高考数学二轮复习 专题八 第1讲 几何证明选讲配套课件 理
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AB＝6，AC＝4，AD＝12，BE的长为___4___2__.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，
∴CD＝8 2.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴AADB＝CBDE，∴BE＝ABA·DCD精＝品 6×182 2＝4 2.
15
热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用
答案 3∶2
精品
13
含斜边上的高的直角三角形是相似三角形来自百度文库的基本
图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题
提供了许多可以利用的有效信息.另外，直角三角
思
维 形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中
升 华
的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分
简捷.
精品
14
变式训练1
如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且
精品
16
由条件，得∠PCA＝∠PBC， 又∠P＝∠P， 所以△PCA∽△PBC.
所以ABCC＝PPCB.
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°. 又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.
所以 tan∠ACD＝tan B＝ABCC精＝品 PPCB＝186＝21.
17
因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°. 又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.
例2 如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA 的 延 长 线 上 一 点 ， PC 切 ⊙O 于 点 C ， CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，则 tan∠ACD和sin P的值为________.
解析 连接OC，BC.
因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.
故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.
精品
5
(3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项. 2.(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
精品
6
3.(1)圆内接四边形的性质定理 ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个 顶点共圆.
精品
7
4.(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
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8
(5)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项. 5.证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式 中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进 行线段替换或等比替换.
所以 sin P＝OPOC＝160＝35. 答案 12，35
精品
18
(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三
角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数
值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比
思 值.
维 (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，
升 华
在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、
精品
20
又AAEC＝AADC⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2 6， 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3. 答案 2 3
精品
3
主干知识梳理
1.(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个 角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似. 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边 和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似.
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4
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三 条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三 角形相似. (2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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9
6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相 等的角，找相似三角形，从而得出线段的比.由于圆幂 定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在 解题中的应用.
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10
热点分类突破
➢ 热点一 相似三角形及射影定理 ➢ 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、
切线长定理的应用 ➢ 热点三 圆的有关性质的综合应用
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11
热点一 相似三角形及射影定理
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90° ， CD⊥AB 于 D ， 且 AD∶BD ＝ 9∶4，则AC∶BC的值为________.
解析 方法一 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， 所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
所以(ABCC)2＝ABDD··AABB＝ABDD.
专题八 系列4选讲
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1
第 1讲 几何证明选讲
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
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2
本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及
圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦
考 切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分
情
解 内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合 读 性考题，考查逻辑推理能力.
相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系.
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19
变式训练2
(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆 O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切 线 交 AD 于 E. 若 AB ＝ 6 ， ED ＝ 2 ， 则 BC ＝ ____________.
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形. AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，
又AD∶BD＝9∶4，所以AC精∶品 BC＝3∶2.
12
方法二 因为AD∶BD＝9∶4， 所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋. 又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， 由射影定理，得CD2＝AD·BD， 所以CD＝6k.
由勾股定理，得 AC＝3 13k和 BC＝2 13k，
所以AC∶BC＝3∶2.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，
∴CD＝8 2.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴AADB＝CBDE，∴BE＝ABA·DCD精＝品 6×182 2＝4 2.
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热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用
答案 3∶2
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13
含斜边上的高的直角三角形是相似三角形来自百度文库的基本
图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题
提供了许多可以利用的有效信息.另外，直角三角
思
维 形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中
升 华
的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分
简捷.
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14
变式训练1
如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且
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16
由条件，得∠PCA＝∠PBC， 又∠P＝∠P， 所以△PCA∽△PBC.
所以ABCC＝PPCB.
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°. 又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.
所以 tan∠ACD＝tan B＝ABCC精＝品 PPCB＝186＝21.
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因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°. 又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.
例2 如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA 的 延 长 线 上 一 点 ， PC 切 ⊙O 于 点 C ， CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，则 tan∠ACD和sin P的值为________.
解析 连接OC，BC.
因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.
故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.
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(3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项. 2.(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
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3.(1)圆内接四边形的性质定理 ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个 顶点共圆.
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4.(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
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(5)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项. 5.证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式 中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进 行线段替换或等比替换.
所以 sin P＝OPOC＝160＝35. 答案 12，35
精品
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(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三
角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数
值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比
思 值.
维 (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，
升 华
在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、
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又AAEC＝AADC⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2 6， 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3. 答案 2 3
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3
主干知识梳理
1.(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个 角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似. 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边 和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似.
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判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三 条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三 角形相似. (2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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9
6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相 等的角，找相似三角形，从而得出线段的比.由于圆幂 定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在 解题中的应用.
精品
10
热点分类突破
➢ 热点一 相似三角形及射影定理 ➢ 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、
切线长定理的应用 ➢ 热点三 圆的有关性质的综合应用
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11
热点一 相似三角形及射影定理
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90° ， CD⊥AB 于 D ， 且 AD∶BD ＝ 9∶4，则AC∶BC的值为________.
解析 方法一 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， 所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
所以(ABCC)2＝ABDD··AABB＝ABDD.
专题八 系列4选讲
精品
1
第 1讲 几何证明选讲
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
精品
2
本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及
圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦
考 切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分
情
解 内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合 读 性考题，考查逻辑推理能力.
相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系.
精品
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变式训练2
(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆 O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切 线 交 AD 于 E. 若 AB ＝ 6 ， ED ＝ 2 ， 则 BC ＝ ____________.
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形. AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，
又AD∶BD＝9∶4，所以AC精∶品 BC＝3∶2.
12
方法二 因为AD∶BD＝9∶4， 所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋. 又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， 由射影定理，得CD2＝AD·BD， 所以CD＝6k.
由勾股定理，得 AC＝3 13k和 BC＝2 13k，
所以AC∶BC＝3∶2.