多边形及平面镶嵌讲义.doc
八年级数学下册 第19章 四边形19.4 综合与实践 多边形的镶嵌教学课件 沪科版
课堂小结
定义 平面镶嵌
正多边形的镶嵌
每个顶点处，几个角的和 为360°.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月28日星期四下午1时41分34秒13:41:3422.4.2 8
读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月下午1时41分22.4.2813:41April 28, 2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月28日星期四1时41分34秒13:41:3428 April 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
随堂练习
3.用正三角形和正六边形镶嵌，n满足的关系式是 （ D） A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
随堂练习
4.某商店出售下列四种形状的地砖，若只选购其中一种 地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ B ） ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形． A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
第19章 四边形
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
平面镶嵌
新知导入
看一看：观察下图中的图形，试着发现它们的规律.
课程讲授
1 平面镶嵌
问题1：观察以下图案，试说出它们是由哪些几何图形 构成的．
课程讲授
1 平面镶嵌
归纳：这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖 平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在 几何里面叫做平面镶嵌.
课程讲授
1 平面镶嵌
探究：两种正多边形能进行平面镶嵌的条件.
正三角形，正方形 正三角形，正六边形 正方形，正八边形
《平面图形的镶嵌》教学课件
镶嵌的条件
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
学生心得体会分享
学生A
通过学习，我深刻理解了 平面图形镶嵌的原理和方 法，感受到了数学的美妙 和实用性。
学生B
在动手实践中，我发现了 很多有趣的镶嵌组合，对 平面图形的认识也更加深 入了。
学生C
节奏与韵律感营造方法
通过调整图形元素的间距、大小、形态和色彩等视觉属性，形成有规律 的排列组合和变化，营造出富有节奏感和韵律感的视觉效果。
03
节奏与韵律感在设计中的应用
如网页设计、UI设计、插画设计等，利用节奏和韵律感来增强视觉吸引
力和提升用户体验。
色彩搭配和视觉效果优化
色彩搭配原则
在平面图形镶嵌中，色彩搭配应遵循色彩的和谐与对比原则，通过合理的色彩组合来营造 出符合主题和氛围的视觉效果。
引导学生对自己的作品进行客观 评价，发现自己的优点和不足，
为今后的创作提供改进方向。
展示与交流
鼓励学生之间相互评价作品，发现 他人的优点并学习借鉴，同时提出 建设性的意见和建议，促进共同进
步。
互相评价
教师对学生的作品进行点评，肯定 学生的成绩和进步，指出存在的问 题并提出改进意见，引导学生不断 提高创作水平。
《平面图形的镶嵌》教学课件
contents
目录
• 平面图形镶嵌基本概念 • 常见平面图形镶嵌方法 • 美学原理在平面图形镶嵌中应用 • 创意设计实践：个性化平面图形镶嵌 • 评价标准及欣赏能力提升途径 • 课堂总结与拓展延伸
01 平面图形镶嵌基本概念
镶嵌定义及性质
镶嵌定义
用形状、大小完全相同的一种或 几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片 ，这就是平面图形的镶嵌。
人教版数学八年级上册数学活动——平面镶嵌(第三课时)课件
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
5
【典例】如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的一个平行四边 形，这个图案中等腰梯形的内角各是多少度？
分析：根据密铺(平面镶嵌)的条件，同一顶点处的各角之和等于360°.由于所 有等腰梯形的形状、大小是完全相同的，所以从图中可以看出，三个同样的钝角拼 在了一起，所以每个钝角是120°，锐角是60°.
