正项级数收敛性判别法的比较及其应用论文
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本科毕业论文
题目正项级数收敛性判别法的比较及其应用学生姓名__宋婕
学号120050901008
系别数学系
年级2005 级
专业数学与应用数学
指导教师_ _赵利彬
职称教授
完成日期2009年2月15日
正项级数收敛性判别法的比较及其应用
宋婕
摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较
Positive series convergence criterion of comparison and its
application
Song Jie
Abstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier.
Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare
一、引言
数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识
（一）正项级数收敛的充要条件
部分和数列有界，即存在某正数M，对，有 （二）几种不同的判别法 1.比较判别法 设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有， 那么 （1）若级数n ∑收敛，则级数n 也收敛； （2）若级数 n 发散，则级数 n 也发散； 即n 和同时收敛或同时发散；。 比较判别法的极限形式 ： 设和 n 是两个正项级数。若li u ，则 （1）当0<时， n 与 n 同时收敛或同时发散； （2）当l =且级数 n 收敛时， n 也收敛； （3）当且n 发散时， n 也发散。 2. 比式判别法 比式判别法的极限形式： 若 n 为正项级数，则 3. 根式判别法 根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且，则 （1）当 时，级数 收敛； （2）当l >时，级数n 发散。 4. 积分判别法 设()f x 为[1,上非负递减函数，那么正项级数∑ 与反常积分 ⎰同时收敛或同时发散。 5. 拉贝判别法 设 n 是正项级数，且存在自然数 N 及常数r ， 拉贝判别法的极限形式： （1）当r >时，级数 n 收敛； （2）当时，级数发散。 （3）当时，拉贝判别法无法判断 6. 阿贝尔判别法 若数列，，且 为单调有界数列，级数 收敛，则级数 收 敛。 7. 狄利克雷判别法 若数列 ， ，且数列 单调递减， ，又级数 的部分和数 列有界，则级数收敛。 8. 伯尔特昂（Bertrand ）判别法 设 n 是正项级数，且 ，若 ，则 （1）当B>1时，级数n 收敛； （2）当B<1时，级数发散。 9. 对数判别法