格林公式及其应用
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
o
Dn x
n
Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
dx
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1
2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
格林公式及其应用
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
格林公式求面积
格林公式求面积格林公式是一种计算多边形面积的方法，适用于各种形状的多边形。
本文将介绍格林公式的原理和应用，并通过实例演示如何使用格林公式计算多边形的面积。
一、格林公式的原理格林公式是基于向量叉乘的原理，其核心思想是将多边形划分成若干个小三角形，然后计算每个小三角形的面积并求和，最终得到整个多边形的面积。
二、格林公式的应用格林公式适用于各种形状的多边形，包括凸多边形和凹多边形。
使用格林公式计算多边形的面积需要知道多边形的顶点坐标，然后按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形。
三、格林公式的计算步骤1. 根据多边形的顶点坐标，按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形；2. 遍历多边形的每条边，计算该边与x轴的夹角，并计算该边的长度；3. 根据向量叉乘的原理，计算每个小三角形的面积；4. 将每个小三角形的面积求和，得到整个多边形的面积。
四、格林公式的实例演示假设有一个四边形，其顶点坐标依次为A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 3)，D(0, 3)。
按照顺序连接这四个顶点，形成一个封闭的四边形。
计算AB边与x轴的夹角为0°，长度为2；计算BC边与x轴的夹角为90°，长度为3；计算CD边与x轴的夹角为180°，长度为2；计算DA边与x轴的夹角为270°，长度为3。
然后，根据向量叉乘的原理，计算AB边和BC边所形成的小三角形的面积为(2 * 3) / 2 = 3；计算BC边和CD边所形成的小三角形的面积为(3 * 2) / 2 = 3。
将每个小三角形的面积求和，得到整个四边形的面积为3 + 3 = 6。
五、格林公式的优缺点格林公式的优点是适用于各种形状的多边形，计算结果较为准确。
缺点是需要知道多边形的顶点坐标，并按照一定的顺序连接这些顶点，这在实际应用中可能会带来一定的困扰。
六、结语格林公式是一种计算多边形面积的常用方法，通过将多边形划分成小三角形并计算每个小三角形的面积，可以得到整个多边形的面积。
高等数学-格林公式及其应用
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
格林公式的应用
格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。
格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。
2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。
（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。
（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。
（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。
（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。
- 1 -。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
《格林公式及其应用》课件
特殊型格林公式
特殊形式的格林公式适用于计算具有特殊形 状的曲线或曲面上的积分，如圆形、椭圆形 等。
格林公式的应用
1 线积分的计算
通过格林公式，我们可以计算曲线上的积分，从而得到与曲线相关的物理量，如流量、 环流等。
2 面积的计算
利用格林公式，我们可以计算平面上的闭合曲线所围成的面积，为测量和计算提供了方 便。
3 体积的计算
基于格林公式，我们可以计算由曲线围成的立体图形的体积，为求解三维图形的体积提 供了便利。
格林公式的计算方法
1
极坐标系下的计算方法
当曲线在极坐标系下表达时，我们可以利用极坐标的性质，简化格林公式的计算 过程。
2
直角坐标系下的计算方法
当曲线在直角坐标系下表达时，我们可以借助直角坐标系的符号和定义，求解格 林公式中的各个参数。
格林公式及其应用
本课件介绍格林公式的形式、应用场景及计算方法，以及灵活应用格林公式 的技巧。让我们一起探索格林公式的奥秘！
什么是格林公式
格林公式是一个在向量分析中常用的定理，它将二重积分与线积分、面积积分联系起来。了解它的基本 原理对于理解多变量微积分至关重要。
格林公式的形式
一般型格林公式
一般形式的格林公式在计算线积分与面积积 分时特别有用，它将曲线的内部区域与曲线 的边界联系起来。
例题分析
给定一个曲线和一个区域，我们将应用格林公式来计算相关的积分和物理 量，以解决问题。
总结
格林公式的优势与不足
格林公式在解决某些问题中非常有用，但在特定场景下可能有其局限性，我们需理解其应用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围和限制。
如何灵活应用格林公式
学习了格林公式的基本原理和计算方法后，我们可以尝试将其巧妙应用于实际问题中，创造 性地解决难题。
§2 格林公式及其应用
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
5 格林公式及其应用
L
P d x Qd y 0 .
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.
L
P d x Qd y
的全微分,
(iii)
是 D 内是某一函数 即 d u ( x, y ) P d x Q d y
(iv) 在 D 内处处成立
P Q . y x
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 由条件(iv), 在 D 上处处成立
D
P Q y x
利用格林公式 , 得
Q P L P d x Q d y ( x y )d xd y 0
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy
x0 y
u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
y0 x0
应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
AO ,
原式
L AO ( x 3 y) dx ( y x) d y 2 2 ( x 3 y ) d x ( y x) d y OA 4 2 y 4 d xd y x dx L 0 D
格林公式及其应用
格林公式及其应用格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。
它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。
格林公式的一般形式如下：$$\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partialQ}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。
格林公式的应用有以下几个方面：1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。
通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。
2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。
将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。
3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲线的曲面的面积。
再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以得到该曲面的体积。
4.计算电场：格林公式在物理学中应用广泛，特别是在电场计算中。
当电场满足一些条件时，可以通过格林公式计算出电场的其中一参数。
例如，在静电学中，可以通过格林公式计算电场的电势差，从而得到电场的分布。
5.计算流体的流量：格林公式在流体力学中也有重要应用。
通过格林公式，可以计算流体从一个闭合曲面流出的流量，从而得到流体的流速和流量。
十五讲格林公式及其应用-一连通区域省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
y
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy . ( x, y )
所以
O
u( x x, y) u( x, y)
M(x, y) N(x x, y)
M0 ( x0 , y0 )
x
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy
x x
P( x, y)dx .
