柯西积分公式课件

补充题：
ez 计算积分 dz, C : z r (r 1, 2) C z ( z 1)( z 2)
C2 C1
1
C3
2
0
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谢谢！
K
f ( z0 ) dz (随着 减小) z z0
K
1 f ( z0 ) dz 2 if ( z0 ). dz f ( z0 )K z z0 z z0
三、典型例题
f (z)
f (z) C z z0 d z =2 π i f ( z0 )
sin z 例1. dz , 其中C : z i 1. C z i
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分 公式
微分方程
物理问题
二、柯西积分公式
内处处解析， 定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z 在区域D
C为D内的任何一条正向简单闭曲线， 它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f ( z) f ( z0 ) dz C 2 π i z z0
C
解：z i是被积函数在C内唯一奇点，
而sin z在复平面上处处解析,
y
i
O
C
x
所以，f z sin z, z0 i,
原式=2 i sin z z i
2 i sin i.
f (z) C z z0 d z =2 π i f ( z0 )
例2.

C
1 dz, 其中C : z 1 1. 2 z 1
C : z 2
解： 而两个奇点只有z 1在C内， 被积函数有奇点1和-1，
f (z)
1 原式= z 1 dz C z 1 1 2 i z 1 z 1
yy
C2
i
-1 -1
C C1 C O O
1 1
2
x x
四、小结：使用柯西积分公式的关键
主要用于计算一些被积函数形如 F z
f z z z0
f z z z0
的周线积分；
z z0 是被积函数 F z
在 C 内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z 在 C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
五、布置作业
课本 P143 10,12.
z0
D
---解析函数可用复积分表示。
f (z) 或 d z =2 π i f ( z0 ) C zz 0
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f ( z )在 K 上 的值将随
着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C
K
z0
D

而
K
f (z) dz将接近于 z z0

一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z 在闭域D上解析， C为D的边界，则
f z dz 0
C
D
z0
y
C
如

C
sin zdz 0 ,
C : z i 1
如果被积函数在D内有奇点，怎么办
i
O
C
如
sin z C z i dz 0 , C : z i 1
x
(A. Cauchy,法,1789-1857)