第三节、(4)三重积分在球坐标系下的计算

x rsin cos
0
y rsin sin

y
y
z rcos
x
这样的三个数 r,x ,叫做点M的球面坐标N.
球面坐标的坐标面
z
规定0 r , 0 π,
0 2π.
M
动点M(r,,)
S
r =常数: 球面S
r
0
=常数:
x y
球面坐标的坐标面
y
16. 球面坐标下的体积元素 z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
圆锥面及+d
rsind
dV r 2 sin drdd
r
f (x, y, z)dxdydz
f (r sin cos , r sin sin , rcos ) r 2 sin drdd x
5
0
4 (b5 a5 )
15
例7 计算 x2 y2 z2 1dv, 其中 由圆锥面

z x2 y2 与平面 z 1 所围成.
z
解 由于被积函数含 x2 y2 z2,
1
圆锥面z x2 y2为球面坐标
系中的坐标面 π ,
4 所以宜用球面坐标计算.
0
1

2π
d
π
4 d
1(1 r )r 2 sindr
0
0
0
3 2 2 1 6 2 6
2 2
( 6
2 1).
计算三重积分应注意的问题
1.适当地选取坐标系：
当积分区域Ω是柱体（或其一部分）， 或Ω在某坐标面上投影为圆域（或一部分），
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
r
0
R
y
x
1 : 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限
所 围 成 的 区 域。
z
求 I f (x, y, z)dxdydz M
任取球体内一点
对r: 从0R积分,得半径
r
对: 从0 π 积分，
0
0
0
I
π
dθ
π
dφ
R f r 2 sinφ dr
0
0
0
π
I
π
dθ
2 dφ R f r 2 sinφ dr
.
0
0
0
.
.
.
.
3 已知 : x y (z a) a , x y z . 计算
I f (x, y, z)dxdydz
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 dxdydz
积分区域多由坐标面
柱面坐标系 d d dz 围成 ;
被积函数形式简洁, 或
球面坐标系 r 2 sin dr d d 变量可分离.
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要不然被积函数为 f (x2 y2, z)
型时采用柱面坐标，一般先对Z次对p后对θ积分。
当Ω为球域（或其一部分）或被积函数
f ( x y z ) 2
2
2 球面坐标系下
f ( p )2

采用球面坐标，否则采用直角坐标。
2.三重积分化为三次定积分，无论选 择什么坐标系和积分次序


2π
d
a
d
a 2dz
π a5.
0
0

10
例5. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0




4
0 2

4

( x2 y2 z2 )dxdydz


2
d

4 sin d
Rr4 dr
oy x
0
2
I (x2 y2)dv
z


2
d

2 d
b r2 sin2 r2 sindr
0
0
a
r=a r=b 0a b y
2

2 sin3 d
b r 4dr
0
a
x
2 (b5 a5 )

2 (1 cos2 )d cos
O
y
x
先去掉被积函数中的绝对值记号.
如图， 记 1 为 中 x2 y2 z2 1 的部分,
即中位于球面x2 y2 z2 1以外的部分,
2 1,
则1
:
1

r

1
cos
,
z 1 1
0 π,
2
4
0 2π;
O
y
2 : 0 r 1,
0
2
对
:
从0
π 2
积分，得球体
R
y
.
x
.
π
π
I 2 dθ 2 dφ R f (r sinφ cosθ , r sinφ sinθ , r cosφ)r 2 sinφ dr
0
0
0
2 球系下确定积分限练习
1 为全球体 x y z R
求 I f (x, y, z)dxdydz
x
0 π , 0 2π.
4
于是 x2 y2 z2 1dv

( x2 y2 z2 1)dv (1 x2 y2 z2 )dv
1
2

2π
d
π
4 d
1
cos (r 1)r 2 sindr
0
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
π a5. 10
0 2π.
解2 在柱面坐标系中计算
x2 y2 z2 z . Dxy : x2 y2 a2 . : z a, 0 a, 0 2π.
( x2 y2 )dxdydz
三重积分在球坐标系下的计算
一、球面坐标系 二、典型例题
一、球面坐标系
设M ( x, y, z)为空间内一点,则点 z
M可用三个有次序的数r, , 来确定.z
r : 原点O与点M间的距离,
: 有所向夹线的段角,OM与. z.轴. 正向
M(r,,)
: 有向线段OM在xOy面上
r
的投影向量与x轴正向的夹角
动点M(r,,)
z
C
r =常数: 球面S
=常数: 锥面C
M
=常数: 半平面P
S

P
0

.
x y
16. 球面坐标下的体积元素 z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
圆锥面及+d
rsind
圆锥面
r

0
d
x
球面r+d r 圆锥面+d
0
2

R
y
.
x
1 : 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限
所 围 成 的 区 域。
z
求 I f (x, y, z)dxdydz
任取球体内一点
对r: 从0R积分,得半径

对: 从0 π 积分，得锥面
0
2

对
:
从0
0
0
0
例4: 求 ( x2 y2 )dxdydz, : 锥面x2 y2 z2 与平

面z a(a 0) 所围的立体.
解1:
在球面坐标系中计算
:0 r a , 0

π,
cos
4
( x2 y2 )dxdydz


2π
d
π
4 d
a
0
1 R5(2
5
2)
0
dv r2 sin drd d
P165.10.(1)
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例6.计算I (x2 y2)dxdydz,由两个半球面 z b2 x2 y2 , z a2 x2 y2 (0 a b)及
最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数， 中层积分上下限是外层积分变量函数， 最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。
3。关于最里层积分的定限：
若积分变量是dx一用平行x轴直线 若积分变量是dy一用平行y轴直线 穿过Ω，观察穿入 若积分变量是dz一用平行z轴直线 穿出的情况定限。
若积分变量是dp时一定要从原点出发发出射线 穿过区域观察穿进穿出情况定限。
z 化为球系下的方程
M
r=2a cos
: 0 r 2a cos
M
0 2 0φ π
4
a
r

φ π 4
.
P164.10.(2) .
0

y
I
2π
dθ
π
4 dφ
2acosφ
f
x
(rsinφ cosθ , rsinφ sinθ , rcosφ) r 2sinφ dr

0
d
y
.
体积元素
dv r 2 sindrdd .
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
z
r sind
r sindr
r
rd

d
f ( x, y, z)dxdydz

O
x
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
π 2
积分，得球体
R
y
.
x
1 : 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限
所 围 成 的 区 域。
z
求 I f (x, y, z)dxdydz
当 f =1, I=V

任取球体内一点
对r: 从0R积分,得半径

对: 从0 π 积分，得锥面

二、典型例题
适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离
1 : 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限
所 围 成 的 区 域。
z
求 I f (x, y, z)dxdydz
平面z 0围成.
z
解: 的表达式中含x2+y2+z2,
可用球面坐标求积分.
x = r sin cos, y=rsinsin, z=rcos.
r=a r=b
0a b y x
P165.11,(4) 且两球面方程分别为r=b和r=a,(a<b).
由的形状知,arb,0 , 02.
I
2π
dθ
π
dφ
R f r 2 sinφ dr
0
0
0
2 为空心球体
添加 x y z R 为洞
.

3 为上半球体
4 为右半球体
5 为球体的第一、二卦限部分
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2π
dθ
π
dφ
R
Rf
r 2 sinφ dr
0
0
2
π
I
2π
dθ
2 dφ R f r 2 sinφ dr