选修1-1人教版课件1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词 课件

一般地，对任意的实数 x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max. 若存在一个实数 x0，使 a>f(x0)成立，只需 a>f(x)min.
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[解] 解法一：(1)不等式 m＋f(x)>0 可化为 m>－f(x)， 即 m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使 m>－(x－1)2－4 对于任意 x∈R 恒成立，只需 m> －4 即可． 故存在实数 m 使不等式 m＋f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成 立，此时需 m>－4.
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1.下列命题： ①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③ 中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国 主义教育；⑤有人既能写小说，也能搞发明创造；⑥任何一 个数除 0 都等于 0 其中是全称命题的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．不少于 4 个 解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．
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(4)全称命题． ∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a·(n－1)2－b(n－ 1)＝2na＋b－a， 所以 an＝2an＋b－a(n∈N*)． 从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题也是真命题．
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1.全称命题与特称命题的构成形式 判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键是看命 题中是否含有全称量词或存在量词，并熟悉以下表述方法
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
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1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在 量词的意义．
2．会判断含量词命题的真假.
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1.短语“_所__有__的___”、“任__意__一__个__”在逻辑中通常叫做全称 量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做 全__称__命___题_．
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命题
全称命题“∀x∈M，p(x)”
特称命题“∃x0∈M， p(x0)”
①存在 x0∈M，
使 p(x0)成立
表述 方法
①对所有的 x∈M，p(x)成立 ②对一切 x∈M，p(x)成立 ③对每一个 x∈M，p(x)成立 ④任选一个 x∈M，p(x)成立 ⑤凡是 x∈M，都有 p(x)成立
②至少有一个 x0∈M， 使 p(x0)成立
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练 1 判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)有一个实数 α，tanα 无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)指数函数都是单调函数．
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[答案] (1)特称命题 (2)不是命题 (3)全称命题 (4)全称命题 (5)全称命题
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解：(1)特称命题． ∵x2＋x＋8＝(x＋12)2＋341>0， ∴命题为假命题． (2)全称命题，假命题， 如∃y＝x2＋x＋1 与 x 轴不相交．
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(3)全称命题． ∵x 是正实数， ∴x＋1x≥2 x·1x＝2(当且仅当 x＝1 时“＝”成立)． 即 x＋1x的最小值是 2，而 m≤x＋x1，从而 m≤2. 所以这个全称命题是真命题．
答案：D 7
2．下列全称命题中真命题的个数为( )
①末位是 0 的整数，可以被 2 整除；②角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相
等．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：①②③均为全称命题且均为真命题，故选 C.
答案：C
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3．下列命题不是“存在 x0∈R，x20>3”的表述方法的是 ()
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[点拨] 解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应 尽量分离参数，若得到 g(a)＝f(x)成立，则只需求 f(x)的值域 B，进而确定使 g(a)∈B 的 a 的值即可．若 g(a)>f(x)，则只 需确定 g(a)>f(x)的最小值即可．类似地，对于全称命题(特别 是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解．
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2．“存在集合 A，使 Ø A”，对这个命题，下面说法
中正确的是( )
A．全称命题、真命题
B．全称命题、假命题
C．特称命题、真命题
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[点拨] (1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定 集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是 假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0) 不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的真假性的关键是 探究集合 M 中 x0 的存在性．若找到一个元素 x0∈M，使 p(x0) 成立，则该命题是真命题；若不存在 x0∈M，使 p(x0)成立， 则该命题是假命题．
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2．全称命题与特称命题真假的判断 判断全称命题：“∀x∈M，p(x)”的真假时，可以先考 虑它是否为假，即研究是否“∃x0∈M，p(x0)不成立”，如 果找不到反例，就从正面证明． 判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的真假时，可以先考 虑它是否为真，即能否找到一个 x0 符合题意，若找不到，可 证明“∀x∈M，綈 p(x)”为真，从而说明原命题为假.
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练 3 已知命题 p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题 q： “∃x0∈R，使 x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p 且 q”是 真命题，求实数 a 的取值范围．
[解] 命题 p：x2－a≥0 即 a≤x2，∵x∈[1,2]时，上式 恒成立，而 x2∈[1,4]，∴a≤1.
命题 q：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0 即 a≥1 或 a≤－2. ∵p 且 q 为真命题，∴p，q 均为真命题． ∴a＝1 或 a≤－2. 即实数 a 的取值范围是{a|a＝1 或 a≤－2}．
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含有量词的命题的应用 例 3 已知函数 f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数 m，使不等式 m＋f(x)>0 对于任意 x∈ R 恒成立，并说明理由． (2)若至少存在一个实数 x0，使不等式 m－f(x0)>0 成立， 求实数 m 的取值范围．
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[分析] 有关一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立 的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二 是分离参数法求解．前者主要运用 Δ＝b2－4ac 的符号，转化 为不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．
∴Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得 m>－4， ∴当 m>－4 时，m＋f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立． (2)若至少存在一个实数 x0，使 m－f(x0)>0 成立，即 x20－ 2x0＋5－m<0 成立． 只需 Δ＝(－2)2－4(5－m)>0 即可，解得 m>4. 所以实数 m 的取值范围是(4，＋∞)．
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全称命题与特称命题的判断 例 1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于 360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1； (4)有些素数的和仍是素数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂 直．
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[分析] 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要 结合命题的具体意义进行判断．
2.全称命题的形式：对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立， 可简记为_∀__x_∈__M__，__p__x______________．
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3.短语“_存__在__一__个__”、“__至__少__有__一__个___”在逻辑中通常叫 做存在量词，用符号“__∃______”表示，含有存在量词的命题 叫做特__称__命__题__．
A．有一个 x0∈R，使得 x20>3 成立 B．对有些 x0∈R，使得 x20>3 成立 C．任选一个 x∈R，使得 x2>3 成立 D．至少有一个 x0∈R，使得 x20>3 成立
解析：C 答案已经是全称命题了．
答案：C
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4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用 “∃”写成特称命题为∃__x_0_∈__R__，__x_0<__0_，__(1_＋__x_0_)_(1_－___9_x_20)_>_0．
(2)∃x0＝π4，T＝π2，使 sin(π4＋π2)＝cosπ4＝sinπ4＝ 22，所 以是真命题．
(3)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2 ＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．
(4)当直线的倾斜角等于 90°时不存在斜率，故所有的直 线都有斜率是假命题．
③对有些 x0∈M， 使 p(x0)成立
④对某个 x0∈M， 使 p(x0)成立
⑤有一个 x0∈M，
使 p(x0)成立
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注意：有些全称命题文字叙述中会省略全称量词，如 “等腰三角形两底角相等”，另外全称命题和特称命题也可 能包含多个变数．
如∀x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)>0. ∃x0∈R，y0∈R，x20＋y20＝1.
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练 2 (2010·湖南高考)下列命题中的假命题是( ) A. ∀x∈R,2x－1>0 B. ∀x∈N*，(x－1)2>0 C. ∃x0∈R，lgx0<1 D. ∃x0∈R，tanx0＝2
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[解析] A 中命题是全称命题，易知 2x－1>0 恒成立，故是真 命题；
B 中命题是全称命题，当 x＝1 时，(x－1)2＝0，故是假命题； C 中命题是特称命题，当 x＝1 时，lgx＝0，故是真命题； D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题． [答案] B
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全称命题与特称命题的真假 例 2 判断下列命题的真假： (1)有些三角形的重心在某一边上； (2)∃x0，T≠2π，使 sin(x0＋T)＝sinx0； (3)∀x∈R，x2＋2>0； (4)所有的直线都有斜率．