重庆大学高等数学习题1-4

习题1-4 A 组

1.当0x →时，2

2x x -与2

3

x x -相比，哪一个是高阶无穷小?

解析：考查无穷小量的比较，只需对两个无穷小量的比值求极限，根据所得进行判断

解：22

30022lim lim (1)

x x x x x

x x x x →→--==∞-- 根据定义4.4，2

3

x x -是比2

2x x -高阶的无穷小

2.证明：在0x →时，sec 1x -与2

2

x 是等价无穷小量

解析：考查无穷小量的比较，等价无穷小量只需两个无穷小量的比值的极限为1

证明：因为2

222000sec 11cos 2lim lim lim 1222

x x x x x x

x x x cosx

→→→--===⋅（其中21cos 2

x x -:） 则sec 1x -与2

2

x 是等价无穷小量

3，利用等价无穷小的性质，求下列极限：

（1）0tan 5lim 2x x x

→（2）0sin()

lim (sin )n m x x x →（m ，n 为正整数） （3

）0

x →（4）1

23

0(1)1

lim

cos 1

x x x →+--

（5）lim x b

x b a a x b

→--

解析：考查函数极限的求解，利用等价无穷小首先需要非常了解常用的几个等价无穷小，例

如sin x x :，tan x x :，2

1cos 2

x x -:等等，具体可见定理4.6

解：（1）因为tan x x :，则00tan 555

lim

lim 222x x x x x x →→==

（2）因为sin x x :，则000

sin()lim lim lim (sin )n n

n m m m x x x x x x x x -→→→==

当n m >时，0sin()lim

0(sin )n m x x x →=；当n m =时，0sin()

lim 1(sin )n m

x x x →=；当n m <时，

0sin()lim (sin )n m

x x x →=∞ （3

）因为加减因子不能直接利用无穷小替换，则本题可以先化简再替换

220002lim 3sin 32x x x x x x x →→→⋅

==-=-⋅

注：(1)1a

x ax +-:，2

1cos 2

x x -:

（4）因为21cos 2x x -:，则2

123

200(1)12

3lim lim cos 13

2

x x x x x x →→+-==---

（5）在前一节的例3.14中可知，1x

a xlna -:，则

(1)()ln lim lim lim ln x b b x b b b x b x b x b a a a a a x b a a a x b x b x b

-→→→---===--- 4.曲线2

2

11x x e y e

--+=

-是否有铅直渐近线？

解析：考查曲线的铅直渐近线，根据定义，只需判断是否存在常数a ，使得lim x a

y →=∞，一

般常数a 存在于无定义点上 解：曲线的无定义点为0x =

2

2

20

012

lim

lim

()

1x x

x x e x e --→→+==∞---

则有铅直渐近线，铅直渐近线为0x =

5设α，β，γ为三个无穷小量，证明：如果αβ:

，βγ:，则αγ:

解析：考查等价无穷小量的定义，根据已知可得lim

1x a αβ→=，lim 1x a β

γ

→=，很明显可以证明 证明：lim lim 1x a x a ααβ

γβγ

→→=⋅=，即证结论 B 组

1.（1）设当0x x →时，函数()g x 是有界量，函数()f x 是无穷大量，证明：()()f x g x ±是无穷大量

（2）设当0x x →时，函数是()f x 无穷大量，且()g x M ≥，其中M 是一个正的整数，证明：函数()()f x g x 是无穷大量

解析：考查无穷大量的定义，本题也就可以从无穷大量的定义来证明 证明：（1）已知函数()g x 是有界量，即0()g x n <<（n 为正数）

函数()f x 是无穷大量，则0m ∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，恒有()f x m > 对于函数()()f x g x +，0m ∀>，同样0δ∃>，当00x x δ<-<时，恒有()()f x g x m +> 对于()()f x g x -也有同样结论 则()()f x g x ±是无穷大量

（2）对于函数()()f x g x ，0m ∀>，同样0δ∃>，当00x x δ<-<时，恒有()()f x g x m > 则函数()()f x g x 是无穷大量

2.函数sin y x x =在(,)-∞+∞上是否有界？又当x →∞时，这个函数是否为无穷大？为什

么？（提示：取(1)

2n

x n π=，(2)22

n x n π

π=+

）

解析：考查函数的有界性，当x →∞时，x 为无穷大量，而sin 1x ≤，很明显可以判断无界，根据提示，可以利用海涅归结原则证明

证明：根据上述分析，函数sin y x x =在(,)-∞+∞上是无界的 根据海涅归结原则，lim sin lim sin n n x n x x x x →∞

→∞

=

当(1)

2n

x n π=时，1,2,n =L ，则lim sin 0n n n x x →∞

=

当(2)

22

n

x n π

π=+

时，1,2,n =L ，则lim sin n n n x x →∞

=∞

则lim sin x x x →∞

不是无穷大

3.证明：

（1）当0x →时，函数1x

y x

=

+为无穷小量； （2）当0x →时，函数1x

y e =既非无穷大量，也非无穷小量（提示：谈论函数在点0x =处