点，构造斜边上的中线
4．如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB＝AD，E，F 分别是 AC， BD 的中点，EF＝2，则 AC 的长是( B ) A．3 B．4 C．5 D．6
模型 4 遇边的垂线经过边的中点，构造“线段的垂直平分线”
此模型作用：①证明线段相等或求线段长(周长)；②构造角相等进行等 量代换．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值范围是 2＜AD＜10 ；
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全
等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】 如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AE＝EF.若 EF＝3，EC＝2，则 BF＝ 5 ； 【灵活运用】 如图 3，在△ABC 中，∠A＝90°，D 为 BC 中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，试猜想线段 BE，CF，EF 三者 之间的等量关系，并证明你的结论．
证明：延长 ED 到点 G，使 DG＝ED，连接 GF，GC. ∵ED⊥DF，∴EF＝GF. ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△BDE 和△CDG 中，
ED＝GD，
∠BDE＝∠CDG， BD＝CD，
பைடு நூலகம்
∴△BDE≌△CDG(SAS)． ∴BE＝CG，∠B＝∠DCG. ∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°. ∴∠GCD＋∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°. ∴Rt△CFG 中，CF2＋GC2＝GF2， 即 BE2＋CF2＝EF2.
5．如图，在钝角△ABC 中，已知∠A 为钝角，边 AB，AC 的垂直平 分 线 分 别 交 BC 于 点 D， E. 若 BD2＋ CE2 ＝ DE2， 则 ∠A 的 度 数 为 135° ．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，直线 DE 垂直平分 AB，交 AB
于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，已知 BC＝3，AC
模型 6 遇边的中点或中线(类中线)，构造“倍长中线(类中线)”
当遇见中线或类中线(与中点有关的线段)时，可以尝试倍长中线或类中 线，构造全等三角形，证明线段间的 数量关系，该类型经常会与中位线 定理一起综合应用．
8．(2019·临沂)如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，BC＝4，D 为 AB 的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是 8 3 ．