( x, y )
x
由定积分中值定理，得
u( x x, y) u( x, y) P( x x, y) x,(0 1).
所以得到 u P( x, y) . x
同理可证 u Q( x, y) . y
即条件(2)是充分旳 .
若 P Q , y x
则 Pdx Qdy B( x1 ,y1 ) A( x0 , y0 )
其中 具有连续的导数，且 (0) 0，计算曲线积分
(1,1)
xy2dx y ( x)dy . (0,0) 解 P( x, y) xy2 , Q( x, y) y ( x),
P ( xy2 ) 2xy , Q [ y ( x)] y ( x),
y y
x x
由积分与途径无关可知 P Q . y x
L
记 D 由 L 和 l 所围成. 1
应用格林公式,得
l D1
or
x
xdy ydx xdy ydx 0,
L x2 y2
l x2 y2
xdy ydx xdy ydx
L x2 y2
l x2 y2
y
L
D1
l
or
x
2 r 2 cos2 r 2 sin2 d
0
r2
( 其中 l 旳方向 取逆时针方向 )
格林(Green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
格林公式及其应用
u 5x4 3xy2 y3
x
u
3x2 y 3xy2
y2
y
由(1)得
u (5x4 3xy2 y3 )dx
（1） （2）
x5 3 x2 y2 y3 x ( y)
2
第29页/共33页
u 3x2 y 3 y2x + '( y)
y
由(2)得 '( y) y 2
( y) y2dy y3 C 3
y x
C
Pdx Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
0dxdy
D
0
第3页/共33页
y
G
C
即 C Pdx Qdy 0
D
曲线积分 L Pdx Qdy
在 G 内与路径无关 (命题）
x
2、必要性（反证法） 假设至少有一点 M0 G
使得
(
Q x
P y
)|M0
0
不妨设
(
Q x
P y
)|M0
0
第4页/共33页
M0
有 Q P
x y 2
x 记 K 的边界曲线为 (方向取为
K 的边界曲线正向），则由格林公式，得
K
2
PdxddxyQd2yKdxKd(yQx
2
P y
)dxdy 0
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y
G
U(M0)
K
M0
即 Pdx Qdy 0 曲线积分 L Pdx Qdy
在 G 内与路径无关
由命题，得
= lim
x0
1 x
MN
P( x,
y)dx Q( x,
y)dy
格林公式应用
格林公式应用
格林公式是一种将面积、体积或曲面积分转化为线积分和一般积分的定理，在物理学、数学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：
1.计算曲面积分：使用格林公式可以将曲面积分转化为线积分，从而简化计算，例如计算电场、磁场的曲面积分。
2.计算曲线积分：格林公式可以将曲线积分转化为一般积分或区域积分，用以计算流量、功率、电荷等。
3.流量计算：流量是指液体或气体在单位时间内通过单位面积的空间的体积，通过使用格林公式可以将流量计算转换为曲线积分，从而得到精确的流量值。
4.温度计算：格林公式可以将温度计算转化为线积分，从而得到空间内各点温度的变化情况。
这在热力学、气象学等领域中有广泛的应用。
5.电路理论：格林公式可以用来计算感性电路、电容性电路等的电流和电容等参数。
6.分析力学：格林公式可以用来计算刚体的动量、动能、力矩等物理量。
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x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y c
CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解： 添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
(2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2
D1
L
Dn
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
(1)
其中L取正向．
公式(1)称为格林公式．(Green formula)
证明: (1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c 2 ( y ) Q Q d 则 D x d xd y c d y 1 ( y ) x d x o a
解：添加辅助线 . OA
ma 2 I . 8
y
L D
o
Ax
例31.6. 计算 的分段光滑正向闭曲线. 解：记 L 所围区域为D,
其中L为一无重点且不过原点
y
L
D
当(0,0) D 时,
o
x
当(0,0) Dபைடு நூலகம்时, 在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , y
取逆时 针方向,
3. 格林公式的应用
(1) 利用线积分计算平面区域的面积
若平面有界闭区域 由若干条分段光滑的闭 D 曲线围成 ,
1 则D的面积 A ydx xdy , 其中 L取正向． 2 L
L
L D
圆面积． 例31.1 试利用格林公式计算椭
x2 y2 解： 设椭圆区域D : 2 2 1, a b x2 y2 其边界曲线 : 2 2 1, 取逆时针方向． L a b
l
2
L
o D1
x
例31.7. 设AB为连接A(1,2)与B(2,3)的某光滑曲线弧，
不经过y轴, 不与直线段AB 内部相交计AB与AB所围成区域 .
y 1 的面积为 K , 求I 2 dx ( x )dy. AB x x
解： (1) AB在AB下方时，I 2 K;
(2) AB在AB上方时，I 2 K.