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
16
思维训练
14．【核心素养题】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图
案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少
一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1、2、3个图案(如下图)所
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
数学活动——平面镶嵌(第三课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
数学·八年级 (上)·配人教
3
知识点1 平面镶嵌问题 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
4
知识点2 平面镶嵌的条件 (1)拼接在同一个顶点处的各个角的和恰好等于360°； (2)相邻的多边形有公共边． 注意：(1)能够进行平面镶嵌的同一种正多边形只有：正三角形、正方形和正六 边形； (2)能够进行平面镶嵌的两种正多边形组合有：正三角形与正方形，正三角形与 正六边形，正方形与正八边形等．
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正多边形平面镶嵌问题ppt教学课件模板
2
1
3
2
2
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1
3
1
3
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2
1
3
2
2
1
3
共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
34
12
34
12
12
12
34
34 12
34
12
12
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12
共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
演讲结束，谢谢大家支持
附PPT常用图标，方便大家提高工作效 率
生活
图标元素
医疗
图标元素
算一算
求下列各正多边形的各个内角度数：
正三角形
60o
正方形
90o
正n边形呢？
正五边形
108o
正六边形
120o
(n 2)180 n
创造美
拼一拼：分别用若干个正三角形、正方形、
正五边形、正六边形的纸片尝试镶嵌. 问题：这几种正多边形中,哪些能单独镶嵌平面， 哪些不能?你能说明其中的原因吗？
正三角形 正方形
正多边形平面镶嵌问题
It is applicable to work report, lecture and teaching
欣赏 美
研究美
不留空隙
不重叠
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留空 隙,也不重叠地铺成一片,这叫平面图形的镶嵌.
研究美
观察下面多边形，它们的边，内角有什么特点？
思考:(我1)们三把边各都边相相等等的，三各角内形角是也正相三等角的形多吗边? 形叫(做2)正四多边边都形相。等的四边形就是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形就是正方形吗?
人教版八年级数学上册数学活动——平面镶嵌(用多边形覆盖平面)课件
能镶嵌.
在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面 镶嵌？
用 n 表示正多边形的边数.
（2）用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
任意用一些形状、大小相同的三角形能否进行
平面镶嵌？四边形呢？
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时通过探索平面图形的镶嵌，让学生 知道任意形状的三角形、四边形或正六边形可 以镶嵌设计，提高了学生对三角形以及多边形 内角和与外角和等知识的综合运用能力与实际 操作中的动手能力.
镶（嵌2）.用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
课后作业
角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6 个正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
解：如图所示：
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
用正多边形教学平面镶嵌PPT课件
在一个工厂的废料堆里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块 的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是 不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些 边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们 说说行吗？
注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果
图案（Ⅰ）
每个顶点处正六边形2个，正三角形2个.
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
思考与延伸：
1、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？
正八边形与正方 形的平面镶嵌
2、如果用正三角形与 正十二边形，如何镶嵌？
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
合作探究3：
三种正多边形的平面镶嵌，你能拼出来吗？
正十二边形 与正方形、 正六边形的 平面镶嵌
发现二：
正多边形能进行平面镶嵌的条件是： （1）拼接在同一点的各角之和 为360度。
（2）相邻的多边形有公共边。
资料： 用正多边形进行平面镶嵌只有以下这
17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波 尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔 汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，
正多边形的镶嵌
陈晓春
图片欣赏
合作探究1：
以小组为单位，探讨一个正多 边形进行平面镶嵌的情况。
