例谈中考数学能力考查
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例谈中考数学能力考查
南安国光初级中学吴文献
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纵观近几年得泉州市数学中考试题与每年得各区市数学质检试卷,我们不难发现,数学综合题得重点都放在高中继续学习得函数问题上.此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面得特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形与四边形得判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆与三角函数相结合得综合性试题.同时考查学生初中数学中最重要得数学思想方法,如数形结合得思想、分类讨论得思想与几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何得变与不变,对给定得图形施行平移、翻折与旋转得位置变化,然后在新得图形中分析有关图形之间得关系.
这些题目得特点就是:注重考查学生得实验、猜想、证明得探索能力。解题灵活多变,能够考查学生分析问题与解决问题得能力,有一定难度,但上手还就是容易得。此类题还常常会以几个小问题得形式出现,相当于几个台阶,这种恰当得铺垫给了考生较宽得入口,有利于考生发挥正常水平。
(一)函数型综合题:
压轴题得灵魂就是数形结合,数形结合得精髓就是函数,函数得核心就是运动变化。这类题型就是先给定直角坐标系与几何图形,求(已知)函数得解析式(即求解前已知函数得类型),然后进行图形得研究,求点得坐标或研究图形得某些性质。
初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数)与常值函数,它们所对应得图像就是直线;②反比例函数,它所对应得图像就是双曲线;③二次函数,它所对应得图像就是抛物线.求已知函数得解析式主要方法
就是待定系数法,关键就是求点得坐标,而求点得坐标基本方法就是几何法(图形法)与代数法(解析法)。
例1(2011四川凉山)二次函数得图象如图所示,反比例函数与正比例函数在同一坐标系内得大致图像就是( )
【答案】B.
【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数得图象与性质融合在一起.主要考察数形结合思想. 【解题思路】由二次函数得图象可知,∵图象开口向下,∴;∵对称轴在轴左侧,∴,由,知。根据反比例函数图象得性质,当时,函数图象在二、四象限;根据正比例函数图象得性质,当时,函数图象经过二、四象限。故选B。
变式题1(2010龙岩)对于反比例函数,当x〉0时,y随x得增大而增大,则二次函数得大致图象就是( )
例2(2011广
西桂林)已知二次函
数得图象如图.
(1)求它得对称轴
与轴交点D得坐
标;
(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与轴,轴得交点分别为A、B、C三点,若
∠ACB=90°,求此时抛物线得解析式;
(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D得位置
关系,并说明理由.
【分析】该题通过平移抛物线,把观察、探究、计算融合在一起,将二次函数得性质,平移得性质,待定系
数法,曲线上点得坐标与方程得关系,解一元二次方程,勾股定理与逆定理,相似三角形得判定与性质等初中数学得主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归得思想、方程与函数得思想、运动变化等数学思想.
【解题思路】(1)根据对称轴公式求出,求出即可。
(2)用待定系数法设出平移后得解析式即可得出图象与轴得交点坐标,再利用勾股定理求出即可。(3)由抛物线得解析式可得,A,B,C,M各点得坐标,再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM,即可证明。
【答案】解:(1)由,得,∴D(3,0).
(2)如图1,设平移后得抛物线得解析式为,
则C(0,),OC=,
令=0,即,
法一:得。
∴A,B,
∴,
()()
22
22222
k k k k
+=+-++=++。
AC BC3 +32836
∵AC2+BC2=AB2,即:,得1=4,2=0(舍去),
∴抛物线得解析式为。
法二:可证,得,即
(3)如图2,由抛物线得解析式可得,
A(﹣2,0),B(8,0),C(4,0),D(3,0),M,
过C、M作直线,连接CD,过M作MH垂直y轴于H,
则MH=3,
∴,
。
在Rt△COD中,,
∴点C在⊙D上。
∵,
∴DM2=CM2+CD2。∴△CDM就是直角三角形。
∴CD⊥CM。
法二:可证,得CD⊥CM.
∴直线CM与⊙D相切。
变式题2(2011湖北荆州)如图甲,分别以两个彼此相邻得正方形OABC与CDEF得边OC、OA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上)、若⊙P过A、B、E三点(圆心在轴上),抛物线经过A、C两点,与轴得另一交点为G,M就是FG得中点,正方形CDEF得面积为1、
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME就是⊙P得切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点就是此对称轴上不与N点重合得一动点,①求△ACQ周长得最小值;②若FQ=,S△ACQ=,直接写出
....与之间得函数关系式、
(二)几何型综合题:
这类题型就是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等得变化,求对应得(未知)函数得解析式(即在没有求出之前,不知道函数解析式得形式就是什么)
与求函数得定义域,最后根据所求得函数关系进行探索研究,
探索研究得一般类型有:①在什么条件下三角形就是等腰三角形、直角三角形;②四边形就是菱形、梯形等;③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间得位置关系等;⑤探索面积之间满足一定关系求x得值等;⑥直线与圆得相切时求自变量得值等。
图乙(备用图)
图甲