算法案例2辗转相除法1

巩固运用
• 例１．求78和36的最大公约数
巩固运用
• 例2．写出图示流程图所表 达算法的伪代码，并求出最 后输出的n的值
回顾反思
辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除 法运算，较小的数就是最大公约数． 更相减损术是当大数减去小数的差等于小数 时减法停止．较小的数就是最大公约数． 求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时， 可依次通过求两个数的最大公约数与第三数 的最大公约数来求得．
算法案例2
求最大公约数
• 你能求出18与30的公约数吗? • 你能看出204与85的公约数吗?
算法1 辗转相除法
• 例1 求两个正数a=204和b=85的最大公约数。 • 分析：204与85两数都比较大，而且没有明显 的公约数，如能把它们都变小一点，根据已 有的知识即可求出最大公约数
算法1 辗转相除法
• 翻译出来为： • 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是， 用2约简；若不是，执行第二步。 • 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的 差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等 为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
算法2 更相减损术
• 例2 用更相减损术求91与49的最大公约数. • 解：由于49不是偶数，把91和49以大数减小 数，并辗转相减， • 即：91－48＝42 49－42＝7 42－7＝35 • 35－7＝28 28－7＝21 21－7＝14 • 14－7＝7 • 所以，91与49的最大公约数是7。
比较辗转相除法与更相减损术的区别
• （1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以 减法为主，计算次数上辗转相除法计算 次数相对较少，特别当两个数字大小区 别较大时计算次数的区别较明显。 • （2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更 相减损术则以减数与差相等而得到
• 204＝85×2＋34 • 显然204的最大公约数也必是85的约数， 同样204与85的公约数也必是34的约数， 所以204与85的最大公约数也是85与34的 最大公约数。 • 85＝34×2＋17 • 34＝117×2+0 • 则17为204与85的最大公约数。
辗转相除法的基本步骤：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0； 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一 个商q1和一个余数r1； 第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到 一个商q2和一个余数r2； …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
• 欧几里得辗转相除法找出a,b的最大公约数的步骤是: • （1）计算a÷b的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数； • （2）若r=0,则把前面的除数b作为新的被除数,把r作 为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为 a,b的最大公约数. • 更相减损术找出a,b的最大公约数的步骤是 • （1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 若是，用2约简；若不是，执行第二步。 • （2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所 求的最大公约数。
程序框图：
r←MOD(m , n)
程序: Read m,n
While Mod(m,n)≠ 0 r←Mod(m,n) m←n n←r End While Print n End
m←n n←r
Hale Waihona Puke 否r=0是
算法2 更相减损术
• 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是 更相减损术。
• 可半者半之，不可半者，副置分母分子之数， 以少减多，更相减损，求其等也，以等数约 之。