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形 正六边形
不能 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
60° 60°
平面镶嵌讲义(教师版)
平面镶嵌讲义2013.11 教学目标：1、知识技能：巩固对正多边形的有关概念、性质的理解，会用正多边形进行镶嵌；2、数学思考：通过观察、实验、分析、推理及动手操作，在合作讨论中，清晰表达自己的想法。
3、问题解决：用同一种或两种正多边形进行镶嵌的条件探索，获得分析、解决问题的一些方法。
4、情感态度：通过独立思考、合作交流、质疑反思感受知识的价值，获得学习的体验，培养严谨的科学态度。
重点：探究正多边形镶嵌的规律。
难点：学生通过实验、代数计算证明正多边形镶嵌中的规律。
教学过程设计说明一、联系实际、引出概念说一说上述图案都是由哪些基本平面图形铺成的？这些图形能铺成一个平面的一部分的共同特征是什么？形状、大小完全相同，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题。
人人都是设计家，今天同学们来设计一些地板图案：二、自主探索、探究结论问题1 用同一种正多边形能否进行平面镶嵌？如果能，共有几种？实验法：问题2除此之外，其它正多边形能不能镶嵌呢？试举例说明。
以正五边形为例，若在同一点摆放3个正五边形，那么一点处内角和小于一个周角，若摆放四个，则会有重叠。
通过展示收集到的一些地板的拼合图案，体会数学与生活的联系从特殊到一般通过实验或计算给出结论通过上面的实践，要想进行平面镶嵌，必须满足的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角时，就能进行镶嵌。
试一试是否还有其它方法来证明你们的结论？设用正x边形来镶嵌平面，共顶点处集中了n个正多边形的角．因为相邻的正多边形的边互相重合，所以共顶点的各个角之和必须等于360ο．故有等式(-2)180360,xnx⨯=解：（法一）化简并整理得224442,222x xnx x x-+===+---∵x≥3的整数，n是正整数，∴2x-=1，2，4．即x只能取值3，4，6；对应的值n为6，4，3．解：（法二）220nx x n--=∴(2)2(2)4x n n---=(2)(2)4x n--=∴242221,,212224x x xn n n-=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩∴643,,346x x xn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这就证明了只用同一种正多边形镶嵌平面，只存在三种方法。
多边形的镶嵌课件
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
2020/7/23
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
m4 m2 60m120n360n1,n2
2020/7/23
图案（Ⅰ）
2020/7/23
图案（Ⅱ）
60° 60°
4×108°＞ 360° 不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶嵌
3×135°＞ 360° 不能镶嵌
通过上面的探究我们来总结：如果只用 一种正多边形进行镶嵌，有哪些正多边 形可以进行镶嵌呢？
用一种正多边形进行镶嵌只有：正三角形、 正方形、正六边形三种情况。
2020/7/23
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
2020/7/23
2020/7/23
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平面图形的镶嵌：
用一种或几种形状、大小相同的平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺 成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面 图形的密铺。
2020/7/23
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
2020/7/23
探究总结： 用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合： 正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
2020/7/23
本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌
4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、 正方形、正六边形 6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 等
课题学习平面镶嵌
90°
90°
90°
90°
90°
（3）用正六边形进行镶嵌
120 °
1形进行平面镶嵌，为什么？
如果用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，可以有哪些组合？为什么？
如果用三种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，可以有哪些组合？ 正方形和正三角形 正三角形与正六边形的平面镶嵌
(3)多种正多边形的平面镶嵌
正十二边形与正三角形的平面镶嵌
正十二边形与正方形、正五边形的平面镶嵌
正八边形与正方形的平面镶嵌
练习题
1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。 A 正五边形 B 正六边形 C 正七边形 D 正八边形 2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶 点的周围有____个正三角形。 3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那 么在每个顶点的周围有____ 个正三角形和____个正六边形或 ____个正三角形和____ 个正六边形
2009年4月10日
7.4 课题学习 平面镶嵌
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景东二中 雷春富
演讲人姓名
下面的地板砖是用什么图形铺成的？为什么用这样图形能铺成无缝隙的地板呢？
把一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题称为多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
在这些图案拼成的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙.
