初中数学图形运动专题(函数类)

专题——图形运动（函数类）

【课标要求】

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，

变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

【知识要点】

动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。本节主要说明与函数类结合有关的运动问题。

【典型例题】

【例1】如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括

点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．

（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．

【例2】

11．(8分)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值

范围；

（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．

【课堂检测】

4=AB ，6=BC ，当直角三角板

1． 如图，在矩形ABCD 中，

MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终过点A ，设直角三角板的另

一直角边PN 与CD 相交于点Q ，x BP =，y CQ =，那么y 与x 之间的函数图象大致是

2.如图1正方形ABCD 的边长为2，动点P 从C 出发，在正方形的边上沿着C B A →→的方向运动（点P 与A 不重合）。设P 的运动路程为x ，则下列图像中宝石△ADP 的面积y 关于x 的函数关系

3．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位？

4．如图2－5－15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t 秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．

⑴设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式；

⑵当t为何值时，AB⊥GH；

⑶请你证明△GFH的面积为定值．

5．如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图2－5－17是点P出发x秒后△APD 的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图2－5－18是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．

⑴参照图2－5－17，求a、b及图中c的值；

⑵求d的值；

⑶设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．

⑷当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．

【课后作业】

1．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm ，OB=6cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动：点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（06t ≤≤），那么：

（1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

（2）当△POQ 的面积最大时，△ POQ 沿直线PQ 翻折

后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上， （3）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？

2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

3．(本题8分)如图①，梯形ABCD 中，∠C=90°．动点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线 BA —AD —DC 运动到点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运动时的速度

都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时，△EBF 的面积为y cm 2

．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)梯形上底的长AD=_____cm ，梯形ABCD 的面积_____cm 2

；

(2)当点E 在BA 、DC 上运动时，分别求出y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (3)当t 为何值时，△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1：2.

4． 如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(12，0)，点B 坐标为(6，8)，点C 为OB 的中点，点D 从点O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．

(1)点C 坐标是( ， )，当点D 运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△OCD 的面积S,并指出t 为何值时，S 最大；

(3)点E 在线段AB 上以同样速度由点A 向点B 运动，如题28(b)图，若点E 与点D 同时出发，问在运动5秒钟内，以点D ，A ，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以点A ．

O

A B

C D E R P

H Q