探寻必要条件 巧解恒成立问题

探寻必要条件 巧解恒成立问题

——从一道2019年高考函数导数题谈起

蔡海涛

（福建省莆田第二中学，351131）

2019年《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》明确指出，高考对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合。纵观近几年的高考题，导数中的恒成立问题多次出现，充分考查了学生的综合素质及思维能力，考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理素养，突出理性思维，彰显选拔功能。在解决这类问题的过程中，常需要构造函数求导、判断单调性、求最值，而考生在面临如何构造函数、繁杂的导数运算、确定导数符号等环节时，往往束手无策，因畏难情绪或时间不足而就此放弃。通过研究如下引例（2019年高考全国I 卷文科第20题），笔者发现用必要条件探路，取一些特殊值先猜后证，可找到解决问题的捷径。下面，笔者从这道高考题说起，谈谈寻必要条件探路在求解导数恒成立问题中的作用，追寻巧解之道。

引例 已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()'f

x 为()f x 的导数。 ⑴证明：()'f x 在区间()0,π存在唯一零点；

⑵若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围。

分析 第⑴问较易解决，具体过程略；对第⑵问，无论是通过作差法还是分离变量法构造函数，其导函数的符号讨论都比较复杂，学生较难完整解答。若利用不等式恒成立的必要条件，可巧妙求解。

解法1 依题意，令x π=，得()0a f

ππ≤=，可得0a ≤。下证0a ≤符合题意。 由⑴可知()'f x 在()0,π内先增后减，且存在,2m ππ⎛⎫∈

⎪⎝⎭，使得()'0f m =。又()'00f =，'1022

f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()'20f π=-<，可知当0x m <<时，()'0f x >，()f x 单调增，()()00f x f ax >=≥；当m x π<≤时()'0f x <，()f x 单调减，()()0f x f ax π>=≥；当0x =时。()00f ax =≥。

在()0,x π单调减，作出()y f x =在[]0,π的大致图象如图1。令()h x ax =，则[]0,x π∈时，()y f x =的图象在()y h x =的图象上方。

当0a ≤时，如图1所示，()()f x h x ≥恒成立，显然满足题设。

当0a >时，则特殊值探路，()0f

π=，()0h a ππ=>，()()f h ππ<，不合题意，舍去。

综上，a 的取值范围为(],0-∞。

当前高考从能力立意转变为素养导向，素养导向的高考命题注重科学思维的考查，要求学生以严谨的科学思维、严肃的科学态度去思考每一个实际问题。这道高考题对学生的思维能力、转化意识、数学抽象等素养进行了综合考查，由以上思路分析比较，可以发现解法1比解法2简捷，通过必要性取点探路，运用特殊值缩小参数取值范围，使得运算简化；先猜后证，保证了论证的严谨性。本文再从不同的侧面举例，谈该方法在恒成立问题中的应用。

一、必要性入手 充分性验证

例1 （2006年全国高考题）已知函数()()()1ln 1f x x x =++。若对所有的0x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。

解 令()()()()()1ln 10g x f x ax x x ax x =-=++-≥，则()()'1ln 1g x x a =++-。因()00g =，且0x ≥时，总有()0g x ≥，由极限的保号性（参

见高等数学相关教材）可得()'

00g ≥，即1ln10a +-≥，解得1a ≤。 当1a ≤时，()()'

1ln 10g x x a =++-≥()0x ≥，()g x 在[)0,+∞单调增，可得()()00g x g ≥=。于是，当0x ≥时，()f x ax ≥恒成立。

综上，a 的取值范围为(],1-∞。

评注 一般地，对不等式恒成立问题，常常用端点值代入时不等式取等号，可利用区间端点的导数值的符号来确定参数的取值范围，由此作为必要条件，再进行充分性讨论，真所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不高”。许多问题，如果换一个角度看，就能看到别样的“风景”。

二、特殊值探路 美中求真

例2 已知函数()2

ln g x x x x ax a =-+-。当()1,x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立，求整数a 的最小值。

解 依题意，()0g e ≥，可得a e ≥-；又a Z ∈，取2a =-，则此时()2ln 22g x x x x x =--+。

令()()2ln 21h x x x x x

=-+->，则()()()'221x x h x x -+=。当12x <<时，()'0h x <，()h x 单调减；当2x >时，()'0h x >，()h x 单调增。所以，()()min 21ln 20h x h ==->，()0h x >对一切1x >恒成立。

综上，当2a =-时，()2

ln 220g x x x x x =--+>恒成立，故2a =-。 评注 本题的常规思路是分离参数a ，得2

ln 1

x x x a x -≥-在()1,+∞恒成立，问题转化为求()2

ln 1

x x x g x x -=-的最值。但由于求导讨论较难，学生难以完整解答。考虑恒成立的必要条件，对x 取特殊值探路，缩小参数a 的取值范围，再进行验证，这样运算简化了许多。总体说来，取特殊值是基于数学简洁美的追求，能显示数学运算的简洁性。

三、先猜后证 步步为营

例3 已知函数()()222

x a f x x e x =--，其中a R ∈。若函数()2y f x x =+在R 上