数学建模图论国赛辅导

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解中国邮递员问题的步骤
2 4 6 8 2 0 4 10 0 6 7 7 0 8 10 8 7 0 2 4 6 8 2 4 5 6 3 5 8 5 5,7 5,9 找 出 所 有 基 本 回 0 路
最短距离矩阵
3
5 2
转接矩阵
添 加 重 复 边
（２）以 G 的所有奇次顶点为顶点集（个数为偶数） ，作一完备图， 边上的权为两端点在原图 G 中的最短距离，将此完备加权图记为 G1．
（３）求出G1的最小权理想匹配M，得到奇次顶点的最佳配对．
（４）在 G 中沿配对顶点之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*． （５）用 Fleury 算法求出 G*的欧拉巡回，这就是 G 的最佳巡回．
匹配：ME, M中任意两边无公共端点， 则M为G的一个匹配。M中一条边之两个顶叫 在M之下相配。M中每个顶称为被M许配。若 G中所有顶均被M许配，则称M为完备匹配。 含边最多的匹配为最大匹配。
红线为一最大匹配 红线为一完备匹配
图中含每条边的迹叫Euler迹。闭的Euler 迹叫Euler回路。含Euler回路的图叫Euler图。 C 问题(哥尼斯堡七桥
图中的参数： 顶点v的度：与顶点v相联的边数。即为d(v). 图的最小度＝ min d(v)
v G
图的最大度＝ max d(v) v G 割点：G是连通图，vV, G－{v} 不连通， 则称顶v为割点。 顶点割：G是连通图， VV(G), G－V不连通。 则集合V称为顶点割。含 顶最少的顶点割为最小顶 点割。最小顶点割中所含 顶的个数为图G的连通度。 一个图的割点
哈 密 尔 顿 图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条 哈密尔顿路径． （２）经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔 顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
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推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇， 最后回到出发点．问如何安排旅行路线使 总行程最小．这就是推销员问题．
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哈密顿环球旅行问题: 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市， 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？ 含一切顶的规叫 Hamilton规。 闭的Hamilton规为 Hamilton圈。
哈密顿圈（环球旅行游戏）
图的边连通度：G是 连通图，EE(G), G－E 不连通。则集合E 称为G 的边割集。含边最少的边 割集中所含边数为图G的 边连通度。
有三条割边的图
当边割集中仅含一条边时，此边称为桥。 可靠通讯网络的构造:某图表示一个通讯网络， 那么通讯站(或通讯线路)的最少数目就是图的连 通度(或边连通度)：它们的失灵势必危及系统的 通讯。连通度和边连通度越高，网络就越可靠。
V6
n ２） 情形２ G 有２n 个奇次顶点（
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 * * 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G ， G 的欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤： （１）用 Floyd 算法求出的所有奇次顶点之间的最短路径和距离．
H回路，长22
最佳推销员回路， 长4
，z x,z y,都 定理１ 在加权图 G=(V,E)中，若对任意 x,y,z V 有 w(x,y) w(x,z)+w(z,y)，则图 G 的最佳 H 圈也是最佳推销员 回路．
最佳推销员回路问题可转化为最佳 H 圈问题．方法是由给 定的图 G=(V,E)构造一个以 V 为顶点集的完备图 G’=(V,E’)，E’ 的每条边(x,y)的权等于顶点 x 与 y 在图中最短路的权．即： E’, w(x,y)=mind (x,y) x,y G
哈密尔顿回路及推销员问题
哈密尔顿回路( Hamiltonian circuit)
连通图G(V,E)中的回路称为哈密尔顿回路，若 该回路包括图中所有的点。显然哈密尔顿回 路有且只有 n 条边，若|V|=n 连通图具有哈密尔顿回路的充分必要条件是什 么？这个问题是由爱尔兰数学家哈密尔顿 1859年提出的，但至今仍未解决. 欧拉回路是对边进行访问的问题，哈密尔顿回 路是对点进行访问的问题 搜索哈密尔顿回路的难度是 NP-complete
任两点间都有边的图为完全图, 完全图中有 (n-1)!/2条不同的哈密尔顿回路, 有(n-1)/2个边 不相交的哈密尔顿回路. 哈密尔顿路径：包含图中所有点的路径. 推销员问题(TSP)：设v1, v2, ...,vn 为 n 个城市， 城市之间的路程已知，推销员从 v1出发，走遍所 有城市一次且仅一次回到v1，并使总旅程最短.
情形１ G 正好有两个奇次顶点 （１）用 Dijkstra 算法求出奇次顶点 u 与 v 之间的最短路径 P．
P，则 G*为欧拉图． （２）令 G*=G
（３）用 Fleury 算法求出 G*的欧拉巡回，这就是 G 的最佳巡回．
v1
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e1
e5 e3
v2
e2 v3 e6 e7
V5
e8
v4
V7 e9
v1
v6 v4 a v1 v6 v4 c v2 v5 v3 v5 v3
v2
v1
v2 v3
b v2
v4
v1
v4 d
v3
树：无圈、无环的连通图。
最小生成树
由树的定义知道, 任意一个连通的p, q图(p 个顶点q条边)G适当去掉q - p +1条边后, 都可以 变成树, 这棵树称为图G的生成树. 设T是图G的一棵生成树, F(T)表示树T中所有 边的权数之和, F(T)称为树T的权. 一个连通图G的生成树一般不止一棵, 图G的 所有生成树中权数最小的生成树称为图G的最小 生成树. 欲修连接n个城市的铁路，已知任意两市间铁 路造价，试设计总造价最低的线路(在加权完全 图上求最小生成树Kruskal算法)。
v1
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e1
e5
v2 e2 v3
e10
V5 e7 V7 e9 e8 V6
v4
e3
e6
2、G 不是欧拉图
若G不是欧拉图，则G的任何一个巡回 经过某些边必定多于一次．
解决这类问题的一般方法是，在一些点对之间 引入重复边（重复边与它平行的边具有相同的权） 使原图成为欧拉图，但希望所有添加的重复边的 权的总和为最小．
图论及其应用
2015 . 8
主要内容
• • • • 1、欧拉回路和中国邮递员问题 2、哈密顿环球旅行问题 3、竞赛题选讲 --灾情巡视路线(CUMCM 1998 B题)
环：起点和终点重合的边。 重边：两顶点之间连两条或两条以上的边。 简单图：无环且无重边的图。
完全图：任意两顶之间都联边。 子图：G(V,E), G1(V1,E1); V1V, E1E, 则G1 是G的子图。 生成子图：若HG，且V(H)=V(G)，则H 是G的生成子图。 导出子图：若HG，且V(H)=V，E(H)由E(G) 中顶都在V中的边构成；则H是G的导出子图。
例 求右图所示投递区的一条最佳邮递路线．
1．图中有 v4、v7、v8、v9 四个奇次顶点
用 Floyd 算法求出它们之间的最短路径和距离：
Pv4v7 v4 v3v2 v7 , d (v4 , v7 ) 5 Pv4v8 v4 v8 , d (v4 , v8 ) 3 Pv4v9 v4 v8 v9 , d (v4, v9 ) 6 Pv7 v8 v7 v8 , d (v7 , v8 ) 9 Pv7 v9 v7 v9 , d (v7 , v9 ) 6 Pv8v9 v8 v9 , d (v8 , v9 ) 3
不允许点重复的推销员问题就是最小哈密尔顿回路问题 一般推销员问题(GTSP)：允许点重复的TSP 当网路边权满足三角不等式时，一般推销员问题等价于 最小哈密尔顿回路问题 网路边权不满足三角不等式时，用两点间最短路的距离 代替原来边权，就可满足三角不等式，在此基础上求最小 哈密尔顿回路
G是有向图，把G各边方向去掉所得无向图 叫G的底图；若G的底图是连通图，则称G是弱连 通有向图；在有向图G中，u,vV(G), 且G 中存在 有向轨P(u,v)，则称u可到达v， 每对顶都连边的有向图为竞赛图。 竞赛图必有Hamilton轨。 一台机器完成n项工作，i工作j工作的机器调 整时间为tij试安排n项工作，使 tij＝min ;(有 向图上求Hamilton轨)
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解中国邮递员问题的步骤
0、将图中的所有悬挂点依次摘去
1、求所有奇次点间的最短距离和最短路径 2、根据奇次点间的最短距离求最小完全匹配 3、根据最小完全匹配和最短路径添加重复边 4、将悬挂点逐一恢复，并加重复边 5、根据得到的偶图，给出欧拉回路的若干种走法
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2．以 v4、v7、v8、v9 为顶点，它们之间的距离为边权构造完备图 G1． 3．求出 G1 的最小权完美匹配 M={(v4,,v7),(v8,v9)}
4．在 G 中沿 v4 到 v7 的最短路径添加重复边，沿 v8 到 v9 的最短路径 v8v9 添 加重复边，得欧拉图 G2．G2 中一条欧拉巡回就是 G 的一条最佳巡回．其 权值为６４．
A
B
D 哥尼斯堡七桥示意图 欧拉指出：如果每块陆地所 连接的桥都是偶数座，则从 A 任一陆地出发，必能通过每 座桥恰好一次而回到出发地.
问题):能否从任一陆 地出发通过每座桥恰 好一次回到出发点？
C
B
七桥问题模拟图
D
欧拉回路和中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)由我国 管梅谷教授于1962年首先提出并发表的 • 问题是从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少一次再 回到邮局，走什么路由才能使总的路程最短？ • 如果街区图是一个偶图，根据定理 3，一定有欧拉回路， CPP 问题也就迎刃而解了 • 若街区图不是偶图，则必然有一些街道要被重复走过 才能回到原出发点 A • 显然要在奇次点间加重复边 • 如何使所加的边长度最少 • 归结为求奇次点间的最小 C D 匹配( minimum weighted match) — 由Edmons 给出 多项式算法(1965) B
中国邮递员问题-算法
1、G 是欧拉图
此时 G 的任何一个欧拉巡回便是最佳巡回．问题归结 为在欧拉图中确定一个欧拉巡回．
Fleury 算法：求欧拉图的欧拉巡回
来自百度文库
Fleury算法-基本思想：从任一点出发，每当访问 一条边时，先要进行检查．如果可供访问的边不只 一条，则应选一条不是未访问的边集的导出子图的 割边作为访问边，直到没有边可选择为止.
中国邮递员问题-定义
邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的 每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行 程最短的路线．这就是中国邮递员问题.
若将投递区的街道用边表示，街道的长度用边权 表示，邮局街道交叉口用点表示，则一个投递区构成 一个赋权连通无向图．中国邮递员问题转化为：在一 个非负加权连通图中，寻求一个权最小的巡回．这样 的巡回称为最佳巡回．
Fleury 算法—算法步骤： （１）任选一个顶点 v0，令道路 w0=v0 （２）假定道路 wi=v0e1v1e2…eivi 已经选好，则从 E\ {e1,e2, …,ei}中选 一条边 ei+1，使： a）ei+1 与 vi 相关联 b）除非不能选择，否则一定要使 ei+1 不是 Gi=G[E-{e1,e2, …,ei}] 的割边． （３）第（２）步不能进行时就停止．
若用顶点表示城镇，边表示连接两城 镇的路，边上的权表示距离（或时间、费 用），于是推销员问题就成为在加权图中 寻找一条经过每个顶点至少一次的最短闭 通路问题．
定义 在加权图G=(V,E)中， （１）权最小的哈密尔顿圈称为最佳H圈． （２）经过每个顶点至少一次的权最小的闭 通路称为最佳推销员回路． 一般说来，最佳哈密尔顿圈不一定是最佳推 销员回路，同样最佳推销员回路也不一定是最佳 哈密尔顿圈．