例谈中考数学能力考查

例谈中考数学能力考查

南安国光初级中学吴文献

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纵观近几年得泉州市数学中考试题与每年得各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题得重点都放在高中继续学习得函数问题上.此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面得特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形与四边形得判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆与三角函数相结合得综合性试题.同时考查学生初中数学中最重要得数学思想方法，如数形结合得思想、分类讨论得思想与几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何得变与不变,对给定得图形施行平移、翻折与旋转得位置变化，然后在新得图形中分析有关图形之间得关系.

这些题目得特点就是：注重考查学生得实验、猜想、证明得探索能力。解题灵活多变,能够考查学生分析问题与解决问题得能力，有一定难度，但上手还就是容易得。此类题还常常会以几个小问题得形式出现，相当于几个台阶,这种恰当得铺垫给了考生较宽得入口,有利于考生发挥正常水平。

（一）函数型综合题:

压轴题得灵魂就是数形结合,数形结合得精髓就是函数，函数得核心就是运动变化。这类题型就是先给定直角坐标系与几何图形,求（已知）函数得解析式(即求解前已知函数得类型），然后进行图形得研究，求点得坐标或研究图形得某些性质。

初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数）与常值函数,它们所对应得图像就是直线;②反比例函数,它所对应得图像就是双曲线；③二次函数，它所对应得图像就是抛物线.求已知函数得解析式主要方法

就是待定系数法，关键就是求点得坐标，而求点得坐标基本方法就是几何法（图形法）与代数法(解析法)。

例1(2０１1四川凉山）二次函数得图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内得大致图像就是( ）

【答案】B.

【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数得图象与性质融合在一起.主要考察数形结合思想. 【解题思路】由二次函数得图象可知,∵图象开口向下,∴;∵对称轴在轴左侧，∴,由，知。根据反比例函数图象得性质,当时,函数图象在二、四象限；根据正比例函数图象得性质,当时，函数图象经过二、四象限。故选Ｂ。

变式题1(2０10龙岩）对于反比例函数,当x〉0时,y随x得增大而增大,则二次函数得大致图象就是( )

例2(２01１广

西桂林)已知二次函

数得图象如图．

(1)求它得对称轴

与轴交点D得坐

标；

(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移，设平移后得抛物线与轴，轴得交点分别为A、B、C三点,若

∠ACB=90°，求此时抛物线得解析式；

(3)设（2)中平移后得抛物线得顶点为Ｍ,以AB为直径，D为圆心作⊙D,试判断直线CＭ与⊙Ｄ得位置

关系,并说明理由．

【分析】该题通过平移抛物线,把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数得性质,平移得性质,待定系

数法，曲线上点得坐标与方程得关系，解一元二次方程，勾股定理与逆定理,相似三角形得判定与性质等初中数学得主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归得思想、方程与函数得思想、运动变化等数学思想.

【解题思路】（1)根据对称轴公式求出，求出即可。

(2）用待定系数法设出平移后得解析式即可得出图象与轴得交点坐标，再利用勾股定理求出即可。（３)由抛物线得解析式可得，A,B,Ｃ,M各点得坐标，再利用勾股定理逆定理求出ＣＤ⊥CM，即可证明。

【答案】解:（1）由，得,∴D（3，0).

（２）如图1，设平移后得抛物线得解析式为,

则Ｃ(0，),OＣ=，

令=0，即，

法一：得。

∴A,B,

∴,

()()

22

22222

k k k k

+=+-++=++。

AC BC3 +32836

∵AC2+BC2=ＡB2，即：,得1=4，2=0(舍去)，

∴抛物线得解析式为。

法二：可证，得,即

（３）如图2，由抛物线得解析式可得,

A(﹣2,0)，Ｂ(8,0),Ｃ(4，0)，D(３，0），M，

过C、Ｍ作直线，连接CD，过M作ＭH垂直y轴于H，

则MH＝3，

∴,

。

在Rt△CＯD中，，

∴点C在⊙Ｄ上。

∵，

∴DM2=CM2+CD２。∴△CDM就是直角三角形。

∴CD⊥CM。

法二：可证，得CD⊥CＭ.

∴直线ＣM与⊙D相切。

变式题２(2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻得正方形OABC与ＣDEF得边ＯC、ＯA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（Ｏ、C、F三点在x轴正半轴上）、若⊙Ｐ过A、B、Ｅ三点（圆心在轴上）,抛物线经过A、C两点,与轴得另一交点为G,M就是ＦＧ得中点,正方形CＤEF得面积为１、

（１)求B点坐标;

(2）求证:ME就是⊙P得切线；

（3)设直线AＣ与抛物线对称轴交于N,Ｑ点就是此对称轴上不与N点重合得一动点，①求△AＣQ周长得最小值;②若ＦQ＝,Ｓ△ACQ＝，直接写出

．．．．与之间得函数关系式、

(二）几何型综合题：

这类题型就是先给定几何图形,根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动,对应产生线段、面积等得变化，求对应得(未知)函数得解析式（即在没有求出之前，不知道函数解析式得形式就是什么)

与求函数得定义域，最后根据所求得函数关系进行探索研究，

探索研究得一般类型有:①在什么条件下三角形就是等腰三角形、直角三角形；②四边形就是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间得位置关系等;⑤探索面积之间满足一定关系求ｘ得值等;⑥直线与圆得相切时求自变量得值等。

图乙(备用图)

图甲