非线性规讲义划—无约束问题

如果令X (x1,x 2 , ,x n )是n维空间E (n )上的点，
则一般非线性规划的数学模型为：
min f(X )
hi(X ) 0, i 1,2, ,m
g j(X ) 0, j 1,2, ,l
f(X )为目标函数，hi(X )，g j(X )为约束条件，X为
自变量。若某个约束条件是“”的不等式，不等式
解：设该公司计划经营第一种设备为x1件，第二种设备为x2件
根据题意
max f
0.5x1
( x1 , (2
x2 ) 30x1 0.25x2 )x2
450x2 800
x1, x2 0
第4页
由这两个例子可以看出，这两个例子在高等数学中 代表了两类不同类型的极值问题。例1是无条件极值 ；例2是有条件极值。
必是驻点。f(X *)称为f(X )在点X处的梯度。
但反过来，驻点不一定是极值点。
如点（0，0）是函数f(x1,x 2 )
x
3 1
x 23的驻点，但不是极值点。
第12页
定理2：极值存在的充分条件
设f(X )是定义在E n上的某一区域上的函数，且在上二次连 续可微，X * 是区域内的一点，若f(X )在X * 处满足f(X *)＝0，
( x1
x2 )]
x1, x2 0
第3页
例：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元 ，第二种设备每件售价为450元，根据统计，售出一 件第一种设备所需营业时间平均为0.5小时，第二种设 备为（2＋0.25x2）小时，其中x2是第二种设备的售出 数量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800 小时，试决定使其营业额最大的营业计划。
均满足
f ( X ) f ( X *)
则称X *为f ( X )在上的局部极小点。f ( X *)为局部极小值。
若所有X X *，且 X X * ，X ，有
f ( X ) f ( X *)
则称X *为f ( X )在上的严格局部极小点。f ( X *)为严格局
部极小值。
第10页
若点X * ,对于所有的X ，均满足 f(X ) f(X *)
第2页
非线性规划模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方 形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧 面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使 这个容器的成本最低。
设容器的长为x1，宽为x2，则高为1/x1x2。根据题意 得：
min
f
(x1, x2 )
50 x1 x2
80[ 1 x1x2
且对任意非零列向量Y，有 Y T H(X *)Y 0 则称f(X )在点X * 处取得严格局部极小值。
这里H(X *)是f(X )在点X * 处的海赛（Hesse）矩阵。
2f(X *)
x
2 1
2f(X *) x1 x 2
2f(X *)
x1 x n
2f(X *)
H(X *)
x 2x1
2f(X *)
方程组可得。最优点（4，1），最优值f (x) 4.
第7页
非线性规划的解的特点
线性规划：
最优解只能在其可行域的边界上达到，特别是 在可行域的顶点上达到；
非线性规划：
可能在其可行域中的任意一点达到。
第8页
1.2 极值问题
线性规划：
目标函数是线性函数，可行域为凸集，求出的 最优解就是整个可行域上的全局最优解。
x
称为等值线或等高线。
等值线f ( X）＝2与直线AB相切，
切点为x (3,2)。
B
第6页
例：min f ( X ) (x1 2)2 (x2 1)2 A
x1 x22 5x2 0 x1 x2 5 0
解：画出目标函数 的x1等, x值2 线0
B
C D
f ( X）＝(x1 2)2 (x2 1)2＝C 它表示一族中心在（2，1）上的同心圆。 画出约束区域
两边乘以“1”。
第5页
非线性规划的图解问题
图解法可以给人以直观概念，当只有两个自变量时， 非线性规划也像线性规划一样，可以利用图解法。
例：min f ( X ) (x1 2)2 (x2 1)2
x1 x2 5 0
A
若令目标函数f ( X）＝C
C为某一常数。
则f ( X）＝C就代表一条曲线，
先画x1 x22 5x2 0，这是一条抛物线，再画不等式x1 x2 5 0，x1, x2 0 所代表的约束区域。
则抛物线弧ABCD为约束集。由动点A出发沿抛物线ABCD移动时，弧AB段，
目标函数值下降，在BC段函数值上升，弧CD段，目标函数值下降，而且在
D点是可行域上使目标函数值最小的点，它是全局最优点。其坐标由约束
非线性规划：
有时求出的解是一部分可行域上的极值点，但 并不一定是整个可行域上的全局最优解。
第9页
局部极值定义
设f ( X )是定义在n维欧氏空间E n的某一区域上的n元函数，
其中X (x1, x2 ,, xn )。
对于X * ,如果存在某一个 0，使得所有与X *的距离 小于的X ，（即X ，且 X X * )
设f(X )是定义在E n上的某一区域上的函数，X * 是内
的一点，若f(X )在X * 处可微且取得局部极值，则必有
f(X *) x 1
f(X *) x 2
f(X *) x n
0
或
f(X
*)＝（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(X *) x 1
，f(X *) x 2
，
，f(X x n
*)
）T ＝0
上式的点称为驻点，或平稳点。即在区域内部，极点
则称X * 为f(X )在上的全局极小点。 f(X *)为全局极小值。 若对于所有X X * ，且X ，都有
f(X ) f(X *) 则称X * 为f(X )在上的严格全局极小点。 f(X *)为严格全局极小值。
如果将上述不等式反向，即可得到局部极 大值与全局极大值的定义。
第11页
定理1：极值存在的必要条件
精品
非线性规划—无约束问题
1.1 非线性规划问题及其数学模型
如果目标函数或约束条件中含有一个或多个是 变量的非线性函数，我们称这类规划问题为非线性 规划（nonlinear programming，简记为NP）。
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问 题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形 法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于 各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应 用范围。