08-不定积分的第一类换元法课件

cos u d u =sin u u=2x
u=2 x
=sin 2x + C ・
■
J--- 例 求积分
dx・
解 f 土dx3=I f2 x2 - 土(3 Edx
u u f f^(xW(x)dx = j/( )d
]
」
u*()
f — d x = In | x | +C
Jx
f=- -d u 2 =—In u + C 2 j u u=3+2x 2
=2 J1 - x x ,
所以
J 2J1- dx〉x = XA-/1x七 + arcsin x + C ・
。 定理 设函数f (x)有原函数F(X)，且u =
(对可导，
则
j “ R j f (x)]
(jxf)d(u)xd =u = FF(u)皿+ C对]+ C = f
(u)d 4 寸(x)
证 因为函数f (u)有原函数F(u),即
解
dx二
丄J
aJ
[ —d x 二 arcsin x + C
j > 例求积分 J 2 d x (a
0)-
1 Ld x
arcsin x + C
a
.
J 例求积分
d x (a丰0)・
解因为 一2 1
1 (1
1 \ ,所以
1
d
xx
一2a
=—
vx 一
f—1—d
ax+a 丿
x ———f—1—d
x
~2 2
a
x一
a
1 2a
2a[a)—^xx1—一- ad(
2 a^ x
x - a) -
a
[+—1a—d(+」x +ax
—(ln| x - a
2a 1
—In x + a ) + C
例求积分［~
dx x
（一a壬0）・
解因为
一2
x
a
(1
1一2a v x 1一
1\
ax+a 丿
,所以
1 d ax = — f—1—d x ———f—1—d x
=In | x + 2 | +
x +? 22+(xC+・u2u) C .
注意到,
d[^(x)] =(p\x)dx ,
R ^ 卩皿 x )]
(x 郁 x = F [ ( x )] + C
注意到,
因此，公式也可写成
J ” J ^ " ° 例如f (X W(x) d x = /[ (x)]d (x)] = F[ (x)]
f x (1 + 2ln x) =2\nf|11++ 22llnnxx|+C .
2
1 _1 1
(1 + 2ln x)，=-
■
x (1 + 2ln x) x 1 + 2ln x
x
例求积分
J 解 'd x
d x・
? =2 J
伝 d（
WX）
”），=金
■
J 例
解 求积分 x 1 2 d x.
(x3 +2)' = 3x 2
—
2a
+ C （a 尹 0）；
—
—
d — = arcsin— + C （a
尹 0）. -—2 a
=—ln|3 + 2x| + C .
一般地
当被积函数形式为f (ax + b)时，总可作变换 u - ax + b，
如果f (x)有原函数F(x)，则
=1F(ax + b) + C (a 丰
J 0). a f (ax + b)d x
Xx
J 例求积分 异dx -
解
r x2
r [(x + 2) - 2]2
则
J ^ " J = f [ ( x )] ( x ) d x
u=甲(x)
f (u ) d u
辺(x)
f分 2cos2xdx.
\ [ \ f ^(x)]^(x)d x = f (u)d u 例求积
u=9(x)
cos x d x = sin x + C
J J 解 2cos2 x d x = cos2 x (2 x )，d x
羸不定积分的
第一类换元法
The first type of Substitution in Indefinite Integrals
第一类换元公式
因为 所以
(1 ¥ .
——cos2x = sin
2x ，
"2丿
sin 2x d x
=——cos2x
+
C・
J
2
因为
(x』1 - xx + arcsin x)' =y/1 - x2 ——X + . 1
例 求积分J—1 dx .
1 d x =arctan x + +
1 + x2
9+x
』 解
1
9 + d x=9
x2
』 d x=3
1
r x \2
d
rx\
13丿
1 +13丿
1
3+c.
=一
a
1 丰---
1 0d）x
=1
a+
—xarc八ta3anr—c,ta+n
xaa
z
C（
■
i
J Ji _ F
J 例 求积分 守二? dx色〉0)・
』 1= (X+23 d X
(x
+
(x
+
f
2)
dx
2)3
例求积分』后dxx x-
解令x + ຫໍສະໝຸດ Baidu = u，则
Jr x x
d
(•
x
(=u
—
2)2
r u 2 — 4u
d u3==“ J
+
3
4 du
+ ) (x
2)3
J
1
4
u 4
u
= ---2 + T
d u In | u
u u u丿
42
+---2 +
lie 4
~2 2
x一
a
2 a^ x - a 2 a^ x + a
1
[—1—d( x - a) - [—1—d( x +
a) x — a
」x + a
2a
丄 =
m| 二 I + C.
2a x + a
■
例 求积分f---1---dx・
f x(1 + 2lnx)
1
11
解 f----------d x = f-------d(1 + 2ln x)
J F'(u) = f (u)，
f (u )d u = F(u) + C .
由复合函数的求导法则，得
u =中侦)可导
d
^ " d x
因此 F[
= = (x)] Ff[^(xW(x) f
(x)](pf(x)，
dx =
+ C・
■
第一类换元法 举例
定理 设函数f (x)有原函数F(x)，且u =(p(x)可导,
1 dx = 2JA 3+
=|ln|3 + 2x | +C .
2x
凑微分法
， ^求积分
2x.
f f 解 2 x ex2d x =
e
x 2
=e x2 + dC( .x2)
■
例
解
一 x2)2 d(1 - X2)
=_ 1(1 - x2)：
+ C.
3
■
j J X f (X2)dx = 5 f (X2)d(x2)
______________
1
1
x 2V x3 + 2 d x = - J( x3 +
2)3 d( x3
+
1 2)
=4-(x3
+4
2)3 +
C.
■
小结
1. 不定积分的第一类换元公式； 2. 第一类换元法计算不定积分举例.
0--）-- ；d
x=— a+—
arctan a
— a
+
C
（a
丰
^^a2d—=