第五章练习题及参考解答(第四版)

第五章练习题参考解答

5.1 设消费函数为

i i i i u X X Y +++=33221βββ

式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差

项，并且2

22)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2σ为常数）。试回答以下问题：

(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；

(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。 【练习题5.1参考解答】

（1）设f(X 2i )=X 2i 2，则异方差Var (μi )=σ2X 2i 2

=σ2f(X 2i )，回归方程两端同时除

以√f(X 2i )得：

Y f(X 2i )

=

βf(X 2i )

=βX f(X 2i )

+βX f(X 2i )

μf(X 2i )

令Y i ∗=

i 2i )

X 2i ∗=

2i )

X 3i ∗=

3i

2i )

υi =

i

2i )

则上式变为：

Y i ∗=β2+β1X 2i ∗+β3X 3i ∗

+υi

因此

Var (υi )=σ2X 2i

2

f(X 2i )

=σ2

通过变换原模型的异方差得到修正。

（2）令w i =1

f(X 2i

)

则修正后的残差平方和∑w i e i 2=∑w i (Y i −β

̂1−β̂2X 2i −β̂3X 3i )2 方程两边求导并令导数为零，可得参数估计量的表达式如下：

β

̂1=∑w i (Y i −β

̂1−β̂2X 2i −β̂3X 3i )∑w i

β̂2=∑w i (Y i −β

̂1−β̂3X 3i )X 2i ∑w i X 2i

2 β̂3=∑w i (Y i −β

̂1−β̂3X 3i )X 3i ∑w i X 3i

2 5.2 对于第三章练习题3.3家庭书刊消费与家庭收入及户主受教育年数关系的分析，进一步作以下分析:

1）判断模型123i i i i Y X T u βββ=+++是否存在异方差性。

2。如果模型存在异方差性，应怎样去估计其参数？

3）对比分析的结果，你对第三章练习题3.3的结论有什么评价? 【练习题5.2参考解答】

（1）作回归 123i i i i Y X T u βββ=+++，:用White 法检验异方差性

从上表以看出， nR 2=12.0569，由White 检验知，在α=0.05下，查χ2分布表,得临

界值χ0.052(2)=5.9915，同时2

X 的t 检验值也显著。比较计算的χ2统计量与临界值，因为nR 2=12.0569>χ0.052(1)=5.9915，所以拒绝原假设，不拒绝备择假设，表明模型存在异

方差。

（2）由（1）知，模型存在异方差，应该选择加权最小二乘法来估计其参数，从White 检验的辅助回归看，T^2与T ∗X 对残差平方影响较为显著，因此，我们选择w =1/(T 2−T ∗X)作为权重来估计参数，具体结果如下：

（3）

比较第三章结果，我们发现家庭收入对家庭书刊消费的影响提高，受教育程度对家庭书刊消费的影响降低，异方差的修正可以让我们看到更真实的结论。

5.3 为了研究中国出口商品总额EXPORT对国内生产总值GDP的影响，搜集了1990～2015年相关的指标数据，如表5.3所示。

(1) 根据以上数据，建立适当线性回归模型。

(2) 试分别用White 检验法与ARCH 检验法检验模型是否存在异方差？ (3) 如果存在异方差，用适当方法加以修正。

【练习题5.4参考解答】

(1) 从图5.4我们可以看出中国出口商品总额EXPORT 与国内生产总值GDP 呈线性关系，我们应当建立线性回归模型，回归估计结果如图5.5所示。则回归方程如下

Y

̂i =−673.08+4.0611X t= (-0.0437) (20.136)

R 2=0.946 DW =0.366

0100,000

200,000300,000400,000

500,000600,000700,000X

Y

图5.4 中国出口商品总额EXPORT 与国内生产总值GDP 散点图

图5.5 回归结果

(2) 检验异方差性

图5.6 White 检验结果

从图5.6可以看出， nR 2=7.250，由White 检验知，在α=0.05下，查χ2分布表,得

临界值χ0.052(2)=5.9915， nR 2=7.250>χ0.052(2)=5.9915，所以拒绝原假设，表明模型

存在异方差。

图5.7 ARCH 检验结果

从图5.7可以看出，ARCH 检验的nR 2=11.028，在α=0.05下，查χ2分布表,得临界值

χ0.052(1)=3.84146， nR 2=11.028>χ0.052(1)=3.846，所以拒绝原假设，表明模型存在异

方差。

综上所述，在5%显著性水平下，White 检验与ARCH 检验均显示模型存在异方差。 （3）选1/X^2作为权重，使用加权最小二乘法对模型进行修正，结果如图5.8所示

图5.8 加权最小二乘估计结果

修正模型后用White 检验，发现模型已无异方差，如图5.9所示。