L
x2 y2 其中L是椭圆 2 2 1, 取逆时针方向 . a b
解： I 3ab3 .
例31.5
计算线积分
I
ANO
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy ,
其中A(a,0),O(0,0),而ANO是沿上半圆周 2 y 2 ax, ( y 0). x
引入了位势函数，他说：“这样的函数以如此简单的形 式
给出电荷基元在任意位置受力数值.由于它在下文中频繁 出现，我们冒味地称其为属于该系统的位势函数，它显
然是所考虑的电荷基元P的坐标的函数.”在该书中还包含
了他首先发现的展布在一个平面区域上的二重积分与沿
这个区域边界的曲线积分之间的关系（即数学分析中有
即二重积分与曲线积分的联系，这就是我们所要讲 授的Green 。
2. 区域连通性的分类
(1) 单连通区域(俗称无“洞”区域)
设D为一平面区域，若 中任一闭曲线所围成的 D
部分区域都属于 , 则称D为平面单连通区域 D ..
(2) 复连通区域(俗称有“洞”区域)
不是单连通区域的平面 区域称为平面复连通区 域．
空间二维单连通域
Q P x y d xd y Pd x Qd y D L
3. 格林公式应用
简化线积分计算, 平面图形的面积.
L取正向 .
格林（Green,1793-1841），是英国数学家、物理学家.
1793年7月14日生于诺丁汉；1841年5月31日卒于剑桥.
y2
xe BO OA AB
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
注: 本题也可以采用二重积分方法计算.
三．小结
1. 区域与边界正向： 平面单连通区域（无“洞”区域） 平面复连通区域（有“洞”区域） 区域边界的正向 空间一维单连通区域 2. 格林公式
P dx Qd y
L
(3) 若区域不止由一条闭 曲线所围成.添加直线 AB,CE. 则 D 的边界曲线 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
Q P 由(2)知 ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E D
L2
B
A
L1
C F
{ AB L BA AFC CE L EC CGA } ( Pdx Qdy)
A(a ,0)
N
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
a a 1 2 0 xdx 6 a . 4
(2)
简化曲线积分的计算
将较复杂的曲线积分计算转化为被积分函数较简单 的二重积分计算．
分 例31.4 试用格林公式计算线积
I ( xy 2 4 y 3 )dx ( x 2 y sin y )dy
名的格林公式）.但由于这份小册子印数不多，传播范围 不广，未引起人们的注意.十几年后威廉.汤姆（William
Thomson）发现了这本小册子，并认识到它的巨大价值， 于1850年将它推荐发表在《纯粹与应用数学杂志》上， 但这时格林已去世10年.
格林的父亲去世后，一些好友鼓励他到大学去深造，
他经过4年的自学，将其初等教育中的空白填补后，在 1833─当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大 学科尼斯学院学习，4年后毕业获学士学位，毕业时数学 成绩名列第四.1839年被聘为剑桥大学教授，并被选为剑 桥冈维尔—科尼斯学院评议员
还发表了关于流体平衡定律、关于n维空间中的引力
及关于流体受椭球体振动而引起的运动等论文.他在 1828年的论著里，毫不犹豫地考虑了n维位势问题， 关于这个理论，他说“已经不再像过去那样局限于三维 空间了.”他率先发展n维分析，在研究波管道中的传播 问题时，讨论过用发散级数来解微分方程的方法. 格林在学术研究中反对门阀偏见.在分析引入英国 后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国
格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念其 意义远远超出了解位势方程，他首次研究了与求解 数学物理边值问题密切相关的特殊函数─格林函数. 格林函数现已成为偏微分方程理论中的一个重要概 念和一项基本工具.格林还发展了能量守恒定律，将 其运用于变形弹性体，得出了弹性理论的基本方程. 格林在光学与声学领域也很有成绩，其中关于光在 晶体中的反射和折射的研究具有特别重要的意义.他
y
B
D
O
OA : y 0, x : 0 2a.
A 2 a
x
1 面积 A ydx xdy 2 L
1 1 1 0 3a 2 . 2 ABO 2 OA 2 2
例 31.3 计算抛物线( x y ) ax(a 0)与 x 轴所围成的面积.
D
（单连通区域）
D
（复连通区域）
(3) 空间连通区域 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
(4) 简单闭曲线
数学家.他的工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中 包括了近代很多伟大的数学物理学家，如汤姆孙、斯托克 斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等. 格林留下的著作于1871年汇集出版.为数虽然不多，但 在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，以他的姓氏命
名的格林函数、格林公式、格林定律、格林曲线、格林测
2
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
( L L L )( Pdx Qdy) 2 3 1
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
说明:
(1)格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的 积分与二重积分之间的联系.
(2) 便于记忆形式:
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q