活动2 正多边形的平面镶嵌
正方形和正三角形
①
②
120° 120° 60° 60° (2)正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅰ） 每个顶点处正三角形2个，正六边形2个。
(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅱ） 60° 60° 120° 60° 60° 每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
第23讲 多边形及平面图形的镶嵌
密云县） 练4（2010•密云县）一个多边形的内角和 （ 密云县 是外角和的2倍 是外角和的 倍，求这个多边形的边数 ？
“变式” 变式” 若一个多边形的内角和等于这个多边形外角和 那么这个多边形的边数是( 的k倍，那么这个多边形的边数是( C ) 2k－ 2k＋ 2k＋ 2k－ A．2k－1 B．2k＋1 C．2k＋2 D．2k－2
边
相等的多边形叫
判断： 判断： A、每条边都相等的多边形是正多边形（ ） 、每条边都相等的多边形是正多边形（ × B、每个角都相等的多边形叫正多边形（ ） 、每个角都相等的多边形叫正多边形（ ×
3、多边形的对角线
（1）从n边形一个顶点出发可以引
n-3
条对角线； 条对角线；
n(n-3) 2 n边形共有 条对角线
三、平面镶嵌
1.镶嵌：用一种或几种形状、大小完全相同的平面 镶嵌：用一种或几种形状、大小完全相同的平面 镶嵌 形状 图形进行拼接，彼此之间________、 不重叠 地铺 图形进行拼接，彼此之间 不留空隙 、________地铺 成一片，就是平面图形的镶嵌 镶嵌． 成一片，就是平面图形的镶嵌． 镶嵌满足的条件: 镶嵌满足的条件: 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360° 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 ° ________ ________ _______________
3、多边形的对角线 、
（1）从n边形一个顶点出发可以引 对角线，写出它的条数。
0
1
5
2
3
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗 ？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看： 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是 一个内角的倍数是否是360° 种正多边形的一个内角的倍数是否是 °， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60° 在正多边形里，正三角形的每个内角都是 ° 正四边形的每个内角都是90° ，正四边形的每个内角都是 °，正六边形的 每个内角都是120°，这三种多边形的一个内 每个内角都是 ° 角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每 角的倍数都是 ° 个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多 个内角的倍数都不是 ° 所以说： 边形里只有正三角形、正四边形、 边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可 以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌． 以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
平面镶嵌学习平面镶嵌形的构造
平面镶嵌学习平面镶嵌形的构造在数学中，平面镶嵌是指将若干个多边形拼接在一起，使得它们恰好填满平面且无重叠部分的一种方法。
平面镶嵌形广泛应用于几何学、拓扑学和计算机图形学等领域。
本文将深入探讨平面镶嵌形的构造方法和相关概念。
一、基本概念1.1 多边形：多边形是由若干条线段所组成的图形，每条线段的两个端点恰好相连，且相邻线段不能相交。
1.2 平面镶嵌形：平面镶嵌形由若干个多边形组成，这些多边形通过共享边界线段相连接，并且没有重叠部分。
二、平面镶嵌的构造方法2.1 正则多边形的平面镶嵌：正则多边形是指所有边和角均相等的多边形，如正方形、正三角形等。
这些多边形可以很容易地构造出平面镶嵌形，如正六边形的平面镶嵌由许多相邻的小三角形组成。
2.2 利用格子图形的平面镶嵌：格子图形是以格点为顶点，边长相等的正方形为边所形成的图形。
利用格子图形可以构造出一些规则且美观的平面镶嵌形，比如著名的棋盘格。
2.3 等边三角形的平面镶嵌：等边三角形是指所有边均相等的三角形。
通过将等边三角形按照一定规则组合，可以得到各种复杂的平面镶嵌形，如蜂窝状镶嵌等。
三、平面镶嵌的性质3.1 欧拉定理：欧拉定理是数学中与平面镶嵌相关的重要定理，它表达了平面镶嵌形中的顶点数、边数和面数之间的关系。
具体而言，对于平面镶嵌形，有公式V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
3.2 对偶性：平面镶嵌形的对偶性是指将一个平面镶嵌形的顶点和面互换，得到的新图形仍然是平面镶嵌形。
通过对偶性，可以将一些难以观察的性质转化为更易研究的形式。
四、平面镶嵌的应用4.1 装饰设计：平面镶嵌形具有美观和艺术性，因此被广泛运用于装饰设计领域。
例如，将不同颜色和图案的多边形进行镶嵌，可以制作出独特的地板、墙面等装饰效果。
4.2 纺织品设计：纺织品设计中也常用到平面镶嵌形的构造方法。
通过合理的拼接和镶嵌，可以使纺织品呈现出丰富多样的图案和纹理。
帮你学习多边形的角与平面图形的镶嵌
帮你学习多边形的角与平面图形的镶嵌一、学会探索多边形的内角和与外角和：多边形是生活中常见的图形，认识多边形有关知识要从多边形的基本概念入手。
1．多边形的概念：在平面内由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的平面图形叫做多边形。
注意：①“在平面内”将多边形的所有顶点、所有边限定在了同一个平面内，说明我们要认识的多边形是平面图形；②“若干条不在同一直线上的线段”，可以是3条、4条、5条……n 条，依次构成三角形、四边形、五边形……n 边形，但两条线段不能构成多边形，理解这一点还要注意，我们过去学过的三角形、四边形也是多边形。
2．多边形的对角线：在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
注意：n 边形(3)n ≥从一个顶点可以引出(3)n -条对角线，n 个顶点就是(3)n n -条，但是每一条都重复计算一次，因此n 边形共有(3)2n n -条对角线。
3．正多边形的概念：在平面内，内角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形。
注意：①在同一平面内；②内角都相等；③各边都相等是正多边形的三个缺一不可的条件。
在同一平面内，各边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形；各角都相等的多边形也不一定是正多边形，如矩形。
4．多边形的内角和：从正多边形的一个顶点出发引出该顶点处所有的对角线可以引出(3)n -条对角线，这些对角线将多边形分成了(2)n -个三角形（如图），因此：n 边形的内角和为0(2)180n -g。
注意：此结论的推导还有很多方法，如在多边形内任选一点，连结这点与各顶点，构成n个三角形，可求出内角和；在边上取一点也可以求出内角和等；另外，多边形的内角和随多边形的边数的改变而改变。
5．多边形的外角和：（1）定义：在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。
（2）性质：多边形的外角和等于3600。
注意：多边形的外角和是一个定值，无论多边形的边数是几，其外角和都是3600。
平面镶嵌 ppt课件
多边形内角和定理是什么？
(n-2)×180°（n为不小于3的整数）
多边形外角和定理是什么？
任意多边形的外角和都为3600
正多边形的每个内角的度数怎么求？
正n边形的每一个内角都等于(n2) 1800或 180o 360o
n ppt课件
n1
ppt课件
2
目标引领：
1、了解平面镶嵌的含义，掌握哪些平面图形 可以平面镶嵌及镶嵌的理由 2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个 三角形、四边形或者正六边形可以镶嵌，并进行 简单的镶嵌设计
ppt课件
15
2.四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+∠D =360°, 所以用四边形也可以作平面镶嵌.
D C
A
B
ppt课件
16
ppt课件
17
发现: 用一种形状、大小完全相同
的三角形,四边形也能进行平面 镶嵌.
ppt课件
18
引导探究
1.商店出售下列形状的地砖:①正方形;② 长方形;③正五边形;④正六边形.若只选 择其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的 地砖共有( )
成地板的面积是( )
40cm
ppt课件
39
强化补清
作业56页内容
ppt课件
40
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17
组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波 尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿 尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图
样，真是令人叹为观止。
ppt课件
41
思考题
2m+5n=12
∵m、n为正整数
m=1 ∴解为 n=2
19.4综合与实践多边形的镶嵌2
1.都是全等的正多边形（所有多边形边相等）. 2.每个内角都能整除 360o.
探究活动二 ：
用一种任意多边形作平面镶嵌
一种形状、大小完全相同的任意三角形的平面镶嵌
通过探究我发现：
1.任意全等的三角形_可__以__平面镶嵌. 2 . 拼 在 一 起 的 边 要 _ _相_ _等_ _ 。 3.在每个拼接点处有__6_个角，共有__3_对相等的角， 而这_6__个角的和恰好是这个三角形的内角之和的 _2__倍,也就是它们的和为3_6__0_°.
C、5
D、6
3、下列正多边形的组合中,不能镶嵌的是( D ) A.正方形和正三角形 B.正方形和正八边形 C.正三角形和正十二边形 D.正方形和正六边形
4.用两种正多边形镶嵌,不能与正三角形匹配的正多边形是(D ). A.正方形 B.正六边形 C.正十二边形 D.正十八边形
5.边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能 镶嵌成平面的是( B ) ①正三角形;②正五边形;③正六边形;④正八边形 A.①② B.②③ C.①③ D.①④
正三角形与正十二边形的平面镶嵌
一个顶点处1个正三角形和2个正十二边形
正方形与正八边形的平面镶嵌
一个顶点处1个正方形和2个正八边形
正五边形与正十边形可以平面镶嵌吗?
课外探究 ：
三种不同的正多边形平面镶嵌
正三角形、正方形与正六边形的平面镶嵌
.
一个顶点处1个正三角形，2个正方形和1个正六边形
正方形、正六边形与正十二边形的平面镶嵌
课堂小结 ：
镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
能进行平面镶嵌的条件是：
1.相邻的多边形有公共边 (拼在一起的边要相等)
综合与实践多边形镶嵌沪科讲课文档
现在一页，总共三十六页。
好漂亮的地板!这是怎么铺设 的?一点空隙也没有.
现在二页，总共三十六页。
现在三页，总共三十六页。源自现在四页，总共三十六页。现在五页，总共三十六页。
现在六页，总共三十六页。
课题学习 镶嵌
现在七页，总共三十六页。
定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的 一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌。 镶嵌也叫密铺。
2个正五边形+1个正十边形 现在二十五页，总共三十六页。
（五）正三角形与正十二边形
1个正三角形+2个正十二边形 现在二十六页，总共三十六页。
收获
当拼接点处的所有角之和是360º时， 就能拼成一个平面图形。
思考：
能否用三种正多边形，如用正三角形 ，正方形，正六边形（边长相同）能 铺满地面？
现在二十七页，总共三十六页。
m·60° +n·90° =360° 2 m+3 n=12
∵ m,n 为正整数
m=3
∴解为 n=2
现在十九页，总共三十六页。
3个正三角形+2个正方形
现在二十页，总共三十六页。
（二）正三角形与正六边形
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六
边形的角，则有
m·60° +n·120 °=360°
时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。 当边数越大时，内角和也越大，更不符合
要求，因此边数大于4的一般多边形不可 以平面镶嵌。
现在三十五页，总共三十六页。
结论：
1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域， 需使得拼接点处的所有角之和等于360°。 2.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌
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多边形&平面镶践
我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.
3、用两种或两种以上的正多边形拼地板问题
我们已经知道，有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.
【习＜14 5依】
_、选择题：
Ln边形所有对角线的条数是（）
，啰
2.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（
B. 2k+l
C. 2k+2
D. 2k-2
3.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是2520°,那么原多边形的顶点数为（
4.下列命题中，正确的有（）
%1没有对角线的多边形只有三角形
%1内角和小于外角和的多边形只有三角形
%1边数最少的多边形是三角形
%1三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5.某中学新科技馆铺设地面，己有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）
A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形
6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）
A正方形B矩形C正八边形D正六边形
7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（）边形.
A.三B、五C、六D、八
8.下列图形中，不是凸多边形的是（）
A
、
8
B
、9
C
、10
D
、
11
A. 1种
B.2种
C.3
种 C. 4种
用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m 个正三角形、n
个正六边形，则m, n 满足的关系式是
（
A. 2m+3n=12
B. m+n = 8
C. 2m+n=6
D. m+2n=6
L 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是
边形.
2.多边形的边数增加一条时，其外角和
,内角和增加 4 .正八边形的外角和是 ，每个内角是 5. 一个多边形有14条对角线，则这个多边形的内角和是
6
.如图 7-3-2,己知四边形 ABCD 中，Z1=Z2, Z3=Z4,匕5二匕6, Z7-Z8,
则 ZE+ZF=
7.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成
一个
时，就拼成一个平面图形.
8.能用
种正多边形拼成地而 — —,•
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9.如图用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面, 观察图形并猜想填空；当黑色瓷砖为20块时，白色
瓷砖为
块；当白色瓷砖为Y 块时，黑色瓷砖为
9. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（
10. 在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下
图中的哪一块布料才能使其与图（1）拼接符合原来的图案模式？（
）
11.
用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有（ ）
%1. 填空题:
3.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则（nrk ）” A D
的
C
%1.解答题
1.一个五边形的五个外角的读数比是1 ： 2 ： 3 ： 4 ： 5,求这个五边形的五个内角的度数比.
2.两个正多边形的边数之比为1：2,内角和之比为3： 8,求这两个多边形的边数、内角和
3.一个多边形出一个内角外，其余个内角的和为2030°,求这个多边形的边数.
4.已知ZABC的边BA、BC分别于ZDEF的边ED、EF垂直，垂足分别是M、N,且NABC二70。
,求NDEF